Что для вас математика? И важны ли доказательства?

[Pisarik]

Доброго времени суток!
Хотелось бы поделиться своими проблемами, вопросами не относящимися столько к самой математике, а скорее к пути познания.
Меня зовут Влад, мне 19 лет, перешел на 3ий курс факультета прикладной математики и информатики. Сам я вообще больше программист, чем математик. В свободное время люблю конечно играть, смотреть всякую чушь:) но еще иногда люблю рассуждать о чем-нибудь абстрактном, что-нибудь вроде ограничено ли человеческое воображение (пришел к выводу, что ограничено:)), будущее, настоящее, пространство и время (особенно заставляют задуматься апории Зенона), природные константы вроде $\Pi$ и $e$, бесконечные и несчетные пространства (трансцендентные числа). В конце концов больше всего непонятным образом манят эти простые числа:) Иной раз довольно много раздумывал и придумывал гипотез о последовательностях простых чисел, проверял их написав программу и с помощью нее же выводил всякие данные, чтобы делать новые. Еще пытался доказать гипотезу Лежандра (проблема Ландау) о том, что в промежутке от $n^2$ до $(n+1)^2$ есть простое число. И однажды подумал, что доказал, даже написал на листке красиво, позвонил другу рассказал и он вроде ничего не нашел плохого, но затем все-таки нашел ошибку хитрую:) Недавно у нас был курс прикладной алгебры, в нее входила теория чисел, криптография основанная на ней и всякие группы, поля, кольца, орбиты чего-то там уже не помню:) Даже удивился, что многое, что я придумывал к простым числам и обозначал как-то для себя затем нашел в теории чисел, конечно никаких теорем я не доказывал своих и не знал, но большинство каких-то наблюдений за числами нашлись и "обозвались" другими словами, вроде всяких вычетом, первообразных корней и прочего:)

Долгие рассуждения показали мне, что сами слова являются весьма расплывчатыми штуками. Это может и ежику понятно, но сам раньше никогда не задумывался, насколько математика фундаментальна. Размышления о простых числах в итоге привели к вопросу "а почему после 2 идет 3, а после 3 - 4?" и тогда я понял, что это тоже просто опять обозначения чего-то, а математика на самом деле просто существует и никто в ней ничего не выдумывает, а именно что открывает, открывает законы мира! Хотя конечно в противовес этому весят апории Зенона, но думаю, что до какой-то степени математика точно описывает мир. В общем-то ведь так и появился матан? он же сразу работал над бесконечно малыми величинами. Математиков тоже видно волновал вопрос о пространстве, его делимости и прочем, поэтому в итоге и выработался какой-то аппарат:)

Если кто это прочитал, то теперь Вы знаете, с какой позиции мне интересна математика. Буду рад прочесть Вашу историю о математике: как Вы ей заинтересовались, что интересно сейчас.

Это все воодушевляет меня изучить глубже математику. Очень интересна тема "Нечеткой логики" и немного менее интересна "Теория вероятностей" ( я уже с ней сталкивался и знаю, что фрукт тяжелый:) ). По поводу изучения математики есть несколько вопросов, может Вы бы смогли на них ответить имея больше опыта за плечами!

1) Стоит ли с таким интересами\запалом заниматься математикой или это больше к философии какой-нибудь? (а ведь многие математики были и философами:) и физиками, и хирургами и еще бог знает кем :) ).
2) Раньше я считал, что просто зазубривать материал - это глупая штука, достаточно его понять и он сам по себе зазубриться, но попав в универ я понял, что этот подход не очень хорошо действует, поскольку чтобы что-то вспомнить надо это вывести или провести какую-то цепочку рассуждений. А в математике ведь все может идти довольно глубоко и выводить все круто конечно, но долго, да и длинную последовательность со временем трудно становится выводить. А еще после сессии весь разобранный материал с удовольствием улетучивается из головы и через пару месяцев можешь решить что-то базовое, а теоремы лишь основные помнишь.
Так вот, как Вы изучали математику? Как решить проблему с улетучиванием всяких формул, определений и теорем из головы?
3) Надо ли разбирать доказательства теорем? Надо ли их зазубривать или достаточно понять? (для саморазвития в математике, а не для сдачи сессии)
4) И насчет Теории вероятности. Надо ли стараться все формулы, определения и прочее пытаться понимать каким-то своим способом? Например перестановки, сочетания и размещения ими можно в принципе пользоваться и не догадываясь о том, что это является сочетанием из 3 по 10 или там перестановкой какой-нибудь, т.е. более интуитивный подход. Или все же лучше привыкать и вникать в мат аппарат?
5) Чем для Вас является математика? Как заинтересовались? Что интересно сейчас?

