2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2014
Сообщение27.10.2014, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
bot в сообщении #923114 писал(а):
5. Найти все функции $f\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty)$, удовлетворяющие тождеству $4f(f(x))=-4f(x)+3x$.
Поскольку $f(x)\geqslant0$, то $f(x)\leqslant\dfrac34x$, в частности, $f(0)=0$. Пусть
$$0\leqslant m:=\inf_{x>0}\frac{f(x)}x\leqslant\sup_{x>0}\frac{f(x)}x=:M\leqslant\frac34.$$
Тогда $m^2x\leqslant f(f(x))\leqslant M^2x$, так что $\left(\dfrac34-M^2\right)x\leqslant f(x)\leqslant\left(\dfrac34-m^2\right)x$, т.е. $\dfrac34-M^2\leqslant m\leqslant M\leqslant\dfrac34-m^2$. В принципе, можно нарисовать картинку и увидеть, что $m=M=\dfrac12$, т.е. $f(x)=x/2$. Или так: с одной стороны, $m\leqslant\dfrac12$; с другой стороны, $m\geqslant\dfrac34-\left(\dfrac34-m^2\right)^2$, или $(m-1/2)^3(m+3/2)\geqslant0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2014
Сообщение27.10.2014, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828

(Оффтоп)

ewert в сообщении #923298 писал(а):
bot в сообщении #923114 писал(а):
1. Пусть $f(x)$ определена и монотонна на промежутке $[0; +\infty).$
Докажите, что, если и несобственный интеграл $\int\limits_0^{+\infty}f(x)\,dx$ сходится, то $\lim\limits_{x\to +\infty}xf(x)=0.$

Задача, конечно, бродячая, но как её модно решать в приличном обществе -- не помню.
В приличном обществе принято рассматривать интеграл $\int_{x/2}^xf(t)\,\mathrm dt$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2014
Сообщение27.10.2014, 22:13 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
bot в сообщении #923114 писал(а):
3. Петя и Вася по очереди передвигают фишку в прямоугольнике $1959\times 2014$, разбитом на единичные квадратики. Первоначальное положение фишки --- в правом верхнем угловом квадратике. За один ход разрешается передвинуть фишку в пределах прямоугольника на любое положительное число квадратиков либо влево либо вниз.
Выигрывает тот, кто первым займёт левый нижний угол. Первый ход у Пети, зато Вася имеет право один раз за всю игру отказаться от очередного хода. У кого есть выигрышная стратегия?

А что за странное условие? С такими правилами Вася выиграет практически в любой игре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2014
Сообщение28.10.2014, 05:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Например, в шахматах?
Хотелось сквозную задачу для всех. Выбрал 3-ю, но для непрофильных потребовалось упрощение. Естественно было просто поменять цель на противоположную, но тогда уж слишком просто было бы - вот эпсилон и добавил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2014
Сообщение28.10.2014, 07:26 
Заслуженный участник


12/09/10
1547

(Оффтоп)

Практически в любой - это не значит в любой :-)

Но зачем тогда весь первый абзац?
Игра конечна, а значит существует выигрышная стратегия. Если после первого хода Пети (а он не может выиграть за один ход) выигрышная стратегия у начинающего - Вася применяет её. Если у второго - Вася пропускает ход и тоже выигрывает.
Задача проста, чтобы так читерить, но должны же были быть такие решения?
Кстати, Вы ее с форума взяли http://dxdy.ru/topic88869.html или это просто совпадение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2014
Сообщение28.10.2014, 07:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Совпадение. Я уже сказал, откуда она.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2014
Сообщение28.10.2014, 09:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
bot в сообщении #923114 писал(а):
5. Найти все функции $f\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty)$, удовлетворяющие тождеству $4f(f(x))=-4f(x)+3x$.

Заданное тождество $4f_2(x)=-4f_1(x)+3f_0(x)$ перепишем двумя способами:

(1) $\displaystyle f_{n+1}(x)+\frac{3}{2}f_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(    f_{n}(x)+\frac{3}{2}f_{n-1}(x)      \right)$
(2) $\displaystyle f_{n+1}(x)-\frac{1}{2}f_{n}(x)=-\frac{3}{2}\left(    f_{n}(x)-\frac{1}{2}f_{n-1}(x)      \right)$

Из (1) следует, что $f_n(x)$ стремится к нулю с ростом $n.$
Тогда из (2) следует, что $f_{n}(x)-\frac{1}{2}f_{n-1}(x)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2014
Сообщение28.10.2014, 09:57 


03/04/06
40
Иркутск
С произведением красивая задача, помнится на какой-то из олимпиад решал нечто подобное с переходом от двойной суммы к интегралам =)

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2014
Сообщение25.07.2015, 16:10 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
bot в сообщении #917901 писал(а):
5. Найдите наименьший квадрат, который можно сложить из $10$ различных прямоугольников с целочисленными сторонами.

10 наименьших по площади прямоугольников с целочисленными сторонами имеют площадь 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7 и 8 соответственно, а это в сумме 46, следовательно, "шестёрочки" у нас не получится.
"Семёрочка" же режется легко:
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group