2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 10:25 
Аватара пользователя
$X$ - несчётное множество в сепарабельном нормальном топологическом пространстве. Может ли такое быть, чтобы $X$ не имело предельных точек?

Чую, что не может, но доказать не могу. Допустим, предельных точек у $X$ нет. Тогда, используя нормальность, можно каждую точку $x \in X$ окружить окрестностью, которая будет отделять $x$ от замыкания $X \setminus\{x\}$. Хочется положить в каждую такую окрестность по точке из счётного всюду плотного в $X$ множества и получить противоречие, потому что окрестностей несчётное множество. Но чтобы вышло противоречие, надо, чтобы окрестности попарно не пересекались, а вот этого я и не соображу, как добиться.

Где я слишком наивен?

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 12:09 
Аватара пользователя
popolznev в сообщении #916850 писал(а):
Но чтобы вышло противоречие, надо, чтобы окрестности попарно не пересекались, а вот этого я и не соображу, как добиться.
Вообще говоря, никак. Если пространство коллективно нормально, то получится.

По поводу основной задачи не знаю что сказать.

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 12:17 
Аватара пользователя
Как сказал Шерлок Холмс, "Ай-ай-ай, как это скверно".

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 13:53 
В качестве возможной идеи.
У набора функций, рассматриваемых на отрезке $[0,1]$ ,
$(x-a)\sin\frac1{x-a}$ при $a\in[0,1]$
по-моему не будет предельных точек. В качестве объемлющего топологического пространства рассматриваются непрерывные ф-ции на этом отрезке.

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 14:17 
Аватара пользователя
Да не, они должны быть близки при близких $a$: если $x$ рядом с $a$, то разность $(x-a)\sin \frac{1}{x-a} - (x-a-\delta)\sin \frac{1}{x-a-\delta} $ будет близка к 0, а подальше от точки $a$ - за счет непрерывности по параметру $a$. И вообще в метрических пространствах контрпримера наверняка не наловишь.

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 15:14 
На плоскости с обычной топологией провести линию. На линии в дополнение к обычной топологии ввести дискретную топологию. Может быть так?

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 17:17 
Аватара пользователя
Не, топологию нельзя трогать: какая есть, такая есть. Иначе смысла нет в задаче.

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 18:07 
Аватара пользователя
Вполне упорядочим $X$.
Пусть всем точкам $x$ из $X$, меньшим $x_0$, уже сопоставлены окрестности $U_x$, не пересекающиеся друг с другом, и замыкания которых не содержат других точек из $X$.
Т.к. $X \setminus {a} \mathop{\cup}\limits_{x < x_0} \overline{U_x}$ - замкнутое множество, его можно отделить от $x$. Окрестность, выполняющая это отделение, возьмем в качестве $U_{x_0}$.
Интересно, можно ли без аксиомы выбора.

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 20:44 
to mihaild
Непонятно откуда у Вас замкнутость множества $\cup_{x<x_0}\overline{U_x}$.

to popolznev
Попробуйте при условии $2^{\aleph_0}<2^{\aleph_1}$ (например, при условии CH) порассуждать, как с плоскостью Немыцкого (ее ненормальность, можно посмотреть в Энгелькинге).

При условии $2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}$ пока не вижу ответа.

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 21:08 
Аватара пользователя
Да тут понимаете, lyuk, какое дело - это учебная задача, и по идее она должна решаться без привлечения таких вот, эээ, штук.

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 21:31 
Аватара пользователя
А если рассмотреть множество функций $\sin ax,a>1$ ?

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 21:39 
Тогда может в условии вместо "несчетности" должна быть "континуальность"? В этом случае задача становится вполне себе учебной на использование известной идеи для доказательства ненормальности (плоскость Немыцкого и квадрат прямой Зоргенфрея).

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 21:52 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #917086 писал(а):
А если рассмотреть множество функций $\sin ax,a>1$ ?

В $C[0;1]$? Все его точки предельные.

-- 09.10.2014, 21:54 --

А с замкнутостью объединения я и правда поторопился. И не вижу, как это поправить.
Хотя из аксиомы выбора не будет ли сразу следовать, что $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$? (если будет, то править в любом случае бесполезно)

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 21:57 
Не будет. Это утверждение не зависит от аксиом.

 
 
 
 Re: Нормальное сепарабельное пространство, несчётное множество
Сообщение09.10.2014, 22:42 
Аватара пользователя
lyuk в сообщении #917089 писал(а):
Тогда может в условии вместо "несчетности" должна быть "континуальность"? В этом случае задача становится вполне себе учебной на использование известной идеи для доказательства ненормальности (плоскость Немыцкого и квадрат прямой Зоргенфрея).
"А вот это попробуем", как сказал не Шерлок Холмс, но тоже детектив.

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group