ну и пару вопросов для рассуждений:)

6) Ограничивают ли слова мышление? Ведь когда мы думаем, то в голове несутся слова, мы думаем словами. Есть ли какой-то другой способ думать?
7) Я так понимаю, если найти какие-то закономерности в простых числах, то ляжет криптография основанная на них. А чему еще поможет это открытие?
А если доказать, что закономерности нет, то значит, что последовательность простых чисел - самый настоящий математический рандом? Как и где его можно использовать в таком случае? Почему-то мне кажется, что как только человек найдет применение и способ использования этого мат. рандома, так сразу окажется, что закономерность есть как по закону подлости.
8) Как Вы думаете, хорош ли способ обучения, когда перед тобой на неделю скажем ставят какую-то задачу, ты пытаешься ее своими силами решить, а затем рассказывают ее решение? по-моему в таком случае ты сам вникаешь в суть проблемы и готов съесть разжеванную еду без поноса, а в случае когда просто по программе пихают, тогда с поносом:)

-- 16.08.2014, 04:58 --

кстати, говоря о гипотезе Лежандра, я вот думал всегда, что знаю доказательство постулата Бертрана, но потом понял, что это не так. И когда увидел доказательство постулата Бертрана, то был удивлен, что оно достаточно сложное и основывается на оценках, по крайней мере я ожидал более простого доказательства:) Думаю, что доказав постулат Бертрана гипотеза Лежандра будет следствием из Бертрана.

Вообще у меня есть уже своя гипотеза по поводу простых чисел:)
На любом отрезке $[n; n + \sqrt{n} + ln{n}], n \in \mathbb{N}$ найдется простое число.

[Aritaborian]

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

Как решить проблему с улетучиванием всяких формул, определений и теорем из головы?

Решать побольше задач, где используются эти формулы, определения и теоремы.

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

Надо ли разбирать доказательства теорем? Надо ли их зазубривать или достаточно понять? (для саморазвития в математике, а не для сдачи сессии)

Надо разбирать и понимать.

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

Как Вы думаете, хорош ли способ обучения, когда перед тобой на неделю скажем ставят какую-то задачу, ты пытаешься ее своими силами решить, а затем рассказывают ее решение?

А чем же он может быть плох ;-) В сочетании с иными способами.

(Про ТеХ)

Натуральный логарифм пишите так: \ln n, тогда обозначение функции не будет сливаться с прочими частями формулы

[Xaositect]

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

Долгие рассуждения показали мне, что сами слова являются весьма расплывчатыми штуками. Это может и ежику понятно, но сам раньше никогда не задумывался, насколько математика фундаментальна.

Вот у Вас прозвучала очень правильная мысль.
Как прикладной математик, Вы должны понимать, что есть вещи и процессы, которые есть на самом деле, и есть слова для обозначения этих вещей и описания этих процессов. Простые процессы можно описывать естественным языком, для более подробного описания существуют математические модели. Почему? Потому что слова в языке математики гораздо более точные, чем слова в естественном языке. За историю математики, особенно в последнюю пару веков этот язык развивался именно в направлении того, чтобы термины были максимально точно определены, а способы рассуждения - максимально просты и потому максимально широко применимы.
В математике расматриваются аксиомы, понятия с их определениями и теоремы с их доказательствами. Когда математик работает с каким-то словом, он всегда должен знать, что именно оно обозначает, то есть либо иметь максимально однозначное определение обозначаемого этим словом понятия, которое позволяет выводить какие-то свойства этого понятия, либо знать много свойств и использовать только их.
Когда математик работает с доказательством, он должен стараться, чтобы оно было максимально убедительно для другого математика, то есть явно указывать те утверждения, которые он используется в доказательстве, и использовать только те способы вывода новых утверждений, которые всем хорошо известны. В пределе это приводит к рассмотрению формальных теорий, определяемых просто списком аксиом - базовых утверждений и списком правил вывода, позволяющих чисто механически получать из одних утверждений другие. Такой подход позволяет убедить в доказательстве даже компьютер. Вам как программисту, кстати, может быть интересно, что типы данных полиморфных функций - это теоремы, а программы - это доказательства (см. P.Wadler "Propositions as types").
Фактически, конечно, доказательства в книгах и статьях до такого уровня редко опускаются, потому что человека такое доказательство убеждает меньше из-за своего объема и отсутствия пояснений, зачем это все. У живого математика все-таки слова, хотя и строго определены, также связаны с какими-то своими мысленными образами, и рассуждения, которые можно представить с помощью этих образов, проще понять, чем чисто механические рассуждения, которые в эти образы придется как-то переводить и интегрировать.

