2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 18:38 


26/12/12
110
Доброго времени суток, никак не удается посчитать ротор от следующего поля:

$\overrightarrow{A}=\frac{(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r} \cdot \frac{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2}$

$\overrightarrow{k}$ - const.

Разобьем поле на скалярную составляющую $\varphi $ и векторную $\overrightarrow{c}$


$\varphi = \frac{(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})}{r}\frac{1}{[\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k} ]^2 + a^2}$
$\overrightarrow{c}=[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]$




$[\triangledown\times  \overrightarrow{A}]= [\triangledown\times  \overrightarrow{c} \varphi] = \varphi[\triangledown \times \overrightarrow{c}] + [\triangledown\varphi \times \overrightarrow{c}]$

Вычислим 1 слагаемое:
$\varphi [\triangledown \times \overrightarrow{c}] = \varphi[\triangledown \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]] = \varphi(\overrightarrow{r}\operatorname{div}(\overrightarrow{k}) - \overrightarrow{k}\operatorname{div}(\overrightarrow{r})+ \left( {\vec k,\vec \nabla } \right)\vec r - \left( {\vec r,\vec \nabla } \right)\vec k)  =\varphi( 0 -3\overrightarrow{k} +\overrightarrow{k} -0) = -2\varphi \overrightarrow{k} = -\frac{2\overrightarrow{k}(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r} \cdot \frac{1}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2}$

вычислим второе слагаемое, для начала найдем $\triangledown \varphi$

$\triangledown \varphi  \equiv \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} \overrightarrow{r}} =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \overrightarrow{r}} ( \frac{(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r} \cdot \frac{1}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2})=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \overrightarrow{r}} ( \frac{(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})^}{\sqrt{\overrightarrow{r}^2}} \cdot \frac{1}{\overrightarrow{k}^2\overrightarrow{r}^2-(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})^2+a^2}) = \frac{(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{\sqrt{\overrightarrow{r}^2}}\frac{-2\overrightarrow{k}^2\overrightarrow{r}+2(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})\overrightarrow{k}}{(\overrightarrow{k}^2\overrightarrow{r}^2-(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})^2+a^2)^2}=-\frac{2(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})[\overrightarrow{k} \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k} ]]}{r([\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2)^2}$

тогда

$[\triangledown \varphi \times \overrightarrow{c}] =- [\frac{2(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})[\overrightarrow{k} \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k} ]]}{r[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2} \times \overrightarrow{c}] =- \frac{2(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2} [[\overrightarrow{k} \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k} ]]\times \overrightarrow{c}]=-\frac{2(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r([\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2)^2} [[\overrightarrow{k} \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k} ]]\times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]]=-\frac{2(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})\overrightarrow{k}[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2}{r([\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2)^2}$

Тогда
$[\triangledown\times  \overrightarrow{A}]= -\frac{2(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})\overrightarrow{k}[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2}{r([\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2)^2}-\frac{2\overrightarrow{k}(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r} \cdot \frac{1}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2} $

Но правильный ответ

$[\triangledown\times  \overrightarrow{A}]=\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\frac{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2 + a^2} - \frac{2\overrightarrow{k}(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})}{r}\frac{a^2}{([\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k} ]^2 + a^2)^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
chem_victory в сообщении #920954 писал(а):
Разобьем поле на скалярную составляющую $\varphi $ и векторную $\overrightarrow{c}$

Энто как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 18:46 


26/12/12
110
Утундрий в сообщении #920958 писал(а):
chem_victory в сообщении #920954 писал(а):
Разобьем поле на скалярную составляющую $\varphi $ и векторную $\overrightarrow{c}$

Энто как?


ну, чтоб вычислять проще было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Так само разложение приведите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 18:51 


26/12/12
110
Утундрий в сообщении #920961 писал(а):
Так само разложение приведите.

обновил шапку

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
chem_victory в сообщении #920954 писал(а):
Вычислим 1 слагаемое:
$\varphi [\triangledown \times \overrightarrow{c}] = \varphi[\triangledown \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]] = \varphi(\overrightarrow{r}\operatorname{div}(\overrightarrow{k}) - \overrightarrow{k}\operatorname{div}(\overrightarrow{r})+ \frac{d\overrightarrow{r}}{d\overrightarrow{k}} - \frac{d\overrightarrow{k}}{d\overrightarrow{r}})  =\varphi( 0 -3\overrightarrow{k} +\overrightarrow{k} -0) = -2\varphi \overrightarrow{k} = -\frac{2\overrightarrow{k}(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r} \cdot \frac{1}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2}$

