Магические квадраты

[Aleks-Sid]

shwedka
Я давал ссылку, когда зашел сюда. Успех в принципе феноменальный. Для МК 10х10 по 36 направлениям из 40 достигнута магическая сумма 505. Только две ломаные диагонали дают сумму 504 и еще две - сумму 506. Нигде подобного результата не видел. Но зреет надежда, что и полученный рекорд может быть побит. Только я уже полностью выдохся, как марафонец. Нужен свежий взгляд на вывод из статьи http://renuar911.narod.ru/magicProstChetn.mht

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

Я бы очень хотел дождаться положительного ответа, то есть обнаруженного пандиагонального квадрата 10х10. Дело как раз в том, что не знаю - может ли существовать оный?

Не дождётесь! Традиционного пандиагонального квадрата 10-го порядка не существует!!
Когда я писала статью для журнала, мой рецензент написал мне, что надо бы указать источник, где доказывается утверждение "для порядков n=4k+2 не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных традиционных магических квадратов". Я ответила, что нигде такого доказательства не видела. Тогда он посоветовал мне сослаться на книжку М. Гарднера. Хотя М. Гарднер тоже не приводит доказательства этого утверждения, но само-то утверждение приводит! А Гарднеру можно доверять, я думаю. Так что лучше направьте свою энергию на доказательство этого утверждения, а не тужьтесь построить невозможное. Даже если вы построите квадрат, в котором магической суммы не будет всего в одной разломанной диагонали, всё равно такой квадрат не может считаться пандиагональным. "Почти", как известно, не считается. Я вот, например, построила по алгоритму Франклина почти совершенные квадраты, да грош им цена. Зато с восторгом обнаружила совершенные квадраты Гуркенса, без всяких "почти". Мне осталось только строить подобные квадраты. Но и это очень интересно!
Попробовала вчера доказать, что не существует ассоциативного квадрата 6-го порядка. Схема доказательства очень громоздкая. Если кому-то интересно, могу рассказать. Кто-нибудь предложит более изящную схему доказательства хотя бы для конкретного квадрата 6-го порядка? Не говорю уже об общем случае - любого порядка n=4k+2, k=1, 2, 3...

[shwedka]

Aleks-Sid
Долго Вам ждать придется, коллега. Несуществоваnие такого квадрата доказано в статье
B. Rosser, R.Walker, The algebraic theory of diabolic magic squares. Duke Math. Journal, 5, 1939, pp. 705-728,
Tеорема 5.2, стр. 718.

Aleks-Sid в сообщении #155833 писал(а):

Меня удивляет другое: мы находимся в разделе, где обсуждаются проблемы магических квадратов. Тут, я вижу, активно с этой темой работают. Я задаю вопросы по самой трудной разновидности МК четно-нечетного порядка, а спор идет о чем угодно, но толькое не о них. Впервые встретил такой форум.

Да, впервые такой дурной форум попался. А не попался бы, ждали бы еще 70 лет.

Tепeрь ждите чего-нибудь другого

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak , shwedka !

Математика - вещь непростая и вообще непредсказуемая. В целочисленных системах, где огромное число вариантов и комбинаций, случаются необычайно удивительные открытия. Ярким историческим примером может служить гипотеза Эйлера, который предположил, что уравнение (x)^4 + (y)^4 + (z)^4 = (w)^4,
аналогичное уравнению Ферма, не имеет ненулевых решений в целых числах. На протяжении двух столетий никому не удавалось доказать гипотезу Эйлера, как, впрочем, и опровергнуть ее контрпримером. Ни первые вычисления вручную, ни долгие годы просеивания чисел с помощью компьютеров не позволили обнаружить ни одного решения. Отсутствие контрпримера воспринималось как убедительное свидетельство в пользу гипотезы Эйлера. Но в 1988 году Наум Элькис из Гарвардского университета нашел следующее решение:
(2 682 440)^4 + (15 365 639)^4 + (187 960)^4 = (20 615 673)^4.
А год спустя Роджер Фрай, затратив 110 часов работы суперкомпьютера Connection Machine, показал, что единственным решением для w < 1 000 000 является (95 800)^4 + (217 519)^4 + (414 560)^4 = (422 481)^4. Несмотря на все «подкрепляющие» данные гипотеза Эйлера оказалась ложной. В действительности Элькис и Фрай доказали, что это уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах.
Магических квадратов порядка 10 столько разновидностей, что пожалуй такого количества не найти во всей Вселенной. Число протонов - и то наверняка меньше. Поэтому вполне возможен и панмагик порядка 10. Есть только одно исключение - очень строгое математическое доказатальство невозможности данной гипотезы. У меня огромный список литературы по данной проблеме и ни одного строго доказательства я не увидел. И, значит, говорить: "Традиционного пандиагонального квадрата 10-го порядка не существует!!" - явно преждевременно. И еще одно замечание. Доказательств Великой Теоремы Ферма за 358 лет было несколько сот тысяч. Но лишь одно из них (на 200 листах математического текста!) оказалось безупречным. В нашем случае ситуация очень похожая. Я не настолько гениален, чтобы (подобно Эндрю Уайльсу) привлечь самые новые и разносторонние методы построения цепи рассуждений.

