Тензор

[Ms-dos4]

Берите например лекции по линалу Гельфанда. Если честно, "изучать" тензоры по ЛЛ это скажем так, не лучший вариант. Всё равно, не имея базовых понятий линейной алгебры, не зная что такое полилинейные формы, сопряжённые линейные пространства, нормально определить тензор нельзя (во всяком случае, есть риск упустить важные моменты)

(Оффтоп)

Если вам "не терпится", то тензор обычно определяют так:
пусть $\[L\]$ и $\[{L^*}\]$ - векторное и сопряжённое ему пространство над полем $\[K\]$. Возьмём декартово произведение $\[D = {L^n} \times {L^{*m}}\]$. Тогда $\[(n + m)\]$-линейное отображение $\[f:D \to K\]$ есть тензор ранга $\[n + m\]$ ($\[n\]$ раз ковариантный и $\[m\]$ раз контравариантный). (На произвольное поле внимания не обращайте, пусть там будут действительные числа)

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #866974 писал(а):

Если вам "не терпится", то тензор обычно определяют так:
пусть $\[L\]$ и $\[{L^*}\]$ - векторное и сопряжённое ему пространство над полем $\[K\]$. Возьмём декартово произведение $\[D = {L^n} \times {L^{*m}}\]$. Тогда $\[(n + m)\]$-линейное отображение $\[f:D \to K\]$ есть тензор ранга $\[n + m\]$ ($\[n\]$ раз ковариантный и $\[m\]$ раз контравариантный). (На произвольное поле внимания не обращайте, пусть там будут действительные числа)

Я все понял. Мне лучше начать с аналитической геометрии..

[Munin]

fronnya в сообщении #866963 писал(а):

я прочитал о 4-векторах и 4-тензорах во втором томе Ландау и Лифшица, я так понял, что это некий частный случай чего-то большого.

Ну, в общем, дальше это всего лишь зависит от размерности. И символ Леви-Чивиты (единичный полностью антисимметричный тензор) меняет количество индексов.

Кстати, в ЛЛ-2 два захода на тензоры: сначала в плоском пространстве-времени, в 1 главе, а потом в искривлённом пространстве-времени - в 9 и 10 главах. В математике это называется тензорами на многообразии (римановом, или псевдоримановом, или иногда без метрической структуры).

fronnya в сообщении #866963 писал(а):

Но мне наверное нужно начать с чего-то другого, нет?

Не знаю, зависит от того, где вы их хотите использовать, какие разделы физики вы хотите читать.

Или вы не уловили суть с самого начала, и вам нужно попроще?

-- 23.05.2014 18:52:07 --

fronnya в сообщении #866985 писал(а):

Мне лучше начать с аналитической геометрии..

С линейной алгебры.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Аналитическая геометрия — это разве вообще не дикая смесь из всех разделов? Если да, то, по-моему, лучше сначала изучить эти разделы, а потом убедиться, что предмет аналитической геометрии в голове уже сформировался в лучшем виде.

[Munin]

(Оффтоп)

Аналитическая геометрия - это то, что лучше всего изучать в школе.

[fronnya]

Munin в сообщении #867017 писал(а):

fronnya в сообщении #866963 писал(а):

Или вы не уловили суть с самого начала, и вам нужно попроще?

Я понял только некоторую часть написанного, меня это не совсем устраивает. Может быть мне для начала нужно что-то попроще.. По своему уровню мне до теории поля ещё долго плыть.. Да и до аналитической механики.. Я все ещё прохожу механику общей физики, решаю задачи, хочу очень хорошо понимать каждый раздел, на это много времени уйдет. А тензоры, это я так, на будущее.. Вот у меня есть книга сивухина дома, я заметил этот злосчастный тензор инерции и просто не понял, как я потом разберусь в этом (только я вам этого не говорил, а то они найдут меня, напрягут и в трубочку скрутят). Я вообще говоря чувствую пробел в математике, решая задачи из курса общей физики.. Особенно в векторной алгебре, ну вот например, если взять книгу Матвеева по механике, там есть этакое небольшое введение$+$ преобразование компонент векторов. Это я усвоил. Но когда я открыл книгу Сивухина, я там увидел задачи, которые, скажем так, не даются (ни одна) мне до сих пор..