А это откуда выползло?
$\frac{d\overrightarrow{r}}{d\overrightarrow{k}} - \frac{d\overrightarrow{k}}{d\overrightarrow{r}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 19:03 


26/12/12
110
Утундрий в сообщении #920967 писал(а):
chem_victory в сообщении #920954 писал(а):
Вычислим 1 слагаемое:
$\varphi [\triangledown \times \overrightarrow{c}] = \varphi[\triangledown \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]] = \varphi(\overrightarrow{r}\operatorname{div}(\overrightarrow{k}) - \overrightarrow{k}\operatorname{div}(\overrightarrow{r})+ \frac{d\overrightarrow{r}}{d\overrightarrow{k}} - \frac{d\overrightarrow{k}}{d\overrightarrow{r}})  =\varphi( 0 -3\overrightarrow{k} +\overrightarrow{k} -0) = -2\varphi \overrightarrow{k} = -\frac{2\overrightarrow{k}(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r} \cdot \frac{1}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2}$

А это откуда выползло?

Ротор произведения полей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
chem_victory в сообщении #920954 писал(а):
$\overrightarrow{k}$ - const

P.S. Ещё и первый член вычислен неправильно...

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.10.2014, 19:15 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

chem_victory
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

_________________
Deggial всегда следит за Вами

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 19:16 


26/12/12
110
Утундрий в сообщении #920970 писал(а):
chem_victory в сообщении #920954 писал(а):
$\overrightarrow{k}$ - const

P.S. Ещё и первый член вычислен неправильно...


Это учтено в 4 слагаемом.
не могли бы вы обосновать, почему это неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Ответил в ЛС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 19:26 


26/12/12
110
*поменял обозначение, приводящее к путанице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
chem_victory в сообщении #920954 писал(а):
$\triangledown \varphi  \equiv \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} \overrightarrow{r}} =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \overrightarrow{r}} ( \frac{(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r} \cdot \frac{1}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2})=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \overrightarrow{r}} ( \frac{(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})^}{\sqrt{\overrightarrow{r}^2}} \cdot \frac{1}{\overrightarrow{k}^2\overrightarrow{r}^2-(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})^2+a^2}) = \frac{(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{\sqrt{\overrightarrow{r}^2}}\frac{-2\overrightarrow{k}^2\overrightarrow{r}+2(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})\overrightarrow{k}}{(\overrightarrow{k}^2\overrightarrow{r}^2-(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})^2+a^2)^2}=-\frac{2(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})[\overrightarrow{k} \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k} ]]}{r([\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2)^2}$

Ага, вот оно. Первый член продифференцировать забыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 19:31 


26/12/12
110
Утундрий в сообщении #920982 писал(а):
chem_victory в сообщении #920954 писал(а):
$\triangledown \varphi  \equiv \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} \overrightarrow{r}} =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \overrightarrow{r}} ( \frac{(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r} \cdot \frac{1}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2})=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \overrightarrow{r}} ( \frac{(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})^}{\sqrt{\overrightarrow{r}^2}} \cdot \frac{1}{\overrightarrow{k}^2\overrightarrow{r}^2-(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})^2+a^2}) = \frac{(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{\sqrt{\overrightarrow{r}^2}}\frac{-2\overrightarrow{k}^2\overrightarrow{r}+2(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})\overrightarrow{k}}{(\overrightarrow{k}^2\overrightarrow{r}^2-(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})^2+a^2)^2}=-\frac{2(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})[\overrightarrow{k} \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k} ]]}{r([\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2)^2}$

Ага, вот оно. Первый член продифференцировать забыли.


Неа, он нулю равен после дифирицирования, потому просто вынес.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ротор. векторный анализ
Сообщение19.10.2014, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
chem_victory в сообщении #920983 писал(а):
он нулю равен после дифирицирования

(*дифференцирования)

Отнюдь:
$$\vec \nabla \left( {\frac{{\vec r}}{r}} \right) = \frac{{\vec \nabla \vec r}}{r} - \vec r\frac{{\vec \nabla r}}{{r^2 }} = \frac{{\hat 1}}{r} - \frac{{\vec r\vec r}}{{r^3 }}, \qquad k_s \vec \nabla \left( {\frac{{x_s }}{r}} \right) = \frac{1}{r}\left( {\hat 1 - \frac{{\vec r\vec r}}{{r^2 }}} \right) \cdot \vec k \equiv \frac{{\vec k_ \bot  }}{r}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group