[shwedka]

Aleks-Sid в сообщении #156145 писал(а):

У меня огромный список литературы по данной проблеме и ни одного строго доказательства я не увидел.

Значит, вы не видели доказательства 39 года? Или нашли в нем ошибку?
Прислать Вам текст, если самому не достать? Или не надо -- все равно не понять.

Учтите, что это не рукописи нонеймов, которых у Вас огромный список (поделитесь!! 5 штук обнародуйте), а прореферированная профессиональная статья в одном из наиболее уважаемых математических журналов. За 70 лет пока никто ошибки не нашел.

Отмечу, что Россер, умерший в 1989, был видным математиком, с более, чем 60, публикациями по математике. Ваших публикаций в научных журналах мне найти по непонятной причине не удалось, хотя я и искала одинаково старaтельно. Похоже, что он ваших публикаций не читал, как и Вы его, хотя и по разным причинам.

Так что дерзайте!!

[Aleks-Sid]

shwedka
Он не мог видеть моих работ, так как умер за 5 лет до моего начала вхождения в Интернет. Доказательство пришлите, пожалуйста. Насчет видности скажу следующее: видный - это далеко не гениальный. Жириновский тоже видный политик. Ну и что? Ведь даже Эйлер (он на 7 голов выше Россера) - и тот ошибался, как видно из моего предыдущего письма.
Литературой обязательно поделюсь, поскольку это не секрет.

[shwedka]

shwedka в сообщении #156118 писал(а):

Несуществоваnие такого квадрата доказано в статье B. Rosser, R.Walker, The algebraic theory of diabolic magic squares. Duke Math. Journal, 5, 1939, pp. 705-728,
Tеорема 5.2, стр. 718.

A теперь принимайте саму статью.
http://ifolder.ru/8920798
прошу пардону за качество.

[nowindows]

Доброго времени,

Не так давно Аскер Абиев нашел по его словам простой и изящный способ строить квадраты любых порядков.
есть такой сайт как
http://www1.gantep.edu.tr/~bingul/php/m ... -index.php

Так вот, если выбрать Square own base (построить квадрат по собственной системе счисления, т.е. для 3х3 это будет троичная, для 4х4 четвричная и т.д.)
то получаем

20 01 22
21 12 10
02 100 11

числовой ряд 01 02 10 11 12 20 21 22 100

если вычесть единицу из каждого числа то выходит
12 00 21
20 11 02
01 22 10
Ясное дело что квадрат строится в собственной системе счисления начиная от среднего столбца 00 11 22.

Если выбрать 4х4, то получаем

01 33 32 10
30 12 13 21
20 22 23 11
31 03 02 100
если вычесть единицу, то выходит

00 32 31 03
23 11 12 20
13 21 22 10
30 02 01 33

числовой ряд 01 02 03 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100

ясно что квадрат строится 00 11 22 33 только по диагонали

Остальные в том же духе, разница лишь чет и нечет.

Вопрос только по каким принципам выстраиваются остальные цифры в этом квадрате.
Есть ли мысли?


Спасибо.

[Nataly-Mak]

Метод, о котором вы рассказали, очень хорошо известен. Это метод построения магических квадратов с помощью латинских квадратов.
Если для конкретного примера n=4, приведённого вами. Вот первый латинский квадрат:

0 3 3 0
2 1 1 2
1 2 2 1
3 0 0 3

Вот второй латинский квадрат, он ортогонален первому:

0 2 1 3
3 1 2 0
3 1 2 0
0 2 1 3

В данном случае оба латинских квадрата - обобщённые латинские квадраты. Очевидно, что второй квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов вокруг центра квадрата против часовой стрелки.
А это греко-латинский квадрат, полученный из данных латинских простым объединением:

00 32 31 03
23 11 12 20
13 21 22 10
30 02 01 33

Способов составления двух ортогональных латинских квадратов, из которых получаются магические квадраты разных видов, очень много. Посмотрите, например, эту статью:
“Построение идеальных квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов”.
Посмотрите здесь тему Латинские квадраты.
***
shwedka, огромное спасибо за статью с доказательством Россера. Скачала, но ещё не смотрела.

