Пространство пробных функций

[wall-e]

Привет, друзья!
Помогите разобраться с задачкой.
доказать, что для любой числовой последовательности $\{ a_n \}_0^\infty $ найдется такая функция $\phi \in D$, что $\phi ^{(n)} (0)= a_n$ при всех $n=0,1,2,...$
По индукции легко доказать этот факт для конечной последовательности, как лучше сделать для бесконечной-непонятно

[Someone]

Если Вы имеете в виду то построение, о котором я подумал (Вы ведь не написали, что делаете), то каждый член ряда надо модифицировать за пределами некоторой окрестности нуля (своей для каждого члена), чтобы получить равномерную сходимость для всех производных.

[wall-e]

Someone
я не понял, что за построение? Для конечного числа просто составляли систему уравнений на производные.

[Oleg Zubelevich]

=

[a_nn]

А если $a_k$ растет быстрее, чем $k!$
А нет, извините, получается.

[Oleg Zubelevich]

=

[Someone]

wall-e в сообщении #728328 писал(а):

я не понял, что за построение?

Ну откуда я знаю? Вы же его не описали. Может быть, совсем не то, о чём я подумал.

wall-e в сообщении #728328 писал(а):

Для конечного числа просто составляли систему уравнений на производные.

Вот это уже выглядит крайне подозрительно. Что такое у Вас $D$? Не просто название, а точное определение.

[a_nn]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #728373 писал(а):

a_nn в сообщении #728372 писал(а):

А если $a_k$ растет быстрее чем $k!$?

а думать вы совсем неспособны, даже над уже написанным решением?

Еще раз прошу прощения, что встряла в обсуждение.

[Oleg Zubelevich]

Пусть $f(x)=1$ при $|x|\le 1,\quad f\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$

$$\phi(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f(x\cdot\max\{1,|a_k|\})}{k!}a_kx^k$$

[wall-e]

Oleg Zubelevich
почему $\phi \in D$ в данном случае ? Разве ряд будет сходиться в $D$ ?

[Oleg Zubelevich]

подумайте, полезно