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

В общем-то ведь так и появился матан? он же сразу работал над бесконечно малыми величинами. Математиков тоже видно волновал вопрос о пространстве, его делимости и прочем, поэтому в итоге и выработался какой-то аппарат:)

Во времена Ньютона-Лейбница математика была не отделена от естественных наук, а естественные науки назывались натуральной философией. То есть как раз это отличие между природой и моделью не было до конца понято, геометрические объекты и бесконечно малые величины думались, как объекты принадлежащие реальному миру.

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

1) Стоит ли с таким интересами\запалом заниматься математикой или это больше к философии какой-нибудь? (а ведь многие математики были и философами:) и физиками, и хирургами и еще бог знает кем :) ).

Почему бы и нет, главное не путать математику с философией.

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

А в математике ведь все может идти довольно глубоко и выводить все круто конечно, но долго, да и длинную последовательность со временем трудно становится выводить

Если хотите заниматься математикой, то выводить самому все равно нужно, даже не столько для того, чтобы понимать, а для того, чтобы знать основные способы и направления рассуждений.

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

Так вот, как Вы изучали математику? Как решить проблему с улетучиванием всяких формул, определений и теорем из головы?

Помнить надо не все теоремы, а только основные и те, у которых сильно длинные доказательства (в этом случае идеи доказательства лучше тоже представлять). Остальные надо выводить. После того, как несколько десятков раз выведешь, само запомнится вместе с выводом.

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

4) И насчет Теории вероятности. Надо ли стараться все формулы, определения и прочее пытаться понимать каким-то своим способом?

А как иначе? Либо Вы понимаете все на чисто формальном уровне, либо Вы понимаете все по-своему и имеете в голове какое-то интуитивное представление. Главное все "очевидные" факты, которые это представление подсказывает, перепроверять.

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

А если доказать, что закономерности нет, то значит, что последовательность простых чисел - самый настоящий математический рандом? Как и где его можно использовать в таком случае? Почему-то мне кажется, что как только человек найдет применение и способ использования этого мат. рандома, так сразу окажется, что закономерность есть как по закону подлости.

Вот тут Вы, кстати, используете слово "рандом", не зная, что оно означает в математике (что показывает, что теорию вероятностей вы либо плохо учили, либо уже сильно забыли).

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

8) Как Вы думаете, хорош ли способ обучения, когда перед тобой на неделю скажем ставят какую-то задачу, ты пытаешься ее своими силами решить, а затем рассказывают ее решение?

Это лучше всего. Ну то есть лучше всего, когда Вы задачу все-таки решаете, а потом Вам рассказывают решение.

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

5) Чем для Вас является математика? Как заинтересовались? Что интересно сейчас?

Когда купили компьютер, заинтересовался программированием, в старших классах начал читать книги про алгоритмы, от них перешел к теории вычислений и логике, поступил на факультет вычислительной математики, на 1 курсе алгебра нравилась больше анализа, на кафедре курсовые работы писал по задаче, связанной с линейной алгеброй в дискретной математике (близко к криптографии, но не совсем), после курсов кибернетики (теория сложности схем) и теории сложности алгоритмов читал статьи по сложности алгебраических алгоритмов, пошел в аспирантуру заниматься алгебраической сложностью, по пути пришлось выучить кучу всего... Сейчас по-прежнему интересно то же самое - нижние оценки в теории сложности и сложность умножения матриц. Есть тут куча простых задач, к которым непонятно, как подступиться.
Можете попробовать подумать над одной, Вам как программисту она должна быть понятна - есть $n$ логических переменных x[1],x[2],...,x[n], надо найти их конъюнкцию, дизъюнкцию и сумму C = x[1] && x[2] && ... && x[n]; D = x[1] || x[2] || ... || x[n]; S = x[1] ^ x[2] ^ ... ^ x[n]. Можно использовать только логические операции (&&, ||, ^, ==). Сколько операций потребуется, а самое главное, почему не меньше?

-- Сб авг 16, 2014 06:45:06 --

Да, если 3 курс и плохо знаете английский - учите. И программисту пригодится, и если наукой заниматься - тоже необходимо.

