2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 14:37 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #900749 писал(а):
а почему именно постоянным?

Потому что это проще, и мы сразу гарантируем, что векторное поле не обращается в 0 (беря ненулевой вектор).

 
 
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 15:30 
popolznev в сообщении #900747 писал(а):
Для этого не нужны координаты - здесь надо воспользоваться стандартным способом введения топологии на декартовом произведении многообразий
Я в топологии дно, поэтому мне этот способ не известен. Не могли бы вы рассказать о нем, ну или дать ссылку, где почитать можно.

 
 
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 15:58 
Аватара пользователя
_Er в сообщении #900775 писал(а):
Я в топологии дно, поэтому мне этот способ не известен. Не могли бы вы рассказать о нем, ну или дать ссылку, где почитать можно.

Да, наверное, более или менее любой учебник сгодится - например, Борисович-Близняков-Израилевич-Фоменко, Введение в топологию.

А если на пальцах, то идея такая: если $X$ и $Y$ - топологические пространства (например, $X=S^2, \ Y=\mathbb{R}^2$), то для сходимости в $X \times Y$ последовательности $(x_n, y_n)$ к элементу $(x, y)$ необходимо и достаточно, чтобы по отдельности $x_n$ сходилось к $x$ и $y_n$ сходилось к $y$.

Непрерывность отображения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ тогда очевидна: ежели $(x_n,v_n)$ стремится к $(x_0,v_0)$, то понятно, что $v_n$ стремится к $v_0$.

 
 
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 20:29 
popolznev в сообщении #900789 писал(а):
Непрерывность отображения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ тогда очевидна: ежели $(x_n,v_n)$ стремится к $(x_0,v_0)$, то понятно, что $v_n$ стремится к $v_0$.
Хм... Ну это понятно-то. Меня просто смущало, то, что я не могу понять, что из себя представляет вектор $v$ касательный к точке $b$ (например, не мог его построить). Введя локальные координаты я тогда определил, что это за вектор и как его строить.

Да и к тому же у меня же $v$ был постоянный. Все-таки меня, наверное, немного другое в плане непрерывности волновало. Так как у меня $v=\operatorname{const}$, то меня в первую очередь интересовало меняется ли направление вектора $v$ на сфере непрерывно.

 
 
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 21:03 
Аватара пользователя
А зачем его строить? Для решения задачи достаточно знать, что какой-нибудь ненулевой вектор в касательном пространстве существует - для двумерного пространства это совсем очевидно.

 
 
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 21:11 
popolznev в сообщении #900965 писал(а):
А зачем его строить?
Я построил на сфере какое-то векторное поле $v(p)$ (вектора вообще говоря различны: как минимум их направление зависит от $p$, т.к. в касательном расслоении вектор полагается привязанным к точке), полученное при проекции всех пар вида $(p,v)$, где $v=\operatorname{const}$. Что из себя представляет это поле? Почему оно непрерывное? Вот в чем был вопрос.

popolznev, я еще немного дописал там последнее сообщение. Возможно вы не успели прочитать его.

 
 
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 22:27 
Аватара пользователя
_Er в сообщении #900970 писал(а):
Я построил на сфере какое-то векторное поле $v(p)$ (вектора вообще говоря различны: как минимум их направление зависит от $p$, т.к. в касательном расслоении вектор полагается привязанным к точке), полученное при проекции всех пар вида $(p,v)$, где $v=\operatorname{const}$. Что из себя представляет это поле? Почему оно непрерывное? Вот в чем был вопрос.

Дело обстоит не совсем так. Вы не забывайте, что в силу теоремы о еже такого поля не существует!

А вот сечение прямого произведения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ существует. А почему оно непрерывно - я в предпредыдущем своем сообщении уже написал, а вы даже уже ответили, что это понятно.

 
 
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 23:09 
popolznev в сообщении #901025 писал(а):
Вы не забывайте, что в силу теоремы о еже такого поля не существует!
Я же поэтому его и строю. Зачем бы мне его пытаться строить, если бы оно могло существовать!

popolznev в сообщении #901025 писал(а):
А вот сечение прямого произведения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ существует. А почему оно непрерывно - я в предпредыдущем своем сообщении уже написал, а вы даже уже ответили, что это понятно.
У меня есть подозрение, что мы говорим о несколько разных вещах. Но я, кажется, знаю как можно разрулить этот момент с непрерывностью: в книге, где приведена задача, несколькими страницами ранее было сказано, что в дальнейшем будут рассматриваться только непрерывные отображения :) Непрерывность отображения $(p,v) \to v(p)$ значит, что близким точкам $p$ соответствую "близкие" вектора $v(p)$ – это и ведет к тому, что поле на сфере непрерывно.

 
 
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение28.08.2014, 00:28 
Аватара пользователя
_Er в сообщении #901046 писал(а):
Зачем бы мне его пытаться строить, если бы оно могло существовать!

Ух ты! Фраза достойна персонажей Льюиса Кэрролла: "Увидеть никого, да ещё и на таком расстоянии"... А если серьёзно: я вас не понял.

Цитата:
Непрерывность отображения $(p,v) \to v(p)$ значит, что близким точкам $p$ соответствую "близкие" вектора $v(p)$ – это и ведет к тому, что поле на сфере непрерывно.

Мне показалось, что вы сейчас выразили следующее утверждение: если отображение непрерывно, то оно непрерывно. С этим-то не поспоришь...

 
 
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение28.08.2014, 09:24 
popolznev в сообщении #901058 писал(а):
А если серьёзно: я вас не понял.
Нам этом построено доказательство. Я предполагаю, что расслоение тривиально, и показываю, что в таком случае на сфере можно построить непрерывное векторное поле. Согласно теореме о еже такого поля на сфере быть не может. Значит исходное предположение ложно и расслоение нетривиально.

popolznev в сообщении #901058 писал(а):
Цитата:
Непрерывность отображения $(p,v) \to v(p)$ значит, что близким точкам $p$ соответствую "близкие" вектора $v(p)$ – это и ведет к тому, что поле на сфере непрерывно.
Мне показалось, что вы сейчас выразили следующее утверждение: если отображение непрерывно, то оно непрерывно. С этим-то не поспоришь...
Я не знаю как вам лучше пояснить этот момент. Возможно, если я скажу, что вектор $v$ из пары $(p,v)$ принадлежит $\mathbb{R}^2$, тогда как $v(p)$ – вектор из $\mathbb{R}^3$, вам будет немного понятнее, о чем я тут думаю.

 
 
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение28.08.2014, 09:33 
Аватара пользователя
А, я понял, в чём дело (по крайней мере - в чём одно из дел): вы представляете касательное расслоение прямо геометрической картинкой в трёхмерном пространстве, в котором живёт сфера $S^2$.

 
 
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение28.08.2014, 09:44 
popolznev в сообщении #901114 писал(а):
А, я понял, в чём дело (по крайней мере - в чём одно из дел): вы представляете касательное расслоение прямо геометрической картинкой в трёхмерном пространстве, в котором живёт сфера $S^2$.
Ну да. Это плохо?

 
 
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение28.08.2014, 10:10 
Аватара пользователя
Наглядное представление - это очень хорошо! Но вот путать его с определением - плохо. Если мы что-то доказываем, то доказываем для объекта, каким он определён, а не для картинки (для картинки ничего и доказать нельзя). Всё-таки стоит вам прочесть в учебнике определение касательного расслоения.

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group