Олимпиада НГУ - 2014

[bot]

Именно так и загадывалось и даже примеры те же.

[Skeptic]

Sonic86 в сообщении #918056 писал(а):

Проведем в $\mathbb{Q}$-многоугольнике через все его вершины вертикальные и горизонтальные прямые. Они разобьют $\mathbb{Q}$-многоугольник на $\mathbb{Q}$-прямоугольники и $\mathbb{Q}$-прямоугольные трапеции, у которых стороны параллельны осям координат. В силу последнего их площади рациональны. Значит площадь $\mathbb{Q}$-многоугольника рациональна.

Расстояние, параллельное одной из координат, от вершины до противостояшей стороны может не быть рациональным числом.

********************

Разобьём многоугольник диагоналями на треугольники. Вершины всех треугольников - рациональные координаты, и их площади выражаются рациональными числами, и, следовательно, площадь многоугольника - рациональное число..

[TOTAL]

Skeptic в сообщении #919335 писал(а):

Sonic86 в сообщении #918056 писал(а):

Проведем в $\mathbb{Q}$-многоугольнике через все его вершины вертикальные и горизонтальные прямые. Они разобьют $\mathbb{Q}$-многоугольник на $\mathbb{Q}$-прямоугольники и $\mathbb{Q}$-прямоугольные трапеции, у которых стороны параллельны осям координат. В силу последнего их площади рациональны. Значит площадь $\mathbb{Q}$-многоугольника рациональна.

Расстояние, параллельное одной из координат, от вершины до противостояшей стороны может не быть рациональным числом.

Это расстояние по условию рацинально (как разность двух рациональных).

[bot]

XXXII МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ (Новосибирск 2014 г)

1 курс.

1. Найти все действительные решения системы уравнений:

$$\left\{\begin{matrix}2x_1= x_2+\frac{1}{x_2} \\ 2x_2= x_3+\frac{1}{x_3}\\ \cdots\\ 2x_n= x_1+\frac{1}{x_1} \end{matrix}\right. $$

2. Вещественная функция $f$ задана на промежутке $I$ и для любых $ x, y\in I$ удовлетворяет неравенству $|f(x)-f(y)|\leqslant (x-y)^2.$ Найдите все такие функции.

3. Два игрока по очереди передвигают фишку в прямоугольнике $1959\times 2014$, разбитом на единичные квадратики. Первоначальное положение фишки --- в правом верхнем угловом квадратике. За один ход разрешается передвинуть фишку в пределах прямоугольника на любое положительное число квадратиков либо влево либо вниз. Выигрывает игрок, у которого в его очередь не будет хода. У кого есть выигрышная стратегия?

4. Найти все натуральные решения уравнения $x^y=(x+y)^x$

5. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(\arcsin x)^3 + (\arccos x)^3 = a$ имеет единственное решение?

2-4 курсы с профилирующей математикой

1. Пусть $f(x)$ определена и монотонна на промежутке $[0; +\infty).$
Докажите, что, если и несобственный интеграл $\int\limits_0^{+\infty}f(x)\,dx$ сходится, то $\lim\limits_{x\to +\infty}xf(x)=0.$

2. Вычислить предел

$$\lim\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n}\prod\limits_{i=1}^{n} (n^2 + i^2 )^\frac{i}{n^2} $$

3. См. задачу 3 для первого курса

4. Пусть вещественная функция $f$, определённая в некоторой окрестности точки $x_0\in \mathbb R$, дифференцируема в этой окрестности и

$$\lim \limits_{n\to \infty}\dfrac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n}=f'(x_0)$$

для любых двух последовательностей $x_n$ и $y_n\ \ (x_n\ne y_n)$ сходящихся к $\ x_0$. Докажите, что производная этой функции непрерывна в точке $x_0.$

5. Найти все функции $f:[0; +\infty)\to [0; +\infty)$, удовлетворяющие тождеству

$$4f(f(x))=-4f(x)+3x.$$

2-4 курсы без профилирующей математики

1. В треугольник с длинами сторон $4, 5$ и $6$ вписан параллелограмм так, что две его стороны лежат на сторонах треугольника. Какую наибольшую площадь он может иметь?

