Степени в элементарной математике

[Qazed]

Здравствуйте, хочу окончательно разобраться со степенями и прошу Вас мне помочь. Спасибо
Вопрос 1.
Верно ли равенство?
$(-2)^{2/3} = \sqrt[3]{(-2)^2} = \sqrt[3]{4} $

[12d3]

Нет. Нецелые степени определены только для положительных чисел.

[Qazed]

Mathematica вычисляет ответ, но он комплексный:
$(-2)^{2/3} \approx -0.793701 + 1.37473 i$
Значит определение есть, но какого оно?

[provincialka]

Qazed в сообщении #945002 писал(а):

Значит определение есть, но какого оно?

Действительно, как'оГо...
Значит, такое "определение" зашито в Mathematica. Но оно отнюдь не общепринятое.

[Brukvalub]

Mathematica в данном случае использует вычисления в поле комплексных чисел, а в нем "все можно".

[provincialka]

Brukvalub, только непонятно, как можно получить единственное значение кубического корня. Из каких соображений оно выбрано? Ведь есть еще два.

[Brukvalub]

Я бы начал с того, что сам бы залез в Mathematica и там бы нажал "Энтер".

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Shift+Enter ;-)

Mathematica в таких случаях выдаёт так называемый principal root.

[Qazed]

[Brukvalub]

Aritaborian уже все разъяснил.

[Qazed]

Спасибо за ответы
Вопрос 2.
Правильно ли я понимаю, что:
1. Действительное положительное число можно возводить в любую действительную степень

$$ a^x = b \qquad (a \in \mathbb R_+, \; x \in \mathbb R) $$

2. Ноль можно возводить в любую действительную положительную степень

$$ 0^x = b = 0 \qquad (x \in \mathbb R_+) $$

3. Действительное отрицательное число можно возводить в нечётную степень

$$ a^x = b \qquad (a \in \mathbb R_-, \; x = 2k+1, \; k \in \mathbb Z) $$

4. Эти пункты описывают все определённые в элементарной математике случаи возведения в степень, относительно которых замкнуто множество $\mathbb R$

[Aritaborian]

3. А что, в чётную нельзя?

[Qazed]

Aritaborian в сообщении #945041 писал(а):

3. А что, в чётную нельзя?

Пардон. Думал о корнях (не удачно), набирая сообщение.
3. Действительное отрицательное число можно возводить в любую целую степень

$$a^x = b \qquad (a \in \mathbb R_-, x \in \mathbb Z)$$

[Nurzery[Rhymes]]

Как вообще можно понять возведение в нецелую степень? Например, вычисляем $7^{11/3}$. Что это значит? Мы три раза умножили семерку саму на себя, а потом этот результат еще умножили на кусочек семерки?

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
Тут то просто, возвели семёрку в 11 степень и затем взяли корень 3 степени (либо наоборот, сначала корень затем возведение).