Мат. способности и умение оперировать числами - разные вещи?

[bin]

Hyper_Tor в сообщении #944159 писал(а):

Способности счёта не достаточно, для того чтоб вывести формулы Рамануджана. Он обладал целостным видением математики и выводил свои формулы, исследуя эллиптические функции. Это далеко не счёт, хотя способности счёта и играют важную роль, как составляющая общих способностей в некоторых областях математики, но способность к обобщению и отыскания закономерностей на мой взгляд более ценна, она предполагает многоуровневые логические конструкции, а не просто последовательность арифметических операций. Так что Рамануджана не был просто калькулятором, он был мыслителем.

Однако и при счете зачастую нужно обобщать и видеть закономерности:

provincialka в сообщении #944028 писал(а):

Степени двойки я знаю, это легко. $16\cdot 64 =2^4\cdot 2^6 = 2^{10}=1024$

Разве в этом решении не продемонстрирована способность распознать степени двойки? Это не подход "калькулятора" типа: $16\cdot 64 =64\cdot 10+64\cdot 6=((64+64+64)\cdot 2) +64\cdot 10$. Кстати, и такое решение принципиально отличается от алгоритма работы электронного калькулятора.
Ранее здесь прозвучало слово "пазл":

sdf в сообщении #943942 писал(а):

просто человек который за две секунды умножает в уме невероятные числа наверно способен собирать эти математические пазлы такие сложные, что понять их сможет только другой такой же человек

вот я и предложил несколько пазлов для примера. К сожалению, ответ поступил пока только на один, предложу свои ответы в виде микропедагогической поэмы:
$71,73,...$
Мат. олимпиада районного масштаба. Вчерашний школьник, но нынче уже ПЕРВОКУРСНИК измывается над сегодняшним школьником старших классов.
- Надо полагать, начальную школу вы закончили? - издалека начинает Первокурсник.
Робеющий Школьник кивает.
- Надо полагать, таблице умножения до десяти вас там учили? - продолжает Первокурсник.
Школьник кивает.
- Надеюсь, вы ее помните? - вкрадчиво спрашивает Первокурсник.
- Да, - лепечет Школьник.
- Ну и подумайте, - грозно и вдохновенно гремит Первокурсник, - есть ли там число 71?
- К-к-к-ажется нету, - заикается Школьник.
- И признаки делимости вы в начальной школе проходили? - почти до шепота понижает голос Первокурсник.
- Проходили, - снова лепечет Школьник.
- И на что делится 71? - снова повышает голос Первокурсник.
- Ну само на себя и на единицу, - растерянно отвечает Школьник.
- Вы еще на ноль поделите! - задыхаясь от восторга, иронизирует Первокурсник, - какие нетривиальные делители у 71?
- Их нет, - выдыхает вспотевший Школьник.
- А на что делится 73?
- Ни на что...
- Как все просто, а вы не сообразили, какие они простые, - с чуством глубокого педагогического удовлетворения говорит Первокурсник и ставит Школьнику жирный минус за первое задание.
Конец поэмы.
Мораль: Разве не похоже на эту поэму проходят экзамены по разным мат. дисциплинам? Там могут быть не только цифирки, но и разные буковки, значки-крючки, $dx$ и $dy$, но сути это не меняет. Очень-очень часто суть испытания (т.е. экзамена) сводится к принципу "сложи пазл", "узнай в выражении некий шаблон из учебника и/или из лекции". Такие задачки зачастую называют задачами на сообразительность. И по ним судят как о знаниях испытуемого, так и о его способности к мат. мышлению.

Продолжим. $24,120,...$ - как и в предыдущей задачке, испытуемый должен сообразить поискать делители. На $2$ - делится, на $3 $ делится и на $4$ делится, а $120$ еще и на $5$
В следующей последовательности $1,1,2,3,...$ общие делители искать не нужно, а нужно сообразить, что $i$-ый член последовательности и $i+1$-ый в сумме дают $i+2$-ой. Ну, и про оставшуюся последовательность стоит вспомнить известную фразу булгаковского героя "Тоже мне бином Ньютона!"