-- 23.05.2014, 19:13 --

fronnya в сообщении #867082 писал(а):

Munin в сообщении #867017 писал(а):

fronnya в сообщении #866963 писал(а):

Или вы не уловили суть с самого начала, и вам нужно попроще?

Я понял только некоторую часть написанного, меня это не совсем устраивает. Может быть мне для начала нужно что-то попроще.. По своему уровню мне до теории поля ещё долго плыть.. Да и до аналитической механики.. Я все ещё прохожу механику общей физики, решаю задачи, хочу очень хорошо понимать каждый раздел, на это много времени уйдет. А тензоры, это я так, на будущее.. Вот у меня есть книга сивухина дома, я заметил этот злосчастный тензор инерции и просто не понял, как я потом разберусь в этом (только я вам этого не говорил, а то они найдут меня, напрягут и в трубочку скрутят). Я вообще говоря чувствую пробел в математике, решая задачи из курса общей физики.. Особенно в векторной алгебре, ну вот например, если взять книгу Матвеева по механике, там есть этакое небольшое введение$+$ преобразование компонент векторов. Это я усвоил. Но когда я открыл книгу Сивухина, я там увидел задачи, которые, скажем так, не даются (ни одна) мне до сих пор..

кажется я ушел от темы надо было высказаться кому-то

[arseniiv]

Да всё, вроде бы, нормально. Опишите как-нибудь одну из таких невзятых задач на форуме.

[fronnya]

arseniiv в сообщении #867084 писал(а):

Да всё, вроде бы, нормально. Опишите как-нибудь одну из таких невзятых задач на форуме.

что именно нормально?

[arseniiv]

Не думаю, что вы ушли от темы далеко. Я про это говорил.

[fronnya]

arseniiv в сообщении #867084 писал(а):

Да всё, вроде бы, нормально. Опишите как-нибудь одну из таких невзятых задач на форуме.

уже уже! и там, кстати, не одна невзятая, а все невзятые..

[Munin]

fronnya в сообщении #867082 писал(а):

Я вообще говоря чувствую пробел в математике, решая задачи из курса общей физики.. Особенно в векторной алгебре, ну вот например, если взять книгу Матвеева по механике, там есть этакое небольшое введение$+$ преобразование компонент векторов. Это я усвоил. Но когда я открыл книгу Сивухина, я там увидел задачи, которые, скажем так, не даются (ни одна) мне до сих пор..

Ну, тогда вам надо сосредоточитья не на тензорах "на будущее", а на векторном анализе - на сейчас. Это в учебниках матанализа достаточно подробно покрыто. Например, Ильин-Позняк или Фихтенгольц.

fronnya в сообщении #867082 писал(а):

Я все ещё прохожу механику общей физики, решаю задачи, хочу очень хорошо понимать каждый раздел, на это много времени уйдет.

В общей физике тензоры практически не нужны.

Ну, давайте рассмотрим такую задачу. Вы в школьной физике проходили, что в жидкостях и газах есть такая величина - давление (скаляр), и есть закон Паскаля: на площадку, ориентированную в данной точке в любом направлении, действует одна и та же сила давления.

Наверное, вы уже задумывались о том, что аналогичные явления могут происходить и в твёрдом теле. Но в твёрдом теле не действует закон Паскаля. Представим себе металлический брусок, который сжимают вдоль оси $x$ (не очень сильно, чтобы он не деформировался). На площадку, перпендикулярную оси $x,$ в этом бруске действует сила - это мы можем доказать, если разрежем его вдоль такой площадки, и вставим в разрез динамометр. Но с другой стороны, на площадки, ориентированные иначе, сила может вообще не действовать. Например, заменим этот брусок пучком продольных стержней - они будут точно так же выдерживать силу при сдавливании вдоль $x,$ но если вставить между ними динамометр, он не покажет никакой силы вдоль оси $y$ или $z.$

