2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение26.08.2014, 23:14 


24/07/14
138
Задача показать тривиальность касательного расслоения сферы $S^2$ пользуясь теоремой о еже.
Проверьте, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю.

Пусть $B$ – сфера $S^2$, a $F={R}^2 \textbackslash \{0\}$ – слой. Пространство расслоения $E$ – множество всех ненулевых касательных к $S^2$.
Если расслоение тривиально, то $E=S^2 \times {R}^2 \textbackslash \{0\}$. Рассмотрим подмножество пространства $E$, состоящее из пар $(b,\vec{v})$, где $b \in S^2$, а $\vec{v}$ – фиксированный вектор. Введем на сфере локальные декартовы координаты (плоские), непрерывно меняющиеся от точки к точке. При проекции расслоения пара $(b,\vec{v})$ отображается в точку $b$ – это значит, что $\vec{v}$ (отложенный в локальных координатах) касателен к сфере в этой точке. Таким образом при отображении всего множества пар $(b,\vec{v})$ будет построено непрерывное векторное поле на сфере, нигде не равное нулю. Это запрещено теоремой о еже. Значит расслоение не тривиально.

-- 26.08.2014, 23:21 --

Сразу такой вопрос: почему нулевой вектор не входит в слой $F$? То, что $F={R}^2 \textbackslash \{0\}$, сказано в условии задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 00:06 


10/02/11
6786
_Er в сообщении #900458 писал(а):
Задача показать тривиальность касательного расслоения сферы $S^2$

странно

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 07:14 


24/07/14
138
Oleg Zubelevich в сообщении #900481 писал(а):
_Er в сообщении #900458 писал(а):
Задача показать тривиальность касательного расслоения сферы $S^2$
странно
Опечатка. Нужно показать НЕтривиальность. Спасибо, что заметили.

Нашел вот вроде бы ошибку в доказательстве.
_Er в сообщении #900458 писал(а):
Введем на сфере локальные декартовы координаты (плоские), непрерывно меняющиеся от точки к точке.
Мне кажется, что само это равносильно введению непрерывного векторного поля на сфере. Эти локальные координаты я ввел для того чтобы можно было определить, что значит, что $\vec{v}$ из ${R}^2 \textbackslash \{0\}$ касателен к сфере в какой-то точке $b$, потому что без них мне это не очень понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
_Er в сообщении #900532 писал(а):
Опечатка. Нужно показать НЕтривиальность. Спасибо, что заметили.

Исправьте её и в названии темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 13:00 
Аватара пользователя


14/10/13
339
_Er в сообщении #900458 писал(а):
При проекции расслоения пара $(b,\vec{v})$ отображается в точку $b$ – это значит, что $\vec{v}$ (отложенный в локальных координатах) касателен к сфере в этой точке. Таким образом при отображении всего множества пар $(b,\vec{v})$ будет построено непрерывное векторное поле на сфере, нигде не равное нулю.

Вот это, честно говоря - набор слов без видимого смысла. С чего бы начать распутывать этот клубок? Может, дадим определение векторного поля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 13:25 


10/02/11
6786
а в чем проблема? предположим расслоение тривально ,тогда это $S^2\times\mathbb{R}^2$. Рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x))$, где $v(x)\ne 0,\quad x\in S^2$. Дальше теорема о причесывании ежа. Что ТС и сказал

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 13:29 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Oleg Zubelevich в сообщении #900701 писал(а):
а в чем проблема? предположим расслоение тривально ,тогда это $S^2\times\mathbb{R}^2$. Рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x))$, где $v(x)\ne 0,\quad x\in S^2$. Дальше теорема о причесывании ежа. Что ТС и сказал
Разве он сказал именно это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 13:35 


10/02/11
6786
я его так понял

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 13:43 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Oleg Zubelevich в сообщении #900709 писал(а):
я его так понял

Там ничего не написано о сечении $S \to TS$ - вместо этого говорится почему-то о проекции $TS \to S$.

Поправляюсь: пардон, всё-таки он же написал "фиксированный вектор", так что вы правы, я неправ.

-- 27.08.2014, 14:45 --

Oleg Zubelevich в сообщении #900701 писал(а):
предположим расслоение тривально ,тогда это $S^2\times\mathbb{R}^2$. Рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x))$, где $v(x)\ne 0,\quad x\in S^2$. Дальше теорема о причесывании ежа.

