отображение класса вычетов [x]

[Eugeniy]

Добрый день!

Корректно ли отображение $[x]\mapsto x$, где $[x] - класс вычетов по модулю произвольного многочлена над простым полем?
Иными словами, могу ли я задать отображение $[p(x)]\mapsto p(x)$, например $[x^2+x+1]\mapsto x^2+x+1$? Или такое отображение некорректно?

Спасибо.

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900583 писал(а):

Или такое отображение некорректно?

Некорректно, поскольку в классе вычетов много многочленов, а Вы не оговорили правило выбора. Вот отображение $p(x) \to [p(x)]$ было бы корректным: многочлену сопоставляется тот единственный класс, в котором он находится.

[Eugeniy]

nnosipov в сообщении #900604 писал(а):

Некорректно, поскольку в классе вычетов много многочленов, а Вы не оговорили правило выбора. Вот отображение $p(x) \to [p(x)]$ было бы корректным: многочлену сопоставляется тот единственный класс, в котором он находится.

Извините, не согласен с этим аргументом, так как обязательным условием является единственность образа, а не прообраза. Как раз таки Ваше отображение некорректно.
Правило выбора определяется правилом обозначения класса вычетов.

Судя по Вашей логике, для целых чисел также неверно $[a] \to a$. Однако в книге Лидла и Нидеррайтера как раз такое отображение используется для отображения факторкольца по модулю простого числа в поле целых чисел.

[Xaositect]

Речь и идет о единственности образа. Для заданного многочлена $p(x)$ класс вычетов $[p(x)]$ единственный. Для заданного класса вычетов $[p(x)]$ порождающих его многочленов много. Если Вы в каждом классе вычетов выделите один многочлен, то можно задать отображение из класса вычетов в этот выделенный представитель.
Лидл-Нидеррайтер в качестве выделенных представителей используют числа от 0 до $p-1$.

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900630 писал(а):

поле целых чисел

Оговорились, надеюсь.

[Xaositect]

nnosipov, автора цитаты поправьте.

[nnosipov]

Ой, пардон.

[Eugeniy]

Xaositect в сообщении #900669 писал(а):

Речь и идет о единственности образа. Для заданного многочлена $p(x)$ класс вычетов $[p(x)]$ единственный. Для заданного класса вычетов $[p(x)]$ порождающих его многочленов много. Если Вы в каждом классе вычетов выделите один многочлен, то можно задать отображение из класса вычетов в этот выделенный представитель.
Лидл-Нидеррайтер в качестве выделенных представителей используют числа от 0 до $p-1$.

Вы путаете образ и прообраз. Вот выдержка из Глухова, Нечаева:

$[x]$ - это прообраз в отображении $[x] \to x$. Согласно определению отображения, множество прообразов - это нормально.

А вот выдержка из Лидла и Нидеррайтера:

И в чем же разница между отображениями $[a] \to a$ и $[x] \to x$?

-- 27.08.2014, 13:55 --

nnosipov в сообщении #900678 писал(а):

Eugeniy в сообщении #900630 писал(а):

поле целых чисел

Оговорились, надеюсь.

Хорошо, пусть будет поле из кольца целых чисел или (еще правильнее) из факторкольца целых чисел. Или простое поле. Так лучше?

[Xaositect]

Eugeniy в сообщении #900720 писал(а):

Вы путаете образ и прообраз. Вот выдержка из Глухова, Нечаева:

Не вижу, где я что-то путаю.
Рассмотрим $\mathbb{Z}/(2)$.
$[1]$ и $[3]$ - это один и тот же класс вычетов. Какой элемент будет ему соответствовать при отображении $[x]\mapsto x$?

Eugeniy в сообщении #900720 писал(а):

И в чем же разница между отображениями $[a] \to a$ и $[x] \to x$?

В том, что у Лидла-Нидеррайтера явно указано: $a = 0,\dots,p-1$.