[Nataly-Mak]

shwedka писал(а):

Ваших публикаций в научных журналах мне найти по непонятной причине не удалось, хотя я и искала одинаково старaтельно.

Ну, почему же по непонятной причине? Причина очень даже понятная. Таких публикаций, скорее всего, просто не существует.
Я здесь уже вскользь касалась этого вопроса. Может быть, некоторые снова упрекнут меня в том, что элементы моей личной жизни никому не интересны. Но поскольку вся моя жизнь в настоящее время есть только магические квадраты, то магические квадраты и есть элементы моей жизни. Приношу извинения, если это сообщение похоже на оффтоп.
Итак, почему в реферируемых научных журналах нет публикаций о магических квадратах, например, Александрова? Скажите, shwedka, а вы в каких журналах искали? На английском языке? А скажите, какие есть реферируемые математические журналы на русском языке, в которых, скажем, за 2008 г. опубликована хоть одна статья о магических квадратах? Если найдёте такую, сразу сообщите. Так хочется прочитать статью на русском языке! Например, есть ли хоть одна статья на русском языке о совершенных магических квадратах и методах их построения? Я искала в Интернете очень усердно и не нашла. Есть ли ещё хоть одна статья на русском языке (кроме цитированной здесь статьи о полумагическом квадрате 32-го порядка) о квадратах Франклина? Я видела только одну такую статью, где авторы кратко рассказали о полумагическом квадрате Франклина 16-го порядка, и всё! Конечно, у меня очень ограниченные возможности пользования Интернетом (ещё раз прошу прощения за элемент моей личной жизни). Но вот у вас, shwedka, эти возможности неограниченные. Вы что-нибудь видели из указанного выше на русском языке?
Вот вы писали мне, что на Западе существует практика предварительных публикаций статей. В этом случае статьи не рецензируются и не отклоняются. Сам автор решает, что опубликовать. Только после этого статьи рассматриваются и достойные публикуются в журналах. Я правильно поняла?
Существует ли такая практика в России?
Мне было сказано, что статья сначала должна быть хорошо написана, затем она предлагается в журнал, её рассматривают, рецензируют и уже после такого отбора публикуют или не публикуют.
Вот статья мной написана (в журнальном варианте). [Вообще-то написано около 70 статей о магических квадратах, довольно больших. Все они выложены на сайте. Неужели все статьи написаны из рук вон плохо?] На моё письмо в журнал “Квант” я не получила никакого ответа. Больше никаких журналов не знаю. Есть ли такие научные математические журналы в России? Как мне до них достучаться?
Мой брат (он живёт в Душанбе) писал мне недавно, что знакомый ему редактор журнала “Математика в школе” предложил опубликовать статью о магических квадратах. Брат попросил меня подготовить статью. Я послала ему ту же самую статью о квадратах Франклина, она как раз в этот момент была написана. Через некоторое время получила ответ: редактор отклонил статью, причина была названа такая: статья слишком сложная для школьников и учителей.
Дальше брат написал, что попробует опубликовать её в известиях Академии наук Таджикистана. Но это уж точно не получится! Прямо нонсенс: результаты получены в России русским автором, а сообщать о них будет таджикская Академия наук.
Вы знаете, кто изобрёл лампу накаливания Эдисона? Её изобрёл русский учёный Александр Николаевич Лодыгин. А через 6 лет русский лейтенант, отправляясь в США, прихватил с собой лампочку Лодыгина и там показал её Эдисону. Эдисон сразу запатентовал лампу. И лампа стала называться лампой Эдисона.
Такая же история может произойти, например, с цепями Александрова. Некий русский патриот в США, Швеции или Канаде покажет цепи Александрова какому-нибудь мистеру Х, понимающему толк в магических квадратах. Мистер Х опубликует в реферируемом научном журнале статью уже под своим именем. И будут цепи Александрова называться цепями мистера Х. И никакие публикации в Интернете ничего не смогут изменить.
Aleks-Sid, скажите, у вас есть научные публикации в журналах? Если есть, представьте, пожалуйста. Если нет, то почему? Вы пытались опубликовать свои работы? Это не праздные вопросы! Поделитесь опытом, если таковой имеется. А книгу о магических квадратах вы издали?
Мне давали совет: обратиться за советом (простите за каламбур ) к Ю. В. Чебракову по поводу того, как издать книгу. Я последовала этому совету и задала вопрос Ю. В. Чебракову. Ответ был таким:
“Для того, чтобы издать книгу я иду со своим макетом
в какую-нибудь типографию, где сначала знакомлюсь с
образцами печатной продукции, узнаю общую стоимость
работы, стоимость ISBN и пр. Потом я иду в другую...
Итак до тех пор, пока не найду такое место, где меня
все устраивает”.
Как я поняла из этого ответа, издавать книгу надо за свои деньги. Правильно поняла? Ну, за таким советом далеко не надо ходить. Автор совета не сказал только, где взять деньги.