[Pisarik]

Aritaborian, спасибо за ответ:) Вижу у Вас эмблема программиста на аве стоит:D

Xaositect в сообщении #896600 писал(а):

Вот тут Вы, кстати, используете слово "рандом", не зная, что оно означает в математике (что показывает, что теорию вероятностей вы либо плохо учили, либо уже сильно забыли).

да, тоже смущало, но не придумал ночью, как правильно написать) Хотел сказать, что эта последовательность не может дать наперед заданное число, т.е. обычно насколько я знаю в математике все детерминировано (на всяк случай поясню, а то вдруг еще не правильно выразился: имею в виду, что есть наперед заданное число, которое можно узнать), а эта последовательность позволяла бы получать неопределенное число, только каким способом это можно использовать пока не знаю, ведь новое число простое искать - это довольно трудоемко.
А по теории вероятности был только зачет:) Поэтому больше парился с другими предметами, а сейчас решил попробовать самому подчитать и вникнуть в нее.

Xaositect в сообщении #896600 писал(а):

нижние оценки в теории сложности и сложность умножения матриц

а для чего могут применяться нижние оценки? А чем так примечательна проблема умножения матриц? Слышал о неком алгоритме Карацубы:) Но никогда его не разбирал. В этом семестре у нас были "Вычислительные методы алгебры", в основном узнавали про алгоритмы, которые для определенных матриц требуют меньше вычислений для решения СЛАУ: всякие итерационные методы, LU-разложения какие-то еще. Лектор уже правда был старичком добрым:) Пару раз лекцию и практику пропускал:) Но, когда я его спрашивал о том, где можно применять эти методы, то он отговаривался, что это по большей части надо было раньше, когда каждая операция была дорога.

Xaositect в сообщении #896600 писал(а):

Можете попробовать подумать над одной

Если речь идет о логических переменных, т.е. те, которые имеют значения лишь $true$ и $false$ или $1$ и $0$, то тогда можно рассуждать таким образом: Лобовое решение делает $3(n-1)$ операцию (не считая операции присваивания). Можно попробовать уменьшить количество операций за счет дизъюнкции и конъюнкции, для этого надо определить наличие переменной со значением $true$ и $false $. Для этого во время вычисления суммы надо сравнивать вновь полученный результат с предыдущим. Если он изменился, то есть переменная со значением $true$ и соответственно дизъюнкция будет также $true$. А если не изменился, то есть переменная $false $ и конъюнкция также будет false. В худшем случае будет сделана $n-1$ операция суммы по модулю 2 и $n-1$ операция сравнения, т.е. в итоге $2(n-1)$. Сразу можно сказать, что опуститься ниже, чем $n-1$ операция нельзя, т.к. иначе сумму мы не вычислим. Если начать разбирать случаи, то самым удачным будет, когда первая и вторая переменная будут различны, в таком случае потребуется $n-3$ операции, хотя если думать алгоритмически, то там еще надо продумывать, как перестать тратить операции, после нахождения и $false$ и $true$. Но я так понимаю, что в разборы случаев лезть вообще не надо и решить надо в общем виде. Тогда, чтобы ответить почему ниже нельзя, надо показать, что любые другие действия будут лишними. Хотя тут можно сказать, что у нас минимальное число операций требуемое для вычисления суммы - это $n-1$ и за эту $n-1$ мы узнаем есть ли $false$ или $true$, другая информация нам не нужна, значит это минимум.

Xaositect в сообщении #896600 писал(а):

Да, если 3 курс и плохо знаете английский - учите.

Это да. Стараюсь учить:) Прочитать техническую литературу кое-как могу, словарный запас более-менее нормальный, но вот когда дело доходит до построения предложений, особенно сложных, то там беда:)


У меня тоже есть интересная задача:) Очень простая и в тоже время невероятная:)
В общем представьте, что Вы сидите за столом с завязанными глазами, в перчатках и с прищепкой на носу:)
1) На столе лежит $100$ монеток.
2) Вы знаете, что $90$ монеток положены вверх орлом, а $10$ - решком.
3) В общем можно делать вроде как что угодно с ними (но на самом деле только переворачивать и там таскать по столу).
В итоге Вам надо разбить все монетки на две группы так, чтобы в одной и во второй группе было одинаковое кол-во монеток именно решком вверх, а орлом - не имеет значения сколько:)

[Shadow]

Pisarik в сообщении #896607 писал(а):

У меня тоже есть интересная задача:) Очень простая и в тоже время невероятная:)
В общем представьте, что Вы сидите за столом с завязанными глазами, в перчатках и с прищепкой на носу:)
1) На столе лежит $100$ монеток.
2) Вы знаете, что $90$ монеток положены вверх орлом, а $10$ - решком.
3) В общем можно делать вроде как что угодно с ними (но на самом деле только переворачивать и там таскать по столу).
В итоге Вам надо разбить все монетки на две группы так, чтобы в одной и во второй группе было одинаковое кол-во монеток именно решком вверх, а орлом - не имеет значения сколько:)

Разбиваем на две группы: в группе А - 10 монет, в группе B - 90 и переворачиваем все монеты в группе A.

