Доказательство несостоятельности ВТФ

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

Если нам удастся доказать, что ВТФ должна звучать также, как теорема ВТФ для треугольника

Если нам удастся доказать, что слово "ворона" должно звучать так же, как слово "собака"...

[Yarkin]

tolstopuz писал(а):

Если нам удастся доказать, что слово "ворона" должно звучать так же, как слово "собака"...

То...

[AD]

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

Теорема 1.$\Bigl\{x,y,z,n)\in\mathbb{N}^3\times\bigl(\mathbb{N}\setminus\{1,2\}\bigr)\Bigl|\Bigr.\ x^n + y^n = z^n\Bigl\}=\varnothing$Ну что тут некорректного, пальцем ткните мне!!

.Совершенно нет геометрии!

А давайте вот как. Вот мысленно закроем глаза, и представим, что геометрии не было никакой. Ну забыло человечество ее изобрести. Или инопланетяне какие-нибудь имели склонность к алгебре, а геометрию так и не изобрели в процессе своего развития. Печально, но факт.
Ну и в таком глупом мире какой-нибудь специалист по криптографии сидит и проводит такой компьютерный эксперимент: берет два случайных натуральных числа $x$ и $y$, возводит их, скажем, в пятую степень, складывает результаты, а потом из суммы извлекает корень пятой степени. Видит, что на экране все время печатаются дробные числа, а целые никак не получаются. Ну и он спрашивает: а что, это так всегда будет?
А Yarkin ему в ответ: "Вы что! Этот вопрос некорректен! Тут же совершенно нет геометрии!"

[Yarkin]

AD писал(а):

А давайте вот как. Вот мысленно закроем глаза, и представим, что геометрии не было никакой. Ну забыло человечество ее изобрести. Или инопланетяне какие-нибудь имели склонность к алгебре, а геометрию так и не изобрели в процессе своего развития. Печально, но факт.

AD писал(а):

Видит, что на экране все время печатаются дробные числа, а целые никак не получаются. Ну и он спрашивает: а что, это так всегда будет?
А Yarkin ему в ответ: "Вы что! Этот вопрос некорректен! Тут же совершенно нет геометрии!"

Тут противоречие, ибо Яркина с таким вопросом не будет! Но геометрию не надо придумывать, она существует независимо от нас. Ее, только, надо изучать. Любая вещь имеет геометрию и совмещает ее с геометриями других вещей. В математике это должно учитываться.
Впрочем, я ошибся, говоря, что в ВТФ совершенно нет геометрии. Она есть. Но эта геометрия страшная. Я ее привожу.
$ \begin{picture}(300, 50) \put(0, 15){\line(1, 0){300}} \put(0, 5){\line(0, 1){15}} \put(100, 15){\line(0, 1){5}} \put(300, 5){\line(0, 1){15}} \put(150, 8){$z^n$} \put(50,20){$x^n$} \put(175, 20){$y^n$} \put(100, 0){Геометрический смысл ВТФ} \end{picture} $
Из этой геометрии видно, что компьютерщик находится в лучшем положении, чем математики. Он берет целые $x, y$, возводит их в степень
$ n > 2 $, а потом подбирает целое $z$ для выполнения соотношения (1), выходя за рамки отрезка. Математики же ограничены этим отрезком, то есть решают совершенно бессмысленную задачу. Эта геометрия следует из формулировки ВТФ.

[AD]

Yarkin писал(а):

геометрию не надо придумывать, она существует независимо от нас

Ха-ха. Еще один платонист. Геометрия - это всего лишь два десятка высосанных из пальца аксиом, имеющих очень слабое отношение к действительности.

[Yarkin]

AD писал(а):

Ха-ха. Еще один платонист. Геометрия - это всего лишь два десятка высосанных из пальца аксиом, имеющих очень слабое отношение к действительности.

Природная геометрия не имеет отношения к аксиомам. Однако аксиомы геометрии, в отличии от аксиом теории чисел, можно считать объективными, поскольку некоторые из них проверяются на практике и природе.

[AD]

Yarkin писал(а):

Природная геометрия не имеет отношения к аксиомам. Однако аксиомы геометрии, в отличии от аксиом теории чисел, можно считать объективными, поскольку некоторые из них проверяются на практике и природе.

Именно поэтому "природная геометрия" не имеет отношения к математике, в частности, к теореме Ферма.

И какие же из аксиом геометрии проверяются на практике? По-моему, еще в 20 веке показали, что евклидова геометрия не имеет места в природе, ну слышали, там, теория относительности, все такое, ...

По-моему, пять яблок гораздо лучше выражают смысл числа 5, чем палка - смысл отрезка.

