Физический смысл ср. квадратичн. отклонения

[Damir(2)]

Здравствуйте.
Хотел спросить, а в чем заключается физический смысл средне-квадратичного отклонения? Например, нужно посчитать ср. квадр. отклонение суммы двух игральных костей. Оно равно где то 1.7 (Мат ожидание суммы равно 7).
У меня программа смоделировала 2 испытания по 1 000 000 бросаний двух игральных кубиков в каждом . В первом получилось среднее арифметическое 6.99883 , а во втором 7,000152 т.е здесь выполняется закон больших чисел и ср. арифм. стремится к 7. А что в это случае значит ср. квадратичн. отклонение.? Это как бы границы слева и справа за которые не выйдет ср.арифметическое?

[Lukum]

Грубо говоря, это среднее отклонение суммы очков в одном броске двух костей от 7.
Если говорить точнее, то это среднеквадратическое отклонение суммы очков в одном броске двух костей от 7.
Т.е. бываю большие отклонения, бывают меньшие, но в среднем они такие, грубо говоря.

[Munin]

Damir(2) в сообщении #879703 писал(а):

Хотел спросить, а в чем заключается физический смысл средне-квадратичного отклонения?

Хотел спросить, а в чём заключается смысл задавания вопросов про физический смысл в математическом разделе? :-)

Damir(2) в сообщении #879703 писал(а):

что в это случае значит ср. квадратичн. отклонение.? Это как бы границы слева и справа за которые не выйдет ср.арифметическое?

Среднее арифметическое для большого числа бросков распределяется примерно по такому графику:

(оно называется нормальное распределение, или гауссиана; бывают и другие распределения, но принцип тот же)

Ваше среднее арифметическое может выйти за пределы $\pm\sigma,$ но с небольшой вероятностью: 31 %. Ещё меньше вероятность выйти за пределы $\pm 2\sigma,$ ещё меньше - $\pm 3\sigma$ - уже 0,27 %. Этим обычно можно пренебречь.

[Joker_vD]

Munin
Вы бы хоть сказали, что в вашем сообщении $\sigma$ на самом деле не $1{,}7$, а $1{,}7\cdot10^{-3}$, потому что ЦПТ.

[Munin]

Joker_vD
Я отредактировал своё сообщение, но вы были быстрее :-) Да, спасибо, что акцентировали. Итак, для 1 000 000 бросков должно быть число в пределах от 6,9983 до 7,0017 - с вероятностью 68 %. Как видим, оба эксперимента в этот диапазон укладываются :-) Третий мог бы не уложиться.

[Damir(2)]

Lukum в сообщении #879722 писал(а):

Грубо говоря, это среднее отклонение суммы очков в одном броске двух костей от 7.
Если говорить точнее, то это среднеквадратическое отклонение суммы очков в одном броске двух костей от 7.
Т.е. бываю большие отклонения, бывают меньшие, но в среднем они такие, грубо говоря.

а, ясно. Это значит среднее значение, а я то думал раньше что это как бы границы, т.е от центра в левую и правую сторону.
Munin
Ну про физический смысл я не имел ввиду саму физику процесса) мож неправильно там написал, я имел ввиду как бы "наглядность" что ли этой величины и да, спасибо за график

[profrotter]

А независимо от распределения случайной величины $X$ действует неравенство Чебышёва:

$$P(|X-m_X|>k\sigma)<\frac{1}{k^2}.$$

То есть любая случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от своего математического ожидания более чем на $k\sigma$ с вероятностью меньшей $\frac{1}{k^2}$, то есть среднеквадратическое отклонение определяет диапазон значений около среднего, в котором (с определённой вероятностью) локализуются значения случайной величины. Например при $k=3$ имеем $\frac{1}{k^2}\approx 0.1$ - вероятность выйти за пределы трёх среднеквадратических отклонений не может быть больше 10%.

[Munin]

График для однократного броска двух костей иначе выглядит, просто как равнобедренный треугольник.

[ewert]

profrotter в сообщении #879741 писал(а):

А независимо от распределения случайной величины $X$ действует неравенство Чебышёва

Действует, но оно жутко грубое.

[Damir(2)]

profrotter в сообщении #879741 писал(а):

А независимо от распределения случайной величины $X$ действует неравенство Чебышёва:

$$P(|X-m_X|>k\sigma)<\frac{1}{k^2}.$$

То есть любая случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от своего математического ожидания более чем на $k\sigma$ с вероятностью меньшей $\frac{1}{k^2}$, то есть среднеквадратическое отклонение определяет диапазон значений около среднего, в котором (с определённой вероятностью) локализуются значения случайной величины. Например при $k=3$ имеем $\frac{1}{k^2}\approx 0.1$ - вероятность выйти за пределы трёх среднеквадратических отклонений не может быть больше 10%.

А там разве в формуле знак > должен быть?
Вот ща читаю определение
P([X-M(X)]<e)=1-D(X)/e^2 (e в квадрате)

а все, невнимательно прочитал у вас же написано "более чем"

[profrotter]

ewert в сообщении #879752 писал(а):

жутко грубое

Грубое. Но нам же для смысла.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Damir(2)
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.