[vicvolf]

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

кстати, говоря о гипотезе Лежандра, я вот думал всегда, что знаю доказательство постулата Бертрана, но потом понял, что это не так. И когда увидел доказательство постулата Бертрана, то был удивлен, что оно достаточно сложное и основывается на оценках, по крайней мере я ожидал более простого доказательства:)
Думаю, что доказав постулат Бертрана гипотеза Лежандра будет следствием из Бертрана.

Но Вы же знаете, что постулат Бертрана был давно доказан Чебышевым в 1850 году, а вот гипотеза Лежандра до сих пор не доказана. Для доказательства гипотезы Лежандра не достаточно доказательства постулата Бертрана.

Цитата:

Вообще у меня есть уже своя гипотеза по поводу простых чисел:)
На любом отрезке $[n; n + \sqrt{n} + ln{n}], n \in \mathbb{N}$ найдется простое число.

Все гипотезы о простых числах, связанные с расстоянием между соседними простыми числами, связаны между собой.
В работе Pintz, J. "Very large gaps between consecutive primes". J. Number Theory 63 (2): 286–301, 1997 доказано, что для максимального расстояния между соседними простыми числами $P_n$ и $P_{n+1}$ – $G(P_n)$ справедливо неравенство $G(P_n)<(P_n)^{u+\varepsilon}.(1)$ для достаточно больших $Р_n$ и малых $\varepsilon$, где $u=0,525$.
Если подставить в (1) $P_n=N^2$, то $G(P_n)<(P_n)^{0,525 \cdot 2}=P_n^{1,05}$.
Так как $(N+1)^2-N^2=2N+1$, то для выполнения гипотезы Лежандра требуется, чтобы для любого N выполнялось неравенство: $2N+1>N^{1,05}$.
Однако, данное неравенство, выполняется только для $N<1000000$.
Если бы удалось доказать справедливость неравенства (1) при $u=0,5$, т.е. меньше всего на 0,25, то из этого следовала бы справедливость более сильной гипотезы, чем Лежандра, что между двумя квадратами соседних натуральных чисел находится, как минимум 2 простых числа.
Однако для доказательства гипотезы Лежандра достаточно доказательство более слабой гипотезы Andrica, что для любого n, для максимального расстояния между соседними простыми числами, выполняется неравенство: $G(P_n)<2(P_n)^{0,5}+1.(2)$ .
Подставляя сюда $P_n=N^2$ получаем $G(P_n)<2N+1$ , т.е. разница между простыми числами меньше разности квадратов соседних натуральных чисел.

[nnosipov]

Pisarik в сообщении #896607 писал(а):

У меня тоже есть интересная задача:) Очень простая и в тоже время невероятная:)

Такие задачки обычно предлагают на школьных математических олимпиадах. (Например, в нашей местности эту задачу предлагали в 2008 году школьникам 8-х классов на районной олимпиаде.) Задачи такого рода обычно можно взять штурмом за пару часов. Для решения настоящих математических задач могут понадобится годы.

[Xaositect]

Pisarik в сообщении #896607 писал(а):

А по теории вероятности был только зачет:) Поэтому больше парился с другими предметами, а сейчас решил попробовать самому подчитать и вникнуть в нее.

Теорию вероятностей повторите. Просто потому, что ее язык надо знать, он может встретиться практически в любой области математики.

Pisarik в сообщении #896607 писал(а):

Если речь идет о логических переменных, т.е. те, которые имеют значения лишь $true$ и $false$ или $1$ и $0$, то тогда можно рассуждать таким образом: [...].

В принципе правильные рассуждения. Но можно ли сделать меньше 2n - 2 операций в худшем случае?
Ну я коряво сформулировал задачу, извиняюсь. когда я писал, что можно пользоваться только логичаскими операциями, я имел в виду, что можно пользоваться только логическими операциями и операторами присваивания. В частности, if нельзя. Эта модель соответствует схемам из функциональных элементов (circuits).

