2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение16.08.2014, 11:53 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Здравствуйте, друзья!

Доказать, что число представлений $m>1$ в виде $m=x^2+y^2,$ где $\text{gcd}(x,y)=1, x>0, y>0$ равно числу решений сравнения $z^2+1\equiv 0 \pmod m$.

Указание дано следующее: Пусть $\tau=\sqrt{m}$. Воспользовать представлением $\alpha=\frac{z}{m}$ согласно теореме Дирихле и рассмотреть сравнение, получаемое умножением $z^2+1\equiv 0 \pmod m$ на $Q^2$.

По теореме Дирихле получаем, что: для $\alpha=\frac{z}{m}$ и $\tau=\sqrt{m}$ существуют числа $P$ и $Q$ такие, что $\text{gcd}(P,Q)=1$ и $0<Q\leqslant \tau$ причем выполняется равенство $\alpha=\dfrac{P}{Q}+\dfrac{\theta}{Q\tau},$ где $|\theta|<1$.

Киньте пожалуйста какую-нибудь подсказку т.к. пока все очень темно.

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение16.08.2014, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Whitaker
Вы же еще с прошлой задачей до конца не разобрались.
А здесь попробуйте подставить представление для $z$ в сравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение16.08.2014, 18:16 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math
С прошлой задачей я проде разобрался. Полностью выложил решение. Можете посмотреть.

-- Сб авг 16, 2014 19:00:16 --

ex-math в сообщении #896649 писал(а):
Whitaker
А здесь попробуйте подставить представление для $z$ в сравнение.

Для $z$ мы имеем такое представление: $z=\dfrac{mP}{Q}+\dfrac{m\theta }{Q\tau},$ где $\tau=\sqrt{m}$ и подставляя его в сравнение $Q^2(z^2+1)\equiv 0 \pmod{m}$ мы получаем такое сравнение $\theta^2m+2m\sqrt{m}P\theta\equiv -Q^2\pmod{m}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение16.08.2014, 19:35 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
А последнее сравнение можно написать вроде так: $(\theta\sqrt{m}+mP)^2+Q^2\equiv 0 \pmod m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение17.08.2014, 07:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Как ни удивительно, $\theta\sqrt m$ -- целое число. Убедитесь в этом и попробуйте использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение17.08.2014, 08:24 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math
Да действительно число $\theta\sqrt{m}\in \mathbb{Z}$ так как $\theta\sqrt{m}=zQ-Pm$.
Убедился в этом вчера, но кроме того у меня два таких замечания: Вот берем сравнение $z^2Q^2+Q^2\equiv 0 \pmod m$ и подставляем $zQ=Pm+\theta\sqrt{m}$ и получаем вот что: $$P^2m^2+2Pm\sqrt{m}\theta+\theta^2m+Q^2\equiv 0 \pmod m$$
Во-первых первые три члена уходят и мы получаем, что $Q^2\equiv 0 \pmod m$ но так $0<Q\leqslant \sqrt{m}$ и отсюда следует, что $Q^2=m$ и что дальше в этом случае? Понятно, что если $m$--бесквадратное число, то тогда беда да и в случае квадратного тоже. Просто этот случай меня немного беспокоит.

Во-вторых можно еще написать так $$\theta^2m+Q^2\equiv 0 \pmod m,$$ но мы имеем еще такую оценку $0<Q^2+\theta^2m<2m$ и отсюда следует, что $m=Q^2+\theta^2m=Q^2+(\theta\sqrt{m})^2$

