Пусть есть три устройства
,
и
, каждое из которых в результате испытания выдает
или
. Мы не знаем вероятностей выпадения
и
. Мы не знаем, независимы ли испытания. Мы не знаем, один ли закон распределения
и
для всех трех устройств или разные.
UPD: испытание - неопределимое понятие теории вероятностей, которое можно разъяснить на примерах. Например, для событий "выпадение орла" и "выпадение решки" испытание - бросок монеты. Когда я говорю "произведено одно испытание", я имею в виду, что произошло одно из двух событий - "устройство выдало
" или "устройство выдало
".
Мы хотим проверить гипотезу, что для всех трех устройств выполняется закон «испытания независимы друг от друга, и в каждом испытании выпадение
и
равновероятно».
Пусть устройство
в ходе десяти испытаний выдало серию
,
устройство
– серию
и устройство
– серию
.
Вопрос: можем ли мы по какому-то критерию отвергнуть предложенную гипотезу для
и/или
, но так, чтобы по аналогичному критерию не отвергнуть ее для
?
Достоверно отвергнуть ее мы не можем, потому что при независимых испытаниях и ненулевой вероятности выпадения
и
ни одна комбинация не является невозможной. Наверное, надо привязаться к низкой вероятности какого-нибудь события, связанного с выпадением
, но не
. Проблема в том, что найти такое событие никак не удается.
Например, можно сказать, что выпадение комбинации
в серии из десяти независимых испытаний с равновероятными
и
имеет вероятность
, а эта вероятность слишком низка. Но штука в том, что и выпадение комбинации
(как и любой, подчеркиваю – любой – другой комбинации) в серии из десяти независимых испытаний с равновероятными
и
имеет вероятность
. Что элементарно следует из теоремы умножения вероятностей.
Можно попытаться привязаться к количеству единиц. Например, сказать, что существует всего 11 комбинаций, в которых более восьми единиц, против 1013 комбинаций, в которых менее восьми, поэтому выпадение комбинации из десяти единиц маловероятно. Но непонятно, чем это рассуждение отличается от предыдущего («существует всего одна комбинация
и 1023 других комбинаций»). Или, например, от такого: существует всего 8 комбинаций, начинающихся с
, и 1016 комбинаций, которые начинаются иначе; поэтому выпадение
маловероятно.
Или, рассмотрим, например, комбинацию, выпавшую на устройстве
:
. Здесь даже с количеством единиц все в порядке: пять единиц, точно по математическому ожиданию. Настораживает только строгая периодичность, заставляющая усомниться в независимости испытаний. Но – по какому критерию можно отбросить эту серию? Можно, конечно, сказать, что существует лишь 2 комбинации, в которых
и
следуют друг за другом строго периодично, и 1022 комбинации, где этот порядок нарушается, но – см. предыдущий абзац.
Я полагаю, не надо объяснять, что если заменить десять испытаний на десять в лохматой степени, ничего в вышеприведенных рассуждениях принципиально не изменится. Так что же – можем мы как-нибудь отвергнуть гипотезу для
или
, не отвергнув ее для
? Или – произношу эти страшные слова – гипотеза о независимых испытаниях с двумя равновероятными исходами в принципе не проверяема?
ом
" (т.е. случаев, когда сразу за нулем идет единица, а не другой нуль) подойдет и для 
набор 
- три раза и 
- один раз.
элементов зависит только от 