Такие вот численные пазлы, и кто попробует доказать, что это не математика? Что для решения достаточно быть калькулятором, но не мыслителем? (Конечно, эти последовательности легко найти через гугл, но это будет неспортивно )

[Xaositect]

Задачи "продолжить последовательность" - это не математика, пока не определен критерий, по которому одно продолжение лучше другого (отличный от "угадать то, что имел в виду автор").

[provincialka]

bin в сообщении #944370 писал(а):

вот я и предложил несколько пазлов для примера

Разве вы предлагали нам их решать? Не заметила.

bin в сообщении #944370 писал(а):

Конечно, эти последовательности легко найти через гугл,

К чему это? Они все очевидные. И совсем не надо искать сомножители, чтобы догадаться, что 24, 120, ... - факториалы. Не говоря уж о числах Фибоначчи.

bin в сообщении #944370 писал(а):

Очень-очень часто суть испытания (т.е. экзамена) сводится к принципу "сложи пазл", "узнай в выражении некий шаблон из учебника и/или из лекции". Такие задачки зачастую называют задачами на сообразительность. И по ним судят как о знаниях испытуемого, так и о его способности к мат. мышлению.

Скажите честно, вы много экзаменов по матану приняли? И именно в таком стиле.

Кроме того "сдача экзамена" это ни разу не "математика". Математика бывает в другом месте.

Главный недостаток вашего исходного вопроса - вы не определили, что имеете в виду под "Мат. способностями" и тем более, под "умением оперировать числами". Я вот знаю таблицу умножения, и не только в пределах $9\times 9$. И что? Умею я оперировать числами?

Вполне возможно, что оба умения имеют какие-то общие предпосылки. Но умения надо развивать. И дальше уж каждый выбирает по себе.

[bin]

Xaositect в сообщении #944377 писал(а):

Задачи "продолжить последовательность" - это не математика, пока не определен критерий, по которому одно продолжение лучше другого (отличный от "угадать то, что имел в виду автор").

Задача не формулировалась как "продолжить последовательность", а как

bin в сообщении #944025 писал(а):

Полагаете, что можно в лицо не узнавать такие известные последовательности как:

[provincialka]

bin, не пойму пафоса вашей речи. Ну, знаем мы эти последовательности "в лицо". А еще знаем стихотворение "Буря мглою ...". Но первое - не математика, как второе - не литературоведение. Это просто "джентельменский набор" мало-мальски сведущего человека.

[bin]

provincialka в сообщении #944380 писал(а):

Скажите честно, вы много экзаменов по матану приняли? И именно в таком стиле.

Нет, но присутствовал на некоторых. Говорю как метанаблюдатель.

-- Чт дек 11, 2014 18:48:33 --

provincialka в сообщении #944380 писал(а):

вы не определили, что имеете в виду под "Мат. способностями" и тем более, под "умением оперировать числами"

Полагаю, что за исходное определение, можно принять определение из заметки (мой первый пост, цитата).

[provincialka]

bin в сообщении #944385 писал(а):

Говорю как метанаблюдатель.

Возможно, вы чего-то не поняли, глядя со стороны. Впрочем, еще раз повторю:

provincialka в сообщении #944380 писал(а):

Кроме того "сдача экзамена" это ни разу не "математика". Математика бывает в другом месте.

-- 11.12.2014, 18:52 --

Там еще и заметка была? Прочитала. По-моему, национальная принадлежность не та. Ученые-то "британские". Как они лихо по двум тестам способности определяют! Сами придумали, что это за "способности" такие, сами проверили - красота.

[kp9r4d]

Тут много говорили о доказательствах «в несколько сот страниц», мне интересно вот, люди, говорящие это, сами-то знают хоть одно доказательство в несколько сот страниц? Именно содержательный текст доказательства, а не очевидные вещи, следующие из общей теории или компьютерный перебор вариантов.

-- 11.12.2014, 17:54 --

Я навскидку вспомнил лишь два: классификация простых конечных групп и доказательство того, что гексагональная упаковка шаров — плотнейшая. Да и то с ними странности есть.