2. Пусть периодическая с периодом $2T$ функция $f$ определена и непрерывна на $\mathbb R.$ Докажите, что $f(x)=f(x+T)$ для некоторого $x \in [0,\,T).$

3. Петя и Вася по очереди передвигают фишку в прямоугольнике $1959\times 2014$, разбитом на единичные квадратики. Первоначальное положение фишки --- в правом верхнем угловом квадратике. За один ход разрешается передвинуть фишку в пределах прямоугольника на любое положительное число квадратиков либо влево либо вниз.
Выигрывает тот, кто первым займёт левый нижний угол. Первый ход у Пети, зато Вася имеет право один раз за всю игру отказаться от очередного хода. У кого есть выигрышная стратегия?

4. Ряд $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$ сходится. Докажите, что ряд $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ тоже сходится.

5. Сколько существует непрерывных на отрезке $[0;a]$ функций, удовлетворяющих уравнению $y^2+2y+\sin^2\pi x=0?$

[ewert]

bot в сообщении #923114 писал(а):

2. Вещественная функция $f$ задана на промежутке $I$ и для любых $ x, y\in I$ удовлетворяет неравенству $|f(x)-f(y)|\leqslant (x-y)^2.$ Найдите все такие функции.

Так производная ж.

bot в сообщении #923114 писал(а):

4. Пусть вещественная функция $f$, определённая в некоторой окрестности точки $x_0\in \mathbb R$, дифференцируема в этой окрестности и

$$\lim \limits_{n\to \infty}\dfrac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n}=f'(x_0)$$

для любых двух последовательностей $x_n$ и $y_n\ \ (x_n\ne y_n)$ сходящихся к $\ x_0$. Докажите, что производная этой функции непрерывна в точке $x_0.$

Тут принципиально то, что обе последовательности имеют право подходить к предельной точке с одной и той же стороны. Тогда всё банально: строим последовательность точек, производные по которым не сходятся, и окружаем эти точки достаточно близкими иксами и игреками.

-- Вс окт 26, 2014 15:59:20 --

bot в сообщении #923114 писал(а):

5. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(\arcsin x)^3 + (\arccos x)^3 = a$ имеет единственное решение?

А, ну тут надо просто тупо производную взять. Итого $a\in\left\{\frac{2\pi^3}{64}\right\}\cup\left(\frac{\pi^3}8;\,\pi^3-\frac{\pi^3}8\right]$.

-- Вс окт 26, 2014 16:10:35 --

bot в сообщении #923114 писал(а):

1. Найти все действительные решения системы уравнений:

$$\left\{\begin{matrix}2x_1= x_2+\frac{1}{x_2} \\ 2x_2= x_3+\frac{1}{x_3}\\ \cdots\\ 2x_n= x_1+\frac{1}{x_1} \end{matrix}\right. $$

Иксы или все отрицательны, или все положительны. В последнем случае они все не меньше единицы, и при этом $\sum x_k=\sum\frac1{x_k}$; следовательно, они все равны единице.

[EtCetera]

bot в сообщении #923114 писал(а):

2. Вычислить предел

$$\lim\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n}\prod\limits_{i=1}^{n} (n^2 + i^2 )^\frac{i}{n^2} $$

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\prod\limits_{i=1}^{n} \left(n^2 + i^2\right)^\frac{i}{n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(n^2\right)^{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{n^2}}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{i=1}^{n} \left(1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2 \right)^\frac{i}{n^2}$$

$$\lim\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n}\left(n^2\right)^{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{n^2}}=\lim\limits_{n\to\infty}n^{2\cdot\frac{n(n+1)}{2n^2}-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{i=1}^{n} \left(1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2 \right)^\frac{i}{n^2}=\exp\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{i}{n}\ln\left(1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2 \right)\frac{1}{n}=$$

$$=\exp\int\limits_0^1 x\ln(1+x^2)\,dx=\exp\left(\left.\frac{1}{2}(1+x^2)(\ln(1+x^2)-1)\right|_0^1\right)=\exp\left(\ln 2-\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{\sqrt{e}}$$

Upd: Исправлена ошибка в последней строчке. Спасибо, NSKuber.

[nnosipov]

bot в сообщении #923114 писал(а):

4. Найти все натуральные решения уравнения $x^y=(x+y)^x$

Здесь нужно перейти к $x_1=x/d$, $y_1=y/d$, где $d=\gcd{(x,y)}$, и решение получится само собой. Ответ: $(x,y) \in \{(3,6),(2,6)\}$.