Pisarik в сообщении #896607 писал(а):

а для чего могут применяться нижние оценки?

Нижние оценки - они как таблички "Осторожно" - показывают, что если необходимо за них зайти, придется отказаться от чего-то в формулировке задачи. К сожалению, пока мы такие таблички можем надежно поставить только в совсем очевидных местах.

Pisarik в сообщении #896607 писал(а):

А чем так примечательна проблема умножения матриц? Слышал о неком алгоритме Карацубы:) Но никогда его не разбирал.

Карацуба - это для длинных чисел, а не для матриц. А проблема умножения матриц интересна тем, что что такое умножение матриц должен знать любой первокурсник, а как именно оптимально умножать матрицы не знает никто :)

Pisarik в сообщении #896607 писал(а):

В этом семестре у нас были "Вычислительные методы алгебры", в основном узнавали про алгоритмы, которые для определенных матриц требуют меньше вычислений для решения СЛАУ: всякие итерационные методы, LU-разложения какие-то еще.

Алгоритм Гаусса с первого курса помните? Посмотрите на LU-разложение и поймите, что это и есть LU-разложение.

Цитата:

Но, когда я его спрашивал о том, где можно применять эти методы, то он отговаривался, что это по большей части надо было раньше, когда каждая операция была дорога.

Это все нужно и сейчас, просто размеры матриц, для которых эти методы применяются, выросли. Посмотрите, например, что такое PageRank и как его считают.

В общем, учиться, учиться и еще раз учиться. Алгебру, анализ, теорвер не просто так дают на первых курсах, а потому, что это базовый язык, без знания этого языка дальше ничего не будет понятно.

[Oleg Zubelevich]

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

Хотя конечно в противовес этому весят апории Зенона,

Апории Зенона давно и благополучно разрешены. Математическая строгость является аппаратом проверки истинности выводов в математике. В физике -- эксперимент, в математике -- формализм

-- Сб авг 16, 2014 13:38:03 --

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

Надо ли разбирать доказательства теорем? Н

надо решать теоретические задачи, тогда придет глубокое понимание, вопрос о зазубривании доказательств отпадет сам собой

-- Сб авг 16, 2014 13:39:15 --

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

хорош ли способ обучения, когда перед тобой на неделю скажем ставят какую-то задачу, ты пытаешься ее своими силами решить

очень хорош такой способ, но регулярного обучения он не отменяет

-- Сб авг 16, 2014 13:41:39 --

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

Стоит ли с таким интересами\запалом заниматься математикой или это больше к философии какой-нибудь?

математикой заниматься труднее, чем философией

[bot]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #896636 писал(а):

математикой заниматься труднее, чем философией

А по моему наоборот. Чтобы мыслить ни о чём - для этого особый склад ума надо иметь.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

bot в сообщении #896642 писал(а):

Чтобы мыслить ни о чём

а почему это сразу "ни о чём"? человеческая культура не сводится к математике. есть другие пласты бытия

[Pisarik]

Shadow, nnosipov, да, другого я не ожидал Нравится она тем, что сразу всем кажется, что это же невозможно сделать и такой конфуз наводит)

vicvolf в сообщении #896613 писал(а):

Для доказательства гипотезы Лежандра не достаточно доказательства постулата Бертрана.