[Eugeniy]

Eugeniy в сообщении #900720 писал(а):

у Лидла-Нидеррайтера явно указано: $a = 0,\dots,p-1$.

Что это меняет?
И как это стыкуется с Вашим замечанием:

Xaositect в сообщении #900726 писал(а):

Не вижу, где я что-то путаю.
Рассмотрим $\mathbb{Z}/(2)$.
$[1]$ и $[3]$ - это один и тот же класс вычетов. Какой элемент будет ему соответствовать при отображении $[x]\mapsto x$?

???

На мой взгляд, это лишь определяет некоторую область распространения такого отображения: классы вычетов $[0], [1], [2], ..., [p - 1]$, а не все возможные классы вычетов $[a]$.

-- 27.08.2014, 14:29 --

Xaositect в сообщении #900726 писал(а):

Не вижу, где я что-то путаю.
Рассмотрим $\mathbb{Z}/(2)$.
$[1]$ и $[3]$ - это один и тот же класс вычетов.

Нет, это вычеты одного и того же класса вычетов $[1]$.

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900720 писал(а):

Так лучше?

Ещё хуже. Так по-русски не говорят.

Судя по вот этому диалогу

Eugeniy в сообщении #900744 писал(а):

27.08.2014, 14:29 --

Xaositect в сообщении #900726
писал(а):
Не вижу, где я что-то путаю.
Рассмотрим $\mathbb{Z}/(2)$.
$[1]$ и $[3]$ - это один и тот же класс вычетов.

Нет, это вычеты одного и того же класса вычетов $[1]$.

Вы толком не понимаете, что такое класс вычетов.

[Xaositect]

Eugeniy в сообщении #900744 писал(а):

Нет, это вычеты одного и того же класса вычетов $[1]$.

Напишите определение класса вычетов, выпишите явно классы $[1]$ и $[3]$ в $\mathbb{Z}/(2)$ как множества и проверьте, что они равны.

-- Ср авг 27, 2014 15:57:29 --

Eugeniy в сообщении #900744 писал(а):

На мой взгляд, это лишь определяет некоторую область распространения такого отображения: классы вычетов $[0], [1], [2], ..., [p - 1]$, а не все возможные классы вычетов $[a]$.

В $\mathbb{Z}/(p)$ классы вычетов $[0], [1], [2], ..., [p - 1]$ - это все возможные классы вычетов.

[Eugeniy]

nnosipov в сообщении #900759 писал(а):

Ещё хуже. Так по-русски не говорят.

Как не говорят: "простое поле" не говорят?!
Или Вы про "поле из факторкольца целых чисел"?
$\mathbb{Z}/(2)$ - факторкольцо? Факторкольцо! Получено из кольца целых чисел $\mathbb{Z}$ ? Точно так!
Поле $\mathbb{F}_2$ отображением из $\mathbb{Z}/(2)$ получено? Из него!
Так в чем проблематика определения "поле из факторкольца целых чисел"?

nnosipov в сообщении #900759 писал(а):

Вы толком не понимаете, что такое класс вычетов.

Будет Вам.
Вот и коллега Ваш, кстати, пишет:

Xaositect в сообщении #900763 писал(а):

вычеты $[1]$ и $[3]$ в $\mathbb{Z}/(2)$

[Xaositect]

Цитата:

Вот и коллега Ваш, кстати, пишет:

Xaositect в сообщении #900763 писал(а):

Напишите определение класса вычетов, выпишите явно вычеты $[1]$ и $[3]$ в $\mathbb{Z}/(2)$ как множества и проверьте, что они равны.

Описка. Исправлено.

[Eugeniy]

Xaositect в сообщении #900763 писал(а):

Напишите определение класса вычетов, выпишите явно вычеты $[1]$ и $[3]$ в $\mathbb{Z}/(2)$ как множества и проверьте, что они равны.

Вам не кажется, что вычеты, как элементы класса вычетов, сравнимы по модулю, а не равны?
Что скажет nnosipov?