[NSKuber]

EtCetera в сообщении #923148 писал(а):

$$=\exp\int\limits_0^1 x\ln(1+x^2)\,dx=\exp\left(\left.\frac{1}{2}(1+x^2)(\ln(1+x^2)-1)\right|_0^1\right)=\exp(\ln 2-1)=\frac{2}{e}$$

У вас в последнем переходе ошибка, при подсчёте первообразной на границе.
Спасибо, вот до этого перехода, довольно тривиального, от суммы к интегралу я сегодня не додумался :(
Добавлено: теперь верно!

[EtCetera]

NSKuber в сообщении #923170 писал(а):

У вас в последнем переходе ошибка, при подсчёте первообразной на границе.

И правда. Спасибо, поправил (проверьте ).

[bot]

Теперь верно $\frac{2}{\sqrt e}$

-- Вс окт 26, 2014 21:16:49 --

ewert в сообщении #923134 писал(а):

Так производная ж

Об этом не подумал - первый курс же ж, хотя многие так и решали. Сам я разбивал отрезок на $n$ равных частей и уменьшал оценку в $n$ раз.

-- Вс окт 26, 2014 21:18:12 --

ewert в сообщении #923134 писал(а):

А, ну тут надо просто тупо производную взять

Можно и параболой обойтись.

-- Вс окт 26, 2014 21:25:34 --

ewert в сообщении #923134 писал(а):

Тут принципиально то, что обе последовательности имеют право подходить к предельной точке с одной и той же стороны

Не понял, в чём принципиальность. Просто окружаем точки, в которых получаем расходящуюся последовательность производных достаточно малыми окрестностями и приближаем в них оные конечно разностными отношениеми с половинной точностью.

[ewert]

bot в сообщении #923176 писал(а):

Не понял, в чём принципиальность.

В том, что если потребовать подхода этих последовательностей обязательно с разных сторон, то утверждение становится неверным (что, собственно, представляет собой некоторую отдельную задачку).

[bot]

А, ну да, если взять последовательность, подходящую к $x_0$ со одной стороны, то и близкие к ним точки будут подходить с той же самой стороны и нужного противоречия с ослабленным условием не получится. Над отдельной задачей сейчас думать сил нет.

[ewert]

bot в сообщении #923114 писал(а):

1. Пусть $f(x)$ определена и монотонна на промежутке $[0; +\infty).$
Докажите, что, если и несобственный интеграл $\int\limits_0^{+\infty}f(x)\,dx$ сходится, то $\lim\limits_{x\to +\infty}xf(x)=0.$

Задача, конечно, бродячая, но как её модно решать в приличном обществе -- не помню. На сегодня мне наиболее лаконичным способом показался такой. Утверждение сводится к следующему: для любой монотонно уходящей на бесконечность последовательности ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{x_{k+1}-x_{k}}{x_{k+1}}$ расходится. Ну так если общий член этого ряда не стремится к нулю, то последнее утверждение тривиально; если же стремится, то этот общий член эквивалентен

$\frac{x_{k+1}-x_{k}}{x_{k}}=\frac{x_{k+1}}{x_{k}}-1>\ln\frac{x_{k+1}}{x_{k}}=\ln x_{k+1}-\ln x_{k}.$

-- Вс окт 26, 2014 22:42:01 --

bot в сообщении #923220 писал(а):

Над отдельной задачей сейчас думать сил нет.

Ну, собственно, задачка примерно такая: доказать, что стандартное определение производной равносильно тому, что $f'(x)=\lim\limits_{h_1,h_2\to+0}\frac{f(x+h_1)-f(x-h_2)}{h_1+h_2}$. И это полезное утверждение.

[EtCetera]

bot в сообщении #923114 писал(а):

1. Пусть $f(x)$ определена и монотонна на промежутке $[0; +\infty).$
Докажите, что, если и несобственный интеграл $\int\limits_0^{+\infty}f(x)\,dx$ сходится, то $\lim\limits_{x\to +\infty}xf(x)=0.$

Можно предложить такую вариацию: подобрать контрпример к "аналогичной" задаче с вычеркнутым требованием монотонности.

[ewert]

EtCetera в сообщении #923395 писал(а):

подобрать контрпример к "аналогичной" задаче с вычеркнутым требованием монотонности.

Ну это банально: в отсутствие монотонности выбросы вверх ничем не контролируются.