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak!

У меня нет публикаций в журналах, поскольку не вижу в этом необходимости. Точнее, публикаций было много в "Трудах" моего института и в журнале "Транспорт", - это когда был в аспирантуре и после защиты диссертации. Там около 25 статей, не более.
После перестройки, когда я стал свободным, то публикуюсь исключительно в интеренете. Во-первых, это быстро и доступно всему миру. Во-вторых, обходится безо всяких денег. В-третьих, статья никогда не потеряется.
Теперь по существу.
Я бегло прошелся по доказательсву Россера. Смысл ухватил, но мне показалось, что он не все случаи рассмотрел. Нужно будет очень внимательно проштудировать. Но вот что у меня в голове возникло. Мне думается, что исторически неверно дано определение "магического квадрата". Говорят, это по строкам, столбцам и двум главным диагоналям. Но почему именно по двум? На мой взгляд, магический квадрат - это максимально приближенный к пандиагональному. Для нечетных n и n=4k - это строго пандиаглнальный квадрат, то есть количество магических сумм 4n, а вот для n=4k+2 нужно как следует подумать. Я приблизился до 4(n - 1) для любого n простой четности [обратите внимание, для n=3 число магических сумм тоже равно 4(n-1)]. Возможно, есть решение ближе. Наличие же ассоциативности и совершенсва - это просто дополнительные свойства. Как вам эта идея?
Что же касается доказательства невозможности ассоциативности и пандиагональноасти для n=4k+2, то на мой взгляд проще всего идти путем анализа четности-нечетности чисел. Это наиболее общий и универсальный подход.
shwedka! От меня тоже огромное спасибо за красивую статью. Я о ней много раз слышал, видел обложку книги, но текста найти не удавалось.

[nowindows]

Nataly-Mak
Спасибо большое! Очень просвятили.

[PAV]

nowindows писал(а):

Nataly-Mak
Спасибо большое! Очень просвятили.

Может быть, эта благодарность адресована все-таки 2 shwedka ?

[Aleks-Sid]

shwedka

Цитата:

Не может непроверенный путь быть проще того, который к успеху привел.

Вот оказывается - может, если у искателя развита обостренная интуиция. Как первый взгляд обычно является самым верным, так и у меня - самая первая мысль всегда безошибочна. Я не хочу нисколечки хвастаться, но фактов более чем достаточно. Чем это объяснить - не знаю. Такое ощущение, будто я молниеносно гляжу на десятки ходов вперед, как опытный гроссмейсер в шахматном турнире. Если к этому зову мысли не прислушаюсь, сочтя его абсурдным, то непременно влипаю в тупиковое болото. Так у меня было с поиском магических кладок, в существование которых никто не верил. Столь чудное открытие легло в основу диссертации. Основная идея опубликована здесь: http://www.arbuz.uz/s_kladka.html . Эта идея пришла мне в голову на 4-м курсе института, когда лектор очень четко обозначил задачу и уверял в невозможности создания кладок из блоков с разными габаритами, но одинаковой массы. Помню, как искра прошла в нейронах моей черепной коробки и я четко осознал - решение есть и оно зиждется на трех попарно простых числах.
Вы писали мне, что не находили моих статей. Ну, если у Вас столь мощная платная поисковая система, то ничего не стоит по ключу Георгий Александров найти даже те статьи, о которых я и сам забыл.

[shwedka]

Aleks-Sid в сообщении #156466 писал(а):

Вы писали мне, что не находили моих статей. Ну, если у Вас столь мощная платная поисковая система, то ничего не стоит по ключу Георгий Александров найти даже те статьи, о которых я и сам забыл.

Я не отрицаю наличия ваших статей. Но, возможно, они не по математике, тогда не имеют ко мне отношения. По крайней мере, имеется Георги Александров из Болгарии, а Вас не показывают...Вот такой баг у системы обнаружился.