Показать нетривиальность касательного расслоения сферы

[popolznev]

Oleg Zubelevich в сообщении #900749 писал(а):

а почему именно постоянным?

Потому что это проще, и мы сразу гарантируем, что векторное поле не обращается в 0 (беря ненулевой вектор).

[_Er]

popolznev в сообщении #900747 писал(а):

Для этого не нужны координаты - здесь надо воспользоваться стандартным способом введения топологии на декартовом произведении многообразий

Я в топологии дно, поэтому мне этот способ не известен. Не могли бы вы рассказать о нем, ну или дать ссылку, где почитать можно.

[popolznev]

_Er в сообщении #900775 писал(а):

Я в топологии дно, поэтому мне этот способ не известен. Не могли бы вы рассказать о нем, ну или дать ссылку, где почитать можно.

Да, наверное, более или менее любой учебник сгодится - например, Борисович-Близняков-Израилевич-Фоменко, Введение в топологию.

А если на пальцах, то идея такая: если $X$ и $Y$ - топологические пространства (например, $X=S^2, \ Y=\mathbb{R}^2$), то для сходимости в $X \times Y$ последовательности $(x_n, y_n)$ к элементу $(x, y)$ необходимо и достаточно, чтобы по отдельности $x_n$ сходилось к $x$ и $y_n$ сходилось к $y$.

Непрерывность отображения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ тогда очевидна: ежели $(x_n,v_n)$ стремится к $(x_0,v_0)$, то понятно, что $v_n$ стремится к $v_0$.

[_Er]

popolznev в сообщении #900789 писал(а):

Непрерывность отображения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ тогда очевидна: ежели $(x_n,v_n)$ стремится к $(x_0,v_0)$, то понятно, что $v_n$ стремится к $v_0$.

Хм... Ну это понятно-то. Меня просто смущало, то, что я не могу понять, что из себя представляет вектор $v$ касательный к точке $b$ (например, не мог его построить). Введя локальные координаты я тогда определил, что это за вектор и как его строить.

Да и к тому же у меня же $v$ был постоянный. Все-таки меня, наверное, немного другое в плане непрерывности волновало. Так как у меня $v=\operatorname{const}$, то меня в первую очередь интересовало меняется ли направление вектора $v$ на сфере непрерывно.

[popolznev]

А зачем его строить? Для решения задачи достаточно знать, что какой-нибудь ненулевой вектор в касательном пространстве существует - для двумерного пространства это совсем очевидно.

[_Er]

popolznev в сообщении #900965 писал(а):

А зачем его строить?

Я построил на сфере какое-то векторное поле $v(p)$ (вектора вообще говоря различны: как минимум их направление зависит от $p$, т.к. в касательном расслоении вектор полагается привязанным к точке), полученное при проекции всех пар вида $(p,v)$, где $v=\operatorname{const}$. Что из себя представляет это поле? Почему оно непрерывное? Вот в чем был вопрос.

popolznev, я еще немного дописал там последнее сообщение. Возможно вы не успели прочитать его.

[popolznev]

_Er в сообщении #900970 писал(а):

Я построил на сфере какое-то векторное поле $v(p)$ (вектора вообще говоря различны: как минимум их направление зависит от $p$, т.к. в касательном расслоении вектор полагается привязанным к точке), полученное при проекции всех пар вида $(p,v)$, где $v=\operatorname{const}$. Что из себя представляет это поле? Почему оно непрерывное? Вот в чем был вопрос.

Дело обстоит не совсем так. Вы не забывайте, что в силу теоремы о еже такого поля не существует!

А вот сечение прямого произведения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ существует. А почему оно непрерывно - я в предпредыдущем своем сообщении уже написал, а вы даже уже ответили, что это понятно.

[_Er]

popolznev в сообщении #901025 писал(а):

Вы не забывайте, что в силу теоремы о еже такого поля не существует!

Я же поэтому его и строю. Зачем бы мне его пытаться строить, если бы оно могло существовать!

popolznev в сообщении #901025 писал(а):

А вот сечение прямого произведения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ существует. А почему оно непрерывно - я в предпредыдущем своем сообщении уже написал, а вы даже уже ответили, что это понятно.

У меня есть подозрение, что мы говорим о несколько разных вещах. Но я, кажется, знаю как можно разрулить этот момент с непрерывностью: в книге, где приведена задача, несколькими страницами ранее было сказано, что в дальнейшем будут рассматриваться только непрерывные отображения :) Непрерывность отображения $(p,v) \to v(p)$ значит, что близким точкам $p$ соответствую "близкие" вектора $v(p)$ – это и ведет к тому, что поле на сфере непрерывно.

[popolznev]

_Er в сообщении #901046 писал(а):

Зачем бы мне его пытаться строить, если бы оно могло существовать!

Ух ты! Фраза достойна персонажей Льюиса Кэрролла: "Увидеть никого, да ещё и на таком расстоянии"... А если серьёзно: я вас не понял.

Цитата:

Непрерывность отображения $(p,v) \to v(p)$ значит, что близким точкам $p$ соответствую "близкие" вектора $v(p)$ – это и ведет к тому, что поле на сфере непрерывно.

Мне показалось, что вы сейчас выразили следующее утверждение: если отображение непрерывно, то оно непрерывно. С этим-то не поспоришь...

[_Er]

popolznev в сообщении #901058 писал(а):

А если серьёзно: я вас не понял.

Нам этом построено доказательство. Я предполагаю, что расслоение тривиально, и показываю, что в таком случае на сфере можно построить непрерывное векторное поле. Согласно теореме о еже такого поля на сфере быть не может. Значит исходное предположение ложно и расслоение нетривиально.

popolznev в сообщении #901058 писал(а):

Цитата:

Непрерывность отображения $(p,v) \to v(p)$ значит, что близким точкам $p$ соответствую "близкие" вектора $v(p)$ – это и ведет к тому, что поле на сфере непрерывно.

Мне показалось, что вы сейчас выразили следующее утверждение: если отображение непрерывно, то оно непрерывно. С этим-то не поспоришь...

Я не знаю как вам лучше пояснить этот момент. Возможно, если я скажу, что вектор $v$ из пары $(p,v)$ принадлежит $\mathbb{R}^2$, тогда как $v(p)$ – вектор из $\mathbb{R}^3$, вам будет немного понятнее, о чем я тут думаю.

[popolznev]

А, я понял, в чём дело (по крайней мере - в чём одно из дел): вы представляете касательное расслоение прямо геометрической картинкой в трёхмерном пространстве, в котором живёт сфера $S^2$.

[_Er]

popolznev в сообщении #901114 писал(а):

А, я понял, в чём дело (по крайней мере - в чём одно из дел): вы представляете касательное расслоение прямо геометрической картинкой в трёхмерном пространстве, в котором живёт сфера $S^2$.

Ну да. Это плохо?

[popolznev]

Наглядное представление - это очень хорошо! Но вот путать его с определением - плохо. Если мы что-то доказываем, то доказываем для объекта, каким он определён, а не для картинки (для картинки ничего и доказать нельзя). Всё-таки стоит вам прочесть в учебнике определение касательного расслоения.