2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.
 
 перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 09:20 
Аватара пользователя
Помогите пожалуйста понять, как работает значок алгебраической суммы.
Пусть даны две матрицы : $$A=\begin {pmatrix}
a_{11}& a_{12} \\
a_{21}& a_{22}
\end {pmatrix}$$ $$B=\begin {pmatrix}
b_{11}&b_{12} \\
b_{21}& b_{22} 
\end {pmatrix}$$ Допустим, мы перемножаем эти матрицы $A\cdot B$ Тогда некий элемент матрицы $C=A\cdot B$ находится по формуле $c_{ik}=\sum\limits_{j=1}^2 a_{ij}b_{jk}$ Ну возьмем да и распишем $c_{ik}=a_{i 1}b_{1 k}+ a_{i 2}b_{2 k}$, а дальше, я так понимаю, зависит от того, какой элемент мы хотим найти, например, пусть это будет $c_{12}$, тогда $c_{12}=a_{11}b_{12}+ a_{12}b_{22}$. Я все правильно понимаю ?

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 09:41 
Аватара пользователя
fronnya в сообщении #881080 писал(а):
Я все правильно понимаю ?
Правильно.

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 09:59 
Аватара пользователя
zvm в сообщении #881083 писал(а):
fronnya в сообщении #881080 писал(а):
Я все правильно понимаю ?
Правильно.

это же можно вообще не задумываясь писать...

-- 28.06.2014, 09:13 --

Осталось лишь разобраться, каких значений не должен превышать каждый индекс. По определению, число столбцов первой матрицы, должно равняться числу строк во второй, это ясно, а вот $i$ и $k$ ? Как понять, какие значения они пробегают, когда записываешь сумму формально?

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 10:34 
Аватара пользователя
fronnya в сообщении #881086 писал(а):
Как понять, какие значения они пробегают, когда записываешь сумму формально?
Пусть даны две прямоугольные матрицы A и B размерности $m \times n$ и $n \times q$ соответственно:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix},\;\;\; B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nq} \end{bmatrix}$.
Тогда матрица C размерностью $m \times q$ называется их произведением:
$C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mq} \end{bmatrix}$,
где:
$c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} \;\;\; \left(i=1, 2, \ldots m;\; j=1, 2, \ldots q \right)$.

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 11:37 
Аватара пользователя
zvm в сообщении #881093 писал(а):
fronnya в сообщении #881086 писал(а):
Как понять, какие значения они пробегают, когда записываешь сумму формально?
Пусть даны две прямоугольные матрицы A и B размерности $m \times n$ и $n \times q$ соответственно:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix},\;\;\; B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nq} \end{bmatrix}$.
Тогда матрица C размерностью $m \times q$ называется их произведением:
$C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mq} \end{bmatrix}$,
где:
$c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} \;\;\; \left(i=1, 2, \ldots m;\; j=1, 2, \ldots q \right)$.

ну да, по определению, снова я не посмотрел.. В новой матрице будет столько же строк, сколько в первой и сколько же столбцов, сколько и во второй

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 13:37 
Аватара пользователя
fronnya
Вы векторы умножать умеете (скалярно, заданные координатами)? Так вот, умножение матриц - это много-много умножений векторов.

Запомните принципиальную картинку:

$$
\left(\begin{array}{c}
\boxed{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\end{array}}\\
\begin{array}{cccc}a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\
a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3m}\\
a_{41}&a_{42}&\cdots&a_{4m}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{l1}&a_{l2}&\cdots&a_{lm}\end{array}\\
\end{array}\right)
\,\,\cdot\,\,
\left(\,\,\,
\boxed{\begin{array}{@{}c@{}}
b_{11}\\
b_{21}\\
\vdots\\
b_{m1}\\
\end{array}}
\begin{array}{ccccc}
b_{12}&b_{13}&\cdots&b_{1n}\\
b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{m2}&b_{m3}&\cdots&b_{mn}\\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cccccc}
\boxed{c_{11}}&c_{12}&c_{13}&\cdots&c_{1n}\\
c_{21}&c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\
c_{31}&c_{32}&c_{33}&\cdots&c_{3n}\\
c_{41}&c_{42}&c_{43}&\cdots&c_{4n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{l1}&c_{l2}&c_{l3}&\cdots&c_{ln}\\
\end{array}\right)
$$
и мнемоническое правило "строка на столбец". То, что взято в рамочки, вычисляется как умножение вектора на вектор:
$$
\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}cc}
a_{11}&&a_{12}&&\cdots&&a_{1m}&\\
\cdot&&\cdot&&&&\cdot&\\
\rule[-0.5em]{0pt}{0.5em}b_{11}&&b_{21}&&\cdots&&b_{m1}&\\ \cline{1-7}
\rule{0pt}{1em}a_{11}b_{11}&{}+{}&a_{12}b_{21}&{}+{}&\,\ldots\,&{}+{}&a_{1m}b_{m1}&{}=\,c_{11}\\
\end{array}
$$

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 13:40 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #881169 писал(а):
fronnya
Вы векторы умножать умеете (скалярно, заданные координатами)? Так вот, умножение матриц - это много-много умножений векторов.

