2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 13:28 
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы квадратов.
1) двух натуральных чисел
2) трех натуральных чисел

У меня была такая идея:
Квадрат натурального числа может оканчиваться на $1,4,6,9,0$. Но уже сумма квадратов двух натуральных чисел может оканчиваться на $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$, то есть это тупиковый вариант.
В какую сторону тут думать, подскажите, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 13:32 
Можно ли представить число 3 в виде суммы двух квадратов?
Можно ли представить число 7 в виде суммы трех квадратов?
Думайте в направлении обощения.

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 13:36 
Аватара пользователя
Если это видеть впервые, то оно слишком сложно. С двумя квадратами можно из банальных плотностных соображений (сколько у нас всего квадратов между 1 и $N^2$? а сколько их попарных сумм, если бы даже они все сюда попали?), с тремя так не выйдет.

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 13:38 
Shadow в сообщении #898715 писал(а):
Можно ли представить число 3 в виде суммы двух квадратов?
Можно ли представить число 7 в виде суммы трех квадратов?
Думайте в направлении обощения.


$3+4n$?

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 13:39 
Аватара пользователя
belo4ka в сообщении #898713 писал(а):
Квадрат натурального числа может оканчиваться на $1,4,6,9,0$. Но уже сумма квадратов двух натуральных чисел может оканчиваться на $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$, то есть это тупиковый вариант.
С помощью этой идеи можно решить, только рассматривайте остатки не по модулю $10$, а подберите какое-нибудь другое основание.

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 13:39 
Аватара пользователя
Нвскидку для смеха, а вдруг пройдёт? :-)
Можно подойти со стороны количества. Посмотреть, сколько места занимают суммы квадратов на ограниченном отрезке натуральных чисел.
Скажем, до 20 это $0,1,4,9,16,2,5,10,17,8,13,20,18$ 12 штук. Маловато будет. Ну и как-то это обобщить. Аддитивность сложения на руку.

Ничего себе натолкали, пока писал. :-) И гораздо более умными словами. Плотностные соображения. Надо запомнить.

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 13:47 
ИСН в сообщении #898718 писал(а):
Если это видеть впервые, то оно слишком сложно. С двумя квадратами можно из банальных плотностных соображений (сколько у нас всего квадратов между 1 и $N^2$? а сколько их попарных сумм, если бы даже они все сюда попали?), с тремя так не выйдет.


между 1 и $N^2$ находится $N-1$ квадратов. А попарных сумм $C_{N-1}^2$?

-- 23.08.2014, 13:48 --

Xaositect в сообщении #898720 писал(а):
belo4ka в сообщении #898713 писал(а):
Квадрат натурального числа может оканчиваться на $1,4,6,9,0$. Но уже сумма квадратов двух натуральных чисел может оканчиваться на $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$, то есть это тупиковый вариант.
С помощью этой идеи можно решить, только рассматривайте остатки не по модулю $10$, а подберите какое-нибудь другое основание.

А какое именно выбрать?

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 13:50 
belo4ka в сообщении #898724 писал(а):
А какое именно выбрать?
Подумайте. Вам Shadow подсказал.
Попробуйте четвёрку.

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 13:57 
Nemiroff в сообщении #898725 писал(а):
belo4ka в сообщении #898724 писал(а):
А какое именно выбрать?
Подумайте. Вам Shadow подсказал.
Попробуйте четвёрку.

По моему числа вида $4n+3$ нельзя представить в виде суммы двух квадратов...

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 13:58 
Угу.
Потому что по модулю $4$ квадраты имеют остаток $1$ или $0$. Когда их два, их сумма по модулю $4$ имеет остаток $0$, $1$ или $2$. Вот так все $4n+3$ за бортом и остаются.

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 14:04 
Nemiroff в сообщении #898734 писал(а):
Угу.
Потому что по модулю $4$ квадраты имеют остаток $1$ или $0$. Когда их два, их сумма по модулю $4$ имеет остаток $0$, $1$ или $2$. Вот так все $4n+3$ за бортом и остаются.

Спасибо, а почему по модулю $4$ квадраты натур. чисел имеют остаток $1$ или $0$? Как это можно доказать можно?

А с суммой трех квадратов такой трюк теперь понятно почему не пройдет. (т.к. сумма трех квадратов по модулю $4$ имеет остаток $0$, $1$ или $2$ или $3$, что не поможет выделить какую-то особенность).
А может там по другому модулю посмотреть или здесь лучше использовать другой подход?

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 14:07 
belo4ka в сообщении #898737 писал(а):
Как это можно доказать можно?

Ну не знаю даже.
Нуль в квадрате --- нуль.
Один в квадрате --- один.
Два в квадрате --- четыре, то бишь нуль.
Три в квадрате --- девять, то бишь один.
Четыре в квадрате --- это нуль в квадрате.
Пять в квадрате --- это один в квадрате.
Дальше лень, там еще бесконечно много строчек. :mrgreen:

-- Сб авг 23, 2014 15:07:56 --

belo4ka в сообщении #898737 писал(а):
А может там по другому модулю посмотреть или здесь лучше использовать другой подход?
Я бы посмотрел по другому модулю, воспользовавшись подсказкой Shadow.

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 14:09 
Nemiroff в сообщении #898740 писал(а):
belo4ka в сообщении #898737 писал(а):
Как это можно доказать можно?

Ну не знаю даже.
Нуль в квадрате --- нуль.
Один в квадрате --- один.
Два в квадрате --- четыре, то бишь нуль.
Три в квадрате --- девять, то бишь один.
Четыре в квадрате --- это нуль в квадрате.
Пять в квадрате --- это один в квадрате.
Дальше лень, там еще бесконечно много строчек. :mrgreen:

Ахах) Ну это понятно. но разве это можно считать доказательством?)

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 14:11 
Вы не осознали? Вы перебираете конечное число вариантов. Чем полный перебор не доказательство?
На самом деле не нужно проверять числа от $4$ и далее --- они по модулю $4$ сводятся к $0,1,2$ или $3$.

 
 
 
 Re: Теория чисел, док-во.
Сообщение23.08.2014, 14:15 
Натур числа, которые нельзя представить в виде суммы трех квадратов натуральных чисел:

$1,2,4,5,7,8, 10, 13,15,16, 19, 20$ Пока что не вижу закономерности(

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group