2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расходящийся ряд Тейлора
Сообщение26.08.2014, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Как построить функцию, ряд Тейлора которой расходится (хотя бы в одной точке, можно выбрать удобную)? А функцию, ряд Тейлора которой расходится во всех точках (существуют ли вообще, кстати, такие функции)?

Ясно, что для этого числитель n-го члена ряда должен расти быстрее, чем n!. Последовательность, растущую быстрее, чем n!, построить легко (хоть с использованием формулы Стирлинга, хоть без), но как построить такую функцию, чтобы члены этой последовательности получались из ее n-ной производной в какой-либо точке? Для элементарных функций возрастание получается за счет геометрической и/или арифметической прогрессии. Но очевидно, что факториал в конце концов обгонит любую геометрическую, а тем более арифметическую прогрессию.

И связанный с этим вопрос: каковы необходимые и достаточные условия сходимости ряда Тейлора? Необходимые и достаточные условия сходимости именно к функции, по которой он построен (в какой-нибудь еще формулировке кроме "остаточный член стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности") ? Ответ "аналитичность функции" не принимается, ибо это тавтология: функция и называется аналитической, если к ней сходится ее ряд Тейлора. Можно еще дать не необходимые, но достаточные и удобные, т.к. необходимые и достаточные обычно неудобны (пример: очень тяжело проверить, удовлетворяет ли ряд критерию Коши, зато легко - удовлетворяет ли он какому-нибудь там признаку Д'Аламбера).

Можно дать и просто ссылку на литературу. Но в стандартных курсах матана (а-ля Ильин и Позняк) эти вопросы не рассматриваются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходящийся ряд Тейлора
Сообщение26.08.2014, 16:56 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Ф. Олвер, Введение в асимптотические методы и специальные функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходящийся ряд Тейлора
Сообщение26.08.2014, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
В предметном указателе книги "Ф. Олвер, Введение в асимптотические методы и специальные функции" ни Тейлор, ни его ряд даже не упоминаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходящийся ряд Тейлора
Сообщение26.08.2014, 17:44 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
стр. 11, формула (1.05) - пример расходящегося ряда

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходящийся ряд Тейлора
Сообщение26.08.2014, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Теорема. Для любой последовательности чисел $a_n$ всегда найдется $C^\infty$ функция $f(x)$ т.ч. $f^{(n)}(0)=a_n$ (для всех $n$ здесь и ниже).

Теорема. $f(x)$ аналитична на $[-a,a]$ т. и т.т.к. $|f^{(n)}(x)|\le C_b^n n!$ для всех $x\in [-b,b]$ при любом $b<a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходящийся ряд Тейлора
Сообщение26.08.2014, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
UPD: в самой точке дифференцирования ряд по построению сходится. А вот возможен ли ряд, который расходится всюду, кроме точки дифференцирования?

-- 26.08.2014, 19:10 --

Red_Herring в сообщении #900338 писал(а):
Теорема. Для любой последовательности чисел $a_n$ всегда найдется $C^\infty$ функция $f(x)$ т.ч. $f^{(n)}(0)=a_n$ (для всех $n$ здесь и ниже).

Теорема. $f(x)$ аналитична на $[-a,a]$ т. и т.т.к. $|f^{(n)}(x)|\le C_b^n n!$ для всех $x\in [-b,b]$ при любом $b<a$.



Хорошие теоремы, красивые. А теперь хорошо бы ссылку на учебник, в котором их можно найти, т. к. в своей способности доказать их самостоятельно я очень сомневаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходящийся ряд Тейлора
Сообщение26.08.2014, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Такие штуки лучше смотреть у Гелбаума, в "контрпримерах в анализе".
И точно, в гл. 5, п. 24 приведена бесконечно дифференцируемая везде функция, ряд Тейлора которой сходится только в одной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходящийся ряд Тейлора
Сообщение26.08.2014, 18:35 


10/02/11
6786
Red_Herring в сообщении #900338 писал(а):
Теорема. Для любой последовательности чисел $a_n$ всегда найдется $C^\infty$ функция $f(x)$ т.ч. $f^{(n)}(0)=a_n$ (для всех $n$ здесь и ниже).

wall-e в сообщении #728275 писал(а):
Помогите разобраться с задачкой.
доказать, что для любой числовой последовательности $\{ a_n \}_0^\infty $ найдется такая функция $\phi \in D$, что $\phi ^{(n)} (0)= a_n$ при всех $n=0,1,2,...$


Oleg Zubelevich в сообщении #728380 писал(а):
Пусть $f(x)=1$ при $|x|\le 1,\quad f\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$

$$\phi(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f(x\cdot\max\{1,|a_k|\})}{k!}a_kx^k$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Расходящийся ряд Тейлора
Сообщение26.08.2014, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
gris в сообщении #900347 писал(а):
Такие штуки лучше смотреть у Гелбаума, в "контрпримерах в анализе".
И точно, в гл. 5, п. 24 приведена бесконечно дифференцируемая везде функция, ряд Тейлора которой сходится только в одной точке.


Ай, драгоценная книга! Ай, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group