А если мы не будем предполагать, что расслоение тривально, и рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x)) \in TS$, где $v(x)\ne 0\ \forall x\in S^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 14:13 


24/07/14
138

(Оффтоп)

Munin в сообщении #900680 писал(а):
Исправьте её и в названии темы.
Подскажите, пожалуйста, как, а то я что-то не могу найти.

popolznev в сообщении #900685 писал(а):
_Er в сообщении #900458 писал(а):
При проекции расслоения пара $(b,\vec{v})$ отображается в точку $b$ – это значит, что $\vec{v}$ (отложенный в локальных координатах) касателен к сфере в этой точке. Таким образом при отображении всего множества пар $(b,\vec{v})$ будет построено непрерывное векторное поле на сфере, нигде не равное нулю.
Вот это, честно говоря - набор слов без видимого смысла. С чего бы начать распутывать этот клубок? Может, дадим определение векторного поля?
Попробую еще раз объяснить, что я хотел сказать. Если пара $(b,\vec{v}) \in E$ то $\vec{v}$ касателен к сфере в точке $b$. Т.к. $b$ пробегает все точки сферы, то получается что в каждой точке сферы есть некоторый вектор $\vec{v}$, касательный к ней (множество этих векторов я назвал векторным полем). В первом сообщении я ввел локальные координаты для того чтобы явно определить, что значит, что вектор $\vec{v}$ касателен к сфере в точке $b$, и в том варианте, что я тогда написал, получалось, что задаваемое таким образом векторное поле непрерывно.

Oleg Zubelevich в сообщении #900701 писал(а):
Рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x))$, где $v(x)\ne 0,\quad x\in S^2$.
Не могли бы вы сказать почему такое поле $v(x)$ непрерывно?

И повторю свой предыдущий вопрос (который был задан неявно): если пара $(b,\vec{v}) \in E$ то $\vec{v}$ касателен к сфере в точке $b$. Что значит, что вектор $\vec{v} \in {R}^2 \textbackslash \{0\}$ касателен к сфере в точке $b$? То есть, можно ли явно построить этот вектор(я для этого вводил локальные координаты)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 14:23 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Цитата:
Если пара $(b,\vec{v}) \in E$ то $\vec{v}$ касателен к сфере в точке $b$.

А, стоп. Приношу свои извинения - сейчас перечитал ещё раз ваше стартовое сообщение и увидел там важное слово "фиксированный". Тогда в целом построение правильное. Надо только разобраться с терминологией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

_Er в сообщении #900733 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, как, а то я что-то не могу найти.

1. Открыть редактирование первого сообщения, и исправить заголовок сообщения.
2. Обратиться к модераторам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 14:27 


10/02/11
6786
popolznev в сообщении #900714 писал(а):
А если мы не будем предполагать, что расслоение тривально, и рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x)) \in TS$, где $v(x)\ne 0\ \forall x\in S^2$?

хотите это обсудить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 14:28 
Аватара пользователя


14/10/13
339
_Er в сообщении #900733 писал(а):
В первом сообщении я ввел локальные координаты для того чтобы явно определить, что значит, что вектор $\vec{v}$ касателен к сфере в точке $b$, и в том варианте, что я тогда написал, получалось, что задаваемое таким образом векторное поле непрерывно.

Для этого не нужны координаты - здесь надо воспользоваться стандартным способом введения топологии на декартовом произведении многообразий (коль скоро мы предполагаем, что касательное расслоение имеет вид $S^2 \times \mathbb{R}^2$). Короче говоря - автоматически оно будет непрерывным, такое сечение.

-- 27.08.2014, 15:32 --

Oleg Zubelevich в сообщении #900745 писал(а):
popolznev в сообщении #900714 писал(а):
А если мы не будем предполагать, что расслоение тривально, и рассмотрим какое-нибудь сечение $S^2\ni x\mapsto (x,v(x)) \in TS$, где $v(x)\ne 0\ \forall x\in S^2$?

хотите это обсудить?
Я намекал на то, что в вашей формулировке "какое-нибудь сечение" (да ещё $v(x)$), то исходная идея, что вектор-то надо брать постоянным, плохо различима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 14:35 


10/02/11
6786
а почему именно постоянным? разве любая пара гладких функций не сойдет, лишь бы одновременно в ноль не обращались?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group