Вот так у меня вроде получается. Но меня случай немного смущает, а именно то, что $m\mid Q^2$
P.S. Там ведь еще другие случаи есть, когда другие члены, содержащие $m$ можно убрать?! Был бы признателен, если бы Вы прокомментировали бы эти моменты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение17.08.2014, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Первый вариант неверен, так как $\theta^2m$ не делится на $m$.
А второй правильный. Надо еще убедиться, что $Q$ и $\theta\sqrt m$ взаимно просты.
Давайте это число какой-нибудь буквой обозначим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение17.08.2014, 16:00 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math
1)Извиняюсь за глупый вопрос, но почему $\theta^2m$ не делится на $m$? Ведь $\theta^2m\in \mathbb{Z}$ и $0\leqslant\theta^2m<m$ и будет делиться при $\theta=0$
2) Не могу показать, что $Q$ и $\theta\sqrt{m}$ взаимно-простые. Пусть у них есть общий делитель $d>1$. Так как $m=Q^2+(\theta\sqrt{m})^2$, то получаем, что $d\mid m$. А дальше пока непонятно :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение17.08.2014, 19:10 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math
Подумав пару часов все-таки понял как доказать взаимную простоту чисел $\theta\sqrt{m}$ и $Q$
Так как $m=t^2+Q^2,$ где $t=\theta\sqrt{m}$ то тогда мы получаем вот что: $$1=\dfrac{t^2+Q^2}{m}=\dfrac{(zQ-Pm)t+Q^2}{m}=\dfrac{zQt-Pmt+Q^2}{m}=\dfrac{zQ(zQ-Pm)-Pmt+Q^2}{m}=$$$$=\dfrac{Q^2(z^2+1)}{m}-zQP-Pt\equiv -Pt\pmod Q$$ Отсюда следует, что $\text{GCD}(Q,t)=1$

Здесь я воспользовался следующим фактом: Пусть $a$ и $b$ - натуральные числа. Если существуют целые числа $u$ и $v$ такие, что $au+bv=1$ тогда $\text{gcd}(a,b)=1.$ Доказывается от противного. Пусть все-таки $\text{gcd}(a,b)=d>1$ тогда не существует целых $u$ и $v$ таких, что $au+bv=1$ так как $\text{gcd}(a,b)=d>1$ и $d\notmid 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение18.08.2014, 07:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Не делится, потому что $\theta^2$ не целое.

Итак, Вы каждому решению сравнения поставили в соответствие представление $m$ суммой квадратов. Осталось убедиться, что это соответствие биективно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение18.08.2014, 15:26 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math в сообщении #897026 писал(а):
Итак, Вы каждому решению сравнения поставили в соответствие представление $m$ суммой квадратов. Осталось убедиться, что это соответствие биективно.
Надо ведь еще обратное доказать ведь, т.е. каждому представлению $m=x^2+y^2,$ где $\text{gcd}(x,y)=1, x>0, y>0$ надо сопоставить сравнение $z^2+1\equiv 0 \pmod{m}$. Верно?

P.S. Хотя у меня есть предположение, что $\theta\neq 0$. Почему?
Ну пусть $\theta=0,$ тогда $\dfrac{z}{m}=\dfrac{P}{Q}$, но из условия $z^2+1\equiv 0 \pmod{m}$ следует, что $\text{gcd}(z,m)=1$. Кроме того, $\text{gcd}(P,Q)=1$ и $0<Q\leqslant \sqrt{m}$. Получаем явное противоречие.
Вы согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение18.08.2014, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Действительно, биективность проще доказать, рассматривая обратное отображение, когда представлению суммой квадратов сопоставляется решение сравнения.

-- 18.08.2014, 22:29 --

Как выразить $z$ через $x$ и $y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение20.08.2014, 12:10 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math
Вот подумал и есть такая идея: Пусть $m=x^2+y^2,$ где $x>0, y>0, \text{gcd}(x,y)=1$.
Понятно, что $\text{gcd}(x,m)=1$ тогда существует единственно $s$ такое, что $xs\equiv y \pmod{m}$.
Но $x^2+y^2\equiv 0 \pmod{m},$ а отсюда вытекает, что $x^2\equiv -y^2\pmod{m}$.
Так как $y\equiv xs \pmod{m}$, то $y^2\equiv x^2s^2\pmod{m}$ и получаем, что $x^2s^2\equiv -x^2\pmod{m}$ и отсюда $x^2(s^2+1)\equiv 0 \pmod{m}$ т.к. $\text{gcd}(x,m)=1$, то имеем $s^2+1\equiv 0 \pmod{m}$
Вы согласны?
P.S. Также следует показать, что двум различным представлениям соответствуют различные (не сравнимые по модулю $m$) решения сравнения. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение20.08.2014, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Верно. И еще надо показать, что Ваши $t$ и $Q$ дадут в результате то самое $z$, из которого они получились.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма двух квадратов и квадратичное сравнение [Теория чисел]
Сообщение20.08.2014, 17:39 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math в сообщении #897809 писал(а):
И еще надо показать, что Ваши $t$ и $Q$ дадут в результате то самое $z$, из которого они получились.
Извиняюсь, но тут я Вас что-то не понял. Зачем это нужно вообще? К какому случаю это относится?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group