Добавлено спустя 4 минуты 28 секунд:

Yarkin писал(а):

Из этой геометрии видно, что компьютерщик находится в лучшем положении, чем математики. Он берет целые $x, y$, возводит их в степень
$ n > 2 $, а потом подбирает целое $z$ для выполнения соотношения (1), выходя за рамки отрезка. Математики же ограничены этим отрезком, то есть решают совершенно бессмысленную задачу. Эта геометрия следует из формулировки ВТФ.

А вы, что-ли, каждый раз, когда хотите два числа сложить - рисуете отрезки, прикладываете их друг к другу и меряете линейкой, сколько получилось? Или в чем смысл замечания? Что значит "математики ограничены этим отрезком"?
Программист не подбирает целое число - он вызывает функцию pow(pow(x,n)+pow(y,n),1/n), и видит, что результат не целый. Он спрашивает - это случайно или это теорема такая?

[bot]

Yarkin писал(а):

И давайте не спорить на чужой ветке.

Давайте, тем более что вышло это случайно.
Копирую из чужой ветки часть дискуссии, которая уместна здесь:

Yarkin писал(а):

bot писал(а):
Лучше ответьте на прямой вопрос без увиливания - в решении этой задачке можно
использовать треугольник или нет? Иначе говоря, признаёте Вы законным или нет решение,
которое дал Руст в соседней ветке?

В любом соотношении, где участвуют три слагаемых,
можно использовать треугольник!

Очень интересно! Ваши ответы совершенно непредсказуемы. Вы случаем в КВН не играли?
Не знаю сколько слагаемых насчитали Вы в моей задачке, по-моему их два. Вы не только считаете
эту задачку корректной без всякой введения в формулировку треугольника, но и не возражаете
против его использования в решении.
Теперь поставим рядом ВТФ (да простят мне такое присоседивание!).
Сколько в её формулировке слагаемых? Я насчитал 3. Так почему же она некорректна?
А что если изменить число слагаемых, например так:

$\frac{2^{x^n} \cdot 2^{y^n}}{2^{z^n}}=1$?

Или, раз уж присоседился, что будет если я переформулирую свою задачку так, что в ней
слагаемых не будет вообще?
1) Будет ли она корректной?
2) Если да, то можно ли при её решении использовать треугольник?
3) Если нет, то можно ли её сделать корректной путём ввода в условие треугольника?

Задачка вот она - полный эквивалент для тех, кто понимает.

Пункты А и Б находятся по одну сторону от прямолинейного шоссе. Прямая, проходящая через А и Б
пересекает шоссе под углом $45^o$.Пункт А находится в 3 км от точки пересечения,
а пункт Б - в 4 км. Петя, находящийся в п.А, получил задание взять пакет у Ани, которая идёт по шоссе,
и доставить его Васе в пункт Б. Найти наименьшее расстояние, которое необходимо преодолеть
Пете для выполнения задания.

[Yarkin]

AD писал(а):

По-моему, пять яблок гораздо лучше выражают смысл числа 5, чем палка - смысл отрезка.

Это результат наших познаний. Для Пифагора 5 - изображение и только, а пять яблок - это пять чисел. Яблоки про изображение рикакого смысла не выразят.

AD писал(а):

вы, что-ли, каждый раз, когда хотите два числа сложить - рисуете отрезки, прикладываете их друг к другу

Нет, но тут речь шла о геометрическом смысле ВТФ.

bot писал(а):

Не знаю сколько слагаемых насчитали Вы в моей задачке, по-моему их два.

Два в левой части и одно в правой.

bot писал(а):

Или, раз уж присоседился, что будет если я переформулирую свою задачку так, что в ней
слагаемых не будет вообще?
1) Будет ли она корректной?
2) Если да, то можно ли при её решении использовать треугольник?
3) Если нет, то можно ли её сделать корректной путём ввода в условие треугольника?

Слагаемых нет - задачи нет и нет никаких пунктов 1), 2) и 3).

bot писал(а):

Пункты А и Б находятся по одну сторону от прямолинейного шоссе. Прямая, проходящая через А и Б
пересекает шоссе под углом $45^0$

/ Это невозможно.

Добавлено спустя 1 минуту 48 секунд:

Прежде чем доказывать некорректность ВТФ и, учитывая, что по доказательству теоремы ВТФ для треугольника никаких серьезных замечаний не поступило, применим методику ее доказательства к ВТФ.