[provincialka]

Действительно, приличные математики знают, что такое "лемма"

(Лемма и баба)

Вот послушайте, в чем моя заветная лемма: когда мы вечером пьем, а утром не пьем, какими мы бываем вечером и какими становимся наутро? Я, например, если выпью, я весел чертовски, я подвижен и неистов, я места себе не нахожу, да. А наутро? А наутро я не просто невесел, не просто неподвижен, нет. Я ровно настолько же мрачнее обычного себя, трезвого себя, насколько веселее обычного был накануне. Если накануне я одержим был Эросом, то мое утреннее отвращение в точности равновелико вчерашним грезам. Что я хочу сказать? а вот, смотрите:

И черноусый изобразил на бумажке такую вот хреновину. И объяснил: горизонтальная линия - это линия обычной трезвости, повседневная линия. Наивысшая точка кривой -- момент засыпания, наинизшая -- пробуждения с похмелья...

Видите? Это же голая зеркальность! Глупая, глупая природа, ни о чем она не заботится так рьяно, как о равновесии! Не знаю, нравственна ли эта забота, но она строго геометрична! Смотрите: ведь эта кривая изображает нам не один только жизненный тонус, нет! Она все изображает. Вечером - бесстрашие, даже если и есть причина бояться бесстрашие и недооценка всех ценностей. Утром -переоценка всех этих ценностей, переоценка, переходящая в страх, совершенно беспричинный

Если с вечера, спьяна природа нам передала╗, то наутро она столько же и недодаст, с математической точностью. Был у вас вечером позыв к идеалу -- пожалуйста, с похмелья его сменяет порыв к антиидеалу, а если идеал и остаётся, то вызывает антипорыв.
Вот вам в двух словах моя заветная лемма...

Она - всеобща и к каждому применима. А у вас-все не как у людей, все, как у Гёте!.. Я рассмеялся: Почему ж она все-таки лемма если она всеобща?.. И декабрист - тоже рассмеялся: Коли она всеобща то почему же лемма?

-- А потому и лемма! Потому что в расчет не принимает бабу! Человека в чистом виде лемма принимает, а бабу -- не принимает! С появлением бабы нарушается всякая зеркальность. Если б баба не была бабой, лемма не была бы леммой. Лемма всеобща, пока нет бабы. Баба есть -- леммы уже нет

[bin]

provincialka в сообщении #944383 писал(а):

Ну, знаем мы эти последовательности "в лицо". А еще знаем стихотворение "Буря мглою ...". Но первое - не математика, как второе - не литературоведение.

Сомневаюсь, что найдется много литературоведов, которые бы знали эти последовательности, более того это для них совершенно лишнее ненужное знание. Но не сомневаюсь, что найдется очень много математиков (может, как Вы отметили ранее, за исключением топологов), которые с ходу, ни секунды не раздумывая, узнают эти последовательности. И подозреваю, что такое знание для них очень не лишнее, в отличие от литературоведов. Увидев, как идет голосование, высказал эти подозрения, т.к. думаю, что вопрос не так прост, как может показаться.

-- Чт дек 11, 2014 19:12:35 --

provincialka в сообщении #944387 писал(а):

Прочитала. По-моему, национальная принадлежность не та. Ученые-то "британские". Как они лихо по двум тестам способности определяют! Сами придумали, что это за "способности" такие, сами проверили - красота.

И при этом Вы согласились с их выводом?

-- Чт дек 11, 2014 19:26:18 --

provincialka в сообщении #944380 писал(а):

Кроме того "сдача экзамена" это ни разу не "математика". Математика бывает в другом месте.

Принято думать, что мат.экзамен - это испытание мат. знаний и мат.способностей школьника/студента/аспиранта. ИМХО курсовая и диплом - гораздо лучшие испытания.

[provincialka]

bin в сообщении #944400 писал(а):

И при этом Вы согласились с их выводом?

Я согласилась со своим опытом. А эксперимент поставлен из рук вон плохо

[Pphantom]

То, что какие-то способности и какие-то умения - это разные вещи, само по себе достаточно банально. Отсюда и ситуации с математиками, не умеющими считать - если их этому не учили, то они, соответственно, и не научились.

[bin]

provincialka в сообщении #944409 писал(а):

bin в сообщении #944400 писал(а):

И при этом Вы согласились с их выводом?

