Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество

[Evgenjy]

popolznev в сообщении #916850 писал(а):

$X$ - несчётное множество в сепарабельном нормальном топологическом пространстве. Может ли такое быть, чтобы $X$ не имело предельных точек?

Ваш вопрос можно переформулировать так. Существуют ли сепарабельное нормальное топологическое пространство и несчетное подмножество этого пространства, которое не имеет предельных точек? Ответ: существуют. Может быть я своим ответом

Evgenjy в сообщении #916942 писал(а):

На плоскости с обычной топологией провести линию. На линии в дополнение к обычной топологии ввести дискретную топологию.

не достаточно четко описал такой пример. Описываю подробнее. Берутся точки плоскости. Вводится следующая топология. Ко всем обычным открытым множествам плоскости добавляются все подмножества множества точек одной прямой линии, выбранной на плоскости. Полученное топологическое пространство является сепарабельным нормальным топологическим пространством. Выбранная прямая линия является несчетным подмножеством, которое не имеет предельных точек.

[popolznev]

Evgenjy, оно ж не сепарабельное. Одноточечные множества на прямой - окрестности, и значит, всюду плотное множество обязано содержать все точки этой прямой.

[Evgenjy]

popolznev в сообщении #917164 писал(а):

оно ж не сепарабельное.

Вы правы.

[Evgenjy]

Пусть
$X$ - несчётное множество в сепарабельном нормальном топологическом пространстве не имеющее предельных точек,
$S$ - счетное всюду плотное множество в этом топ. пр-ве,
$A$ -любое подмножество $X$,
$T_A$ - открытое мн-во отделяющее $A$ от замыкания $X\setminus A$.
Каждому $A$ поставим в соответствие множество $T_A\cap S$. Если выбрать другое подмножество $B\subset X, B\neq A$, то $T_B\neq T_A$. Если бы $T_B = T_A$, то совпадали бы множества их предельных точек в $X$, т. е. $B= A$. Таким образом каждому подмножеству множества $X$ мы сопоставили подмножество множества $S$. Причем разным подмножествам множества $X$ соответствуют разные подмножества $S$. Это означает, что мощность множества всех подмножеств $S$ должна быть не меньше, чем мощность множества всех подмножеств $X$, что невозможно, поскольку $S$ - счетно, а $X$ -несчетное мн-во.

[popolznev]

Хм, интересно. Подумать надо.

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #917096 писал(а):

мат-ламер в сообщении #917086

писал(а):
А если рассмотреть множество функций $\sin ax,a>1$ ?
В $C[0;1]$? Все его точки предельные.

В пространстве ограниченных непрерывных функций на всей числовой прямой. Предположение $\sin ax,a>1$ излишне.

[lyuk]

Если $S$ счетное, а $X$ несчетное, то отсюда еще не следует, что множество всех подмножеств множества $X$ более, чем континуально. По-моему это утверждение не зависит от ZFC-аксиом.

[Someone]

lyuk в сообщении #917671 писал(а):

По-моему это утверждение не зависит от ZFC-аксиом.

Совершенно верно. Неравенство $2^{\aleph_1}>2^{\aleph_0}$ не зависит от аксиом ZFC. То есть, можно считать что первое больше второго, а можно считать, что они равны. В случае использования того или иного предположения в доказательстве какого-нибудь утверждения это должно быть явно указано. Обычно указывают в таком стиле:
Теорема [$2^{\aleph_1}=2^{\aleph_0}$] …