Элементарное доказательство ВТФ

Теорема Ферма. “Если $ n $ означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 2, то уравнению

$$ x^n + y^n = z^n, n = 3, 4, 5, …, \eqno (1) $$

не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа $ x, y $ и $ z $, [3, 11].
Доказательство проведем от противного. Допустим, что такие целые числа $ x, y $ и $ z $, удовлетворяющие уравнению (1) существуют. Тогда, по теореме Пифагора, должен: 1) не существовать; 2) существовать прямоугольный треугольник с катетами $ x^{n/2}, y^{n/2} $ b и гипотенузой $ z^{n/2} $, для которого при целых положительных $ x, y $ и $ z $, будет выполняться соотношение

$$ (x^{n/2})^2 + (y^{n/2})^2 = (z^{n/2})^2. $$

Если такой треугольник не существует, то теорема считается доказанной. Допустим, что такой треугольник существует. По свойству сторон прямоугольного треугольника [5], для них одновременно должны выполняться неравенства

$$ x^{n/2} + y^{n/2} > z^{n/2}, x{n/2} + z^{n/2} > y^{n/2}, y^{n/2} + z^{n/2} > x^{n/2}, x^{n/2} < z^{n/2}, y^{n/2} < z^{n/2}, $$

тогда, по свойству неравенств и степени, должны выполняться и эти неравенства

$$ x^{k/2} + y^{k/2} > z^{k/2}, x^{k/2} + z^{k/2} > y^{k/2}, y^{k/2} + z^{k/2} > x^ {k/2}, x^{k/2} < z^{k/2}, y^{k/2} < z^{k/2}, k = 1, 2, …, 2n - 1. $$

В таком случае, для каждого прямоугольного треугольника, по теореме Пифагора должно выполняться соотношение

$$ (x^{k/2})^2 + (y^{k/2})^2 = (z^{k/2})^2, k = 1, 2, …, 2n - 1 $$

одновременно с соотношением (1), что для $n > 2$, невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

Доказательство проведем от противного. Допустим, что такие целые числа $ x, y $ и $ z $, удовлетворяющие уравнению (1) существуют.

Кстати, если заменить "целые" на "действительные", получается неплохое доказательство того, что даже действительных $x, y, z$, удовлетворяющих уравнению (1), не существует.

[dkanus]

Yarkin писал(а):

$$x^{n/2} + y^{n/2} < z^{n/2}$$

Думал побольше написать, но решил ограничеться тем что сумма длин двух сторон треугольника неможет быть меньше длины третьей, ибо всегда больше. Надеюсь не нужно объяснять почему.

[Yarkin]

tolstopuz писал(а):

Кстати, если заменить "целые" на "действительные", получается неплохое доказательство того, что даже действительных , удовлетворяющих уравнению (1), не существует.

Отличное замечание - его я и ждал, и по существу. Это подтверждает некорректность ВТФ, что я и попытаюсь доказать.

[Someone]

Yarkin писал(а):

tolstopuz писал(а):

Кстати, если заменить "целые" на "действительные", получается неплохое доказательство того, что даже действительных , удовлетворяющих уравнению (1), не существует.

Отличное замечание - его я и ждал, и по существу. Это подтверждает некорректность ВТФ, что я и попытаюсь доказать.

А поскольку хорошо известно, что действительные решения у этого уравнения существуют, это означает наличие ошибки в доказательстве. И никакого отношения к ВТФ всё это не имеет.

[AD]

Yarkin писал(а):

Прежде чем доказывать некорректность ВТФ и, учитывая, что по доказательству теоремы ВТФ для треугольника никаких серьезных замечаний не поступило, применим методику ее доказательства к ВТФ.

А вы внимательно читали мои и не только посты? Я так ответов и не получил на большинство своих вопросов по-существу.

Yarkin писал(а):

пять яблок - это пять чисел

По-моему, это утверждение уже который раз ставит в ступор опытнейших телепатов нашего форума.

Yarkin писал(а):

Яблоки про изображение рикакого смысла не выразят.

Прямо скажем, не понял.

Yarkin писал(а):

Тогда, по теореме Пифагора, должен: 1) не существовать; 2) существовать прямоугольный треугольник с катетами ...

Какая связь между пунктами 1 и 2: "и", "или", штрих шеффера?

Да, и, кстати, если вы пишите то, что заведомо считаете бредом, то из этого никаких полезных выводов сделать не получится. Это как примерно ваше "доказательство неэквивалентности": Я попробовал вывести одно из другого, а у меня не получилось, поэтому они не эквивалентны - это ведь Я попробовал, а не какой-нибудь-там ____(нужное вписать)! Только еще мрачнее.

[Yarkin]

Someone писал(а):

А поскольку хорошо известно, что действительные решения у этого уравнения существуют, это означает наличие ошибки в доказательстве. И никакого отношения к ВТФ всё это не имеет.

Все понятно. Ошибку эту никто не укажет, потому, что ее нет. Это свидетельство некорректности формулировки ВТФ.