Запомните принципиальную картинку:

$$
\left(\begin{array}{c}
\boxed{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\end{array}}\\
\begin{array}{cccc}a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\
a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3m}\\
a_{41}&a_{42}&\cdots&a_{4m}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{l1}&a_{l2}&\cdots&a_{lm}\end{array}\\
\end{array}\right)
\,\,\cdot\,\,
\left(\,\,\,
\boxed{\begin{array}{@{}c@{}}
b_{11}\\
b_{21}\\
\vdots\\
b_{m1}\\
\end{array}}
\begin{array}{ccccc}
b_{12}&b_{13}&\cdots&b_{1n}\\
b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{m2}&b_{m3}&\cdots&b_{mn}\\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cccccc}
\boxed{c_{11}}&c_{12}&c_{13}&\cdots&c_{1n}\\
c_{21}&c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\
c_{31}&c_{32}&c_{33}&\cdots&c_{3n}\\
c_{41}&c_{42}&c_{43}&\cdots&c_{4n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{l1}&c_{l2}&c_{l3}&\cdots&c_{ln}\\
\end{array}\right)
$$
и мнемоническое правило "строка на столбец". То, что взято в рамочки, вычисляется как умножение вектора на вектор:
$$
\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}cc}
a_{11}&&a_{12}&&\cdots&&a_{1m}&\\
\cdot&&\cdot&&&&\cdot&\\
\rule[-0.5em]{0pt}{0.5em}b_{11}&&b_{21}&&\cdots&&b_{m1}&\\ \cline{1-7}
\rule{0pt}{1em}a_{11}b_{11}&{}+{}&a_{12}b_{21}&{}+{}&\,\ldots\,&{}+{}&a_{1m}b_{m1}&{}=\,c_{11}\\
\end{array}
$$

Спасибо большое, я на векторах чуть позже остановлюсь очень подробно. А то, что Вы взяли в рамочки, это я для себя понял сам с самого начала, удобно очень. Просто в литературе много раз встречал формальную запись, ну как я в начале писал со значком суммы, вот и решил разобраться.

-- 28.06.2014, 12:48 --

то есть, если взять два вектора, то один можно представить, как матрицу-строку, а второй- как матрицу-столбец и умножить?

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 13:52 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #881169 писал(а):
То, что взято в рамочки, вычисляется как умножение вектора на вектор

Левый глаз cкачет слева направо по $i$-ой строке левой матрицы, а правый глаз - синхронно с левым сверху вниз по $j$-ому столбцу правой матрицы. На каждом скачке главный процессор (между глаз) вычисляет произведения объектов обзора глазами и складывает в $ij$-ю ячейку, которая была обнулена перед началом процесса.
Когда оба глаза успешно проскачут по всем своим элементам (левый - строки, а правый - столбца), разовьётся косо в $ij$-ой ячейке накопится потребное число.

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 14:02 
Аватара пользователя
Держа в голове картинку "строка на столбец", можно все эти формальные записи быстро восстановить, и с размерами матриц разобраться. А в обратную сторону - бывает неочевидно.

-- 28.06.2014 15:03:32 --

bot в сообщении #881180 писал(а):
Левый глаз cкачет слева направо по $i$-ой строке левой матрицы, а правый глаз - синхронно с левым сверху вниз по $j$-ому столбцу правой матрицы.

Ну зачем вы пропагандируете косоглазие! :-)

-- 28.06.2014 15:07:31 --

bot в сообщении #881180 писал(а):
На каждом скачке главный процессор (между глаз) вычисляет произведения объектов обзора глазами и складывает в $ij$-ю ячейку, которая была обнулена перед началом процесса.
Когда оба глаза успешно проскачут по всем своим элементам (левый - строки, а правый - столбца), в $ij$-ой ячейке накопится потребное число.

Можно думать так, "алгоритмически". Но по-моему, лучше думать "алгебро-геометрически", что все умножения происходят одновременно, а потом сложения (это алгебраически), либо что берётся скалярное произведение двух векторов как целого (геометрически). Это помогает интуиции во многих задачах линейной алгебры.

-- 28.06.2014 15:08:18 --

fronnya в сообщении #881172 писал(а):
то есть, если взять два вектора, то один можно представить, как матрицу-строку, а второй- как матрицу-столбец и умножить?

Да. Как раз так и делают.

А матрица - это как будто "много строк" (когда она слева), или "много столбцов" (когда она справа).

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 14:12 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #881186 писал(а):
Да. Как раз так и делают.
А матрица - это как будто "много строк" (когда она слева), или "много столбцов" (когда она справа).

Вот теперь я понимаю.

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 14:52 
Аватара пользователя
Ура!

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 15:02 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #881220 писал(а):
Ура!

А вот как возвести матрицу в степень n в общем виде? например: $$\begin {pmatrix}
-5&5\\
-5&5
\end{pmatrix}^n$$

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 15:21 
Аватара пользователя
Возьмите для начала $n=2$ :-)

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 15:28 
Аватара пользователя
bot в сообщении #881230 писал(а):
Возьмите для начала $n=2$ :-)

0 :oops:

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 15:31 
Аватара пользователя
1. Можно (и нужно) перемножать длинную цепочку матриц:
$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\underset{n\text{ раз}}{\ldots}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$

2. Бывают более удобные сокращённые способы, но они годятся не для любых матриц. Более того, такие способы позволяют возводить матрицы в нецелую степень, как и действительные числа. Но это вы изучите потом на линейной алгебре, а сейчас не стоит забегать вперёд: чтобы рассказать об этом, потребуется изложить много предварительной теории.

 
 
 [ Сообщений: 138 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group