В своем сообщении не дописал, что докажут еще более просто, возможно другим методом. На википедии пишут, что есть 3 доказательства и Эрдешом найдено самое простое. Оно конечно не столь тяжелое, потому что действительно биномиальные коэффициенты и натуральный логарифм даже я знаю, но действия там довольно сложные, по крайней мере для меня:) Но Вам не кажется, что должно быть доказательство не выходящее за рамки натуральных чисел? Мне кажется, что найдя правильное доказательство постулата Бертрана, гипотезу Лежандра можно будет додумать по образу и подобию:) Я сам раньше пытался искать причины, ставя примерно такие вопросы: "почему следующее число является простым?", "когда появляется необходимость в простом числе?". Под необходимостью в простом числе понимаю, что если убрать какое-то простое число, то сразу пропадет туча составных. Пробовал рассматривать числа под разными углами. Например рассматривать число, как набор остатков на деление меньших простых чисел, в таком случае очевидно, что если в этом наборе нет нулей, то число является простым. Тогда я начал исследовать эти наборы, то как они изменяются и пробовать доказать, что если на каком-то участке натуральных чисел длины n не найдется простого числа, то на бесконечности появятся противоречия: появятся либо новые простые числа, либо простые станут составными). Примерно в таком направлении думал. А последнее веяние настало после вопроса "а почему после $3$ идет $4$?" понял, что надо перестать мыслить числами и начал мыслить вазами Хотя от чисел отказаться конечно не удалось, но это привело к некоторым интересным выводам. Если представить, что число $n$ - это $n$ ваз в пространстве, то тогда число является простым тогда, когда из ваз нельзя выставить никакие прямоугольники, кроме как тривиальные ($1 \times m$, $n \times 1$), а если можно выставить в прямоугольник со сторонами $n \times m$, то $n$ и $m$ соответственно делители этого числа. Ну и пока с помощью такого представления немного научился переходить от делителей числа $x$ к делителям числа $x+1$, хотя это все еще очень сырое. Но мысль такая, что у нас есть $x$ ваз выставленные прямоугольником $nxm$ вопрос в том, чтобы узнать можно ли построить прямоугольник, добавив одну вазу? Пока нет никаких общих схем, но например рассмотрим $x = 20, n = 5, m = 4$. Мысленно добавим к этому прямоугольнику в последнюю колонку сверху вазу и отделим всю эту колонку. Получаем две фигуры, оставшийся прямоугольник теперь уже размером $5 \times (4-1) = 5 \times 3$ и отделенная колонка размером $(5+1) \times 1 = 6 \times 1$. Т.к. $6$ делится на $3$, то можно отделенную колонку представить как $2$ строки прямоугольника. В итоге получили прямоугольник $7 \times 3 = 21$. Вот такая какая-то идея:)

vicvolf в сообщении #896613 писал(а):

для максимального расстояния между соседними простыми числами $P_n$ и $P_{n+1}$ – $G(P_n)$ справедливо неравенство $G(P_n)<(P_n)^{u+\varepsilon}.(1)$ для достаточно больших $Р_n$ и малых $\varepsilon$, где $u=0,525$.

Спасибо, раньше не знал о таком, занятная штука:)

vicvolf в сообщении #896613 писал(а):

Если подставить в (1) $P_n=N^2$, то $G(P_n)<(P_n)^{0,525 \cdot 2}=P_n^{1,05}$.

Мне кажется, что тут проблема заключается главным образом в том, что $P_n \approx N^2$ и с увеличением порядка увеличивается и погрешность соответственно.
Ну а если например взять и подставить мою эту "гипотезу" в это неравенство, то получаем, что $G(P_n) = N^{0.5} + \ln N$ и подставляя $P_n = N$ получаем неравенство, которое надо доказать для достаточно больших $N$: $N^{0.5} + \ln N < N^{0.525}$, это ведь верное неравенство на бесконечность, ничего не путаю? (Примерно с $N =1333$ это неравенство выполняется). Хотя тут опять же все что-то приблизительно получается, в том плане, что $N \approx P_n$.

Xaositect в сообщении #896631 писал(а):

Теорию вероятностей повторите. Просто потому, что ее язык надо знать, он может встретиться практически в любой области математики.

Да, раньше и не думал, что она много где есть, но вот недавно даже немного почитав о "Нечеткой логике" нашел дискуссию, в которой обсуждали, что нечеткая логика сопоставима с теорией вероятности.

Xaositect в сообщении #896631 писал(а):

Но можно ли сделать меньше 2n - 2 операций в худшем случае?

Подумаю, что можно с этим сделать без $if$:)

Xaositect в сообщении #896631 писал(а):

К сожалению, пока мы такие таблички можем надежно поставить только в совсем очевидных местах.

Потому что в принципе не понятно вообще как определить, что не существует других способов сделать это эффективнее?

Xaositect в сообщении #896631 писал(а):

Карацуба - это для длинных чисел, а не для матриц.

Ой да, когда-то для чего-то хотел написать матрицы с длинной арифметикой, вот оно и перемешалось)

Xaositect в сообщении #896631 писал(а):

а как именно оптимально умножать матрицы не знает никто :)

Потому что опять же никто не знает нижней границы?

Xaositect в сообщении #896631 писал(а):

Алгоритм Гаусса с первого курса помните? Посмотрите на LU-разложение и поймите, что это и есть LU-разложение.