Я согласилась со своим опытом. А эксперимент поставлен из рук вон плохо

Пытаюсь понять Вашу точку зрения. Ранее Вы сказали:

provincialka в сообщении #944028 писал(а):

Я считаю, что оперирование числами много меньше математики. Хотя отдельные, специфические приемы счёта математик может и не знать.

provincialka в сообщении #944380 писал(а):

Вполне возможно, что оба умения имеют какие-то общие предпосылки.

Подумал, что м.б. по-Вашему оперирование числами необходимое, но недостаточное для математика умение. Но Вы сказали:

provincialka в сообщении #944062 писал(а):

Мне, например, просто скучно тратить свои силы на банальные расчеты.

provincialka в сообщении #944080 писал(а):

А это что, математика?

М.б. оперирование числами Вы не считаете необходимым для математика навыком? Поэтому разрешите спросить:

1) должны ли нынешние школьники решать такие задачи?:
Магницкий, Арифметика (по памяти):
"Летела стая гусей, навстречу летит гусь и спрашивает:
-Вас сто гусей?
- Нет, нас не сто, вот если бы нас было два раза по столько, да пол-столько, и четверть столько и ты с нами гусь - вот тогда бы нас было сто.
Сколько было в стае гусей?"
Сканави 1.038:
$\frac{\left(\left(3\frac{7}{12}-2\frac{11}{18}+2\frac{1}{24}\right)\cdot1\frac{5}{31}-\frac{3}{52}\left(3\frac{1}{2}+\frac{5}{6}\right)\right)\cdot1\frac{7}{13}}{\frac{19}{84}:\left(5\frac{13}{42}-2\frac{13}{28}+\frac{5}{24}\right)+1\frac{2}{27}-\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{9}} $
Ответ: $5$
Сканави 2.018:
$\left(\frac{1+x+x^{2}}{2x+x^{2}}+2-\frac{1-x+x^{2}}{2x-x^{2}}\right)\cdot(5-2x^{2});\; x=\sqrt{3,92} $
Ответ: $0,04$
Но особо в школе нам нравилась его тригонометрия
Сканави 3.065:
$\frac{\cos^{2}\left(\pi+\frac{\alpha}{4}\right)\left(1+\mathrm{tg}^{2}\left(\frac{3}{4}\alpha-\frac{3}{2}\pi\right)\right)}{\sin^{-1}\left(\frac{9}{2}\pi+\frac{\alpha}{2}\right)\left(\mathrm{tg}^{2}\left(\frac{5}{2}\pi-\frac{\alpha}{4}\right)-\mathrm{tg}^{2}\left(\frac{3}{4}\alpha-\frac{7}{2}\pi\right)\right)} $
Ответ: $\frac{1}{8}$

2) должны ли нынешние студенты решать такие задачи?:
Антидемидович 1.50.в:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{6}=\frac{27}{64}+i\frac{54\sqrt{3}}{64}-\frac{135}{64}-i\frac{60\sqrt{3}}{64}+\frac{45}{64}+i\frac{6\sqrt{3}}{64}-\frac{1}{64}=-1 $
Антидемидович 2.66: ...
Ответ: $f^{\prime\prime}(x)=\frac{1500xf^{6}(x)-120x^{3}+150x^{2}f^{3}(x)-250f^{5}(x)}{(15xf(x)-2)^{3}f^{2}(x)}$

Не слишком ли много тут численных операций?

[provincialka]

Мне понравилась только первая. Остальные - чистое занудство. Не нужны.
А уж решать таким образом 1.50в - вообще глупо.

[bin]

Pphantom в сообщении #944412 писал(а):

Отсюда и ситуации с математиками, не умеющими считать - если их этому не учили, то они, соответственно, и не научились.

Вопрос в том: может ли математик, не умея считать, достичь успеха в математике? (Про топологию здесь не говорим - м.б. там особая ситуация ) Проблема этого обсуждения, что все, кто так или иначе за то, что умение считать математику необязательно, похоже, сами очень неплохо умеют считать

-- Пт дек 12, 2014 02:27:28 --

provincialka в сообщении #944686 писал(а):

Мне понравилась только первая. Остальные - чистое занудство. Не нужны.

Можете привести образцы хороших задач на эти же темы?: упрощение выражения с дробями, с тригонометрическими функциями, комплексными числами, вычисление производной? Может, и на другие темы добавите? Хочется посмотреть макисмально допустимый порог численных операций в Ваших образцах.