Да, без Гаусса никуда:) Но вот LU-разложение у нас давалось немного отличное от того, что часто можно найти в интернете. Нас почему-то научили некому LDU-разложению. Там есть матрица D насколько помню диагональная, на диагонали могут быть -1, 0, 1. А может я уже путаю что-то:\

Xaositect в сообщении #896631 писал(а):

В общем, учиться, учиться и еще раз учиться. Алгебру, анализ, теорвер не просто так дают на первых курсах, а потому, что это базовый язык, без знания этого языка дальше ничего не будет понятно.

Я вот заметил, что пока нам давали так сказать новые инструменты, которыми надо овладеть для чего-то. До этого на всех потоках у нас в универе программа практически одинаковая, разве что преподаватели с разными требованиями и немного по-разному излагают материал. А вот сейчас с 3его курса кафедры уже идут. Выбрал интеллектуальные системы управления:)

Oleg Zubelevich в сообщении #896636 писал(а):

Апории Зенона давно и благополучно разрешены.

Не знал, а где об этом можно почитать?

Oleg Zubelevich в сообщении #896636 писал(а):

надо решать теоретические задачи, тогда придет глубокое понимание

Да где только найти мотивацию решать какие-то странные задачи, а тем более если ты еще знаешь на какую эту тему, то чаще всего выходит, что надо практически просто применить то, на какую тему задача:) А еще как потом проверить ход решения? Ведь зачастую вообще даже и не знаешь можно ли так сделать или не написал ли ты какой-то бред абсолютный:) Вот за 2 курса по матану прорешали этот задачник Демидовича. Не весь конечно, но большинство. И есть там уже настолько ужасные интегралы и способы их решения, настолько какие-то искусственные методы, а есть и очень простые, наверняка и средние есть:)

Oleg Zubelevich в сообщении #896636 писал(а):

математикой заниматься труднее, чем философией

а мне кажется, что они в принципе взаимосвязаны.

фух. ответил:)

[patzer2097]

Pisarik в сообщении #896682 писал(а):

Ведь зачастую вообще даже и не знаешь можно ли так сделать или не написал ли ты какой-то бред абсолютный:)

Если Вам кажется, что Ваше доказательство - "абсолютный бред", то, скорее всего, это так и есть. В первую очередь, Вы сами должны понимать, что Вы пишете и читаете, и распознавать наличие "бреда".

Pisarik в сообщении #896682 писал(а):

Вот за 2 курса по матану прорешали этот задачник Демидовича. Не весь конечно, но большинство.

Теперь для Вас лучше всего будет забыть об этом убитом времени и понять, что математика - это нечто диаметрально противоположное.

Pisarik в сообщении #896598 писал(а):

Иной раз довольно много раздумывал и придумывал гипотез о последовательностях простых чисел, проверял их написав программу и с помощью нее же выводил всякие данные, чтобы делать новые. Еще пытался доказать гипотезу Лежандра (проблема Ландау) о том, что в промежутке от $n^2$ до $(n+1)^2$ есть простое число.

С глубокими проблемами надо быть осторожнее, - все равно Вы ни одну из них пока не решите, зато потратите массу времени и сил абсолютно напрасно. По этим вопросам лучше всего проконсультироваться со своим научным руководителем (а если его нет, с кем-нибудь Ваших преподавателей, чьи труды Вам кажутся наиболее близкими к тому, что Вам интересно), и он поможет Вам найти проблему, над которой было бы действительно полезно (и интересно) работать.

[Oleg Zubelevich]

Pisarik в сообщении #896682 писал(а):

Не знал, а где об этом можно почитать?

в учебнике по матану

[Pisarik]

patzer2097 в сообщении #896691 писал(а):

математика - это нечто диаметрально противоположное.

А что это за нечто диаметрально противоположное?

patzer2097 в сообщении #896691 писал(а):

все равно Вы ни одну из них пока не решите, зато потратите массу времени и сил абсолютно напрасно

Да, скорее всего это так:) Вряд ли мне удастся придумать что-то, о чем не мыслили другие математики, намного более крутые, чем я) Поэтому массу времени на это я не трачу, так сказать туалетные размышления и на ночь иногда:) И если нахожу какой-то интересный подход, то тогда пробую его развить. Но вообще если так думать, что раньше же до меня было много великих математиков и никто не доказал из тех, кто пытался, то кому тогда вообще доказывать это?) Да и бывает же иной раз удача и случайность помогают) Хотя конечно, чтобы они помогли должны быть какие-то усилия, а то так ни с того, ни с сего ничего не выйдет:) Ну и в конце концов вдруг они для кого-то станут отправной точкой, хотя с другой стороны это все может быть просто детским лепетом)