Итак, получается, что нам надо описать силы, действующие по-разному на разные площадки. Для этого используются девять величин: $\vec{\sigma}_x=(\sigma_{xx},\sigma_{yx},\sigma_{zx})$ - вектор силы, действующий на площадку, перпендикулярную оси $x,$ и аналогично векторы $\vec{\sigma}_y,\vec{\sigma}_z,$ действующие на площадки, перпендикулярные осям $y,z.$ (Заметьте, что на площадку, перпендикулярную оси $x,$ может действовать сила не только поперёк площадки - "давление", - но и сила вдоль плоскости площадки - "сдвиговое напряжение".) Всего получается 9 величин:

$$\begin{pmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{pmatrix}.$$

При этом, выясняется, что этих величин достаточно, чтобы найти силу, действующую на любую площадку. А именно, если мы задаём нормальный вектор площадки $\vec{n}=(n_x,n_y,n_z),\quad|\vec{n}|=1,$ то вектор силы будет определяться уравнениями

$$\vec{F}=(F_x,F_y,F_z),\qquad\begin{cases}F_x=(\sigma_{xx}n_x+\sigma_{xy}n_y+\sigma_{xz}n_z)\cdot S\\F_y=(\sigma_{yx}n_x+\sigma_{yy}n_y+\sigma_{yz}n_z)\cdot S\\F_z=(\sigma_{zx}n_x+\sigma_{zy}n_y+\sigma_{zz}n_z)\cdot S.\end{cases}$$

Вот такой набор величин $\sigma_{ij},\quad i,j=1,2,3$ называют тензором (в данном случае - тензором второго ранга, потому что у него два индекса). В данном случае это тензор напряжений. Напряжения в твёрдом теле - величина не скалярная и не векторная, а тензорная.

"Общую физику" аккуратно составляют так, чтобы тензоры там практически нигде не требовались. Если они где-то всплывают, эту часть материала выделяют в продвинутый учебный курс. Но вообще, в физике они часто встречаются, например, при описании кристаллов, упругих сред, в теории поля, в теории элементарных частиц, и т. п. Ну и в той же механике.

[fronnya]

Munin в сообщении #867123 писал(а):

fronnya в сообщении #867082 писал(а):

Я вообще говоря чувствую пробел в математике, решая задачи из курса общей физики.. Особенно в векторной алгебре, ну вот например, если взять книгу Матвеева по механике, там есть этакое небольшое введение$+$ преобразование компонент векторов. Это я усвоил. Но когда я открыл книгу Сивухина, я там увидел задачи, которые, скажем так, не даются (ни одна) мне до сих пор..

Ну, тогда вам надо сосредоточитья не на тензорах "на будущее", а на векторном анализе - на сейчас. Это в учебниках матанализа достаточно подробно покрыто. Например, Ильин-Позняк или Фихтенгольц.

fronnya в сообщении #867082 писал(а):

Я все ещё прохожу механику общей физики, решаю задачи, хочу очень хорошо понимать каждый раздел, на это много времени уйдет.

В общей физике тензоры практически не нужны.

Ну, давайте рассмотрим такую задачу. Вы в школьной физике проходили, что в жидкостях и газах есть такая величина - давление (скаляр), и есть закон Паскаля: на площадку, ориентированную в данной точке в любом направлении, действует одна и та же сила давления.

Наверное, вы уже задумывались о том, что аналогичные явления могут происходить и в твёрдом теле. Но в твёрдом теле не действует закон Паскаля. Представим себе металлический брусок, который сжимают вдоль оси $x$ (не очень сильно, чтобы он не деформировался). На площадку, перпендикулярную оси $x,$ в этом бруске действует сила - это мы можем доказать, если разрежем его вдоль такой площадки, и вставим в разрез динамометр. Но с другой стороны, на площадки, ориентированные иначе, сила может вообще не действовать. Например, заменим этот брусок пучком продольных стержней - они будут точно так же выдерживать силу при сдавливании вдоль $x,$ но если вставить между ними динамометр, он не покажет никакой силы вдоль оси $y$ или $z.$

Итак, получается, что нам надо описать силы, действующие по-разному на разные площадки. Для этого используются девять величин: $\vec{\sigma}_x=(\sigma_{xx},\sigma_{yx},\sigma_{zx})$ - вектор силы, действующий на площадку, перпендикулярную оси $x,$ и аналогично векторы $\vec{\sigma}_y,\vec{\sigma}_z,$ действующие на площадки, перпендикулярные осям $y,z.$ (Заметьте, что на площадку, перпендикулярную оси $x,$ может действовать сила не только поперёк площадки - "давление", - но и сила вдоль плоскости площадки - "сдвиговое напряжение".) Всего получается 9 величин:

$$\begin{pmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{pmatrix}.$$

При этом, выясняется, что этих величин достаточно, чтобы найти силу, действующую на любую площадку. А именно, если мы задаём нормальный вектор площадки $\vec{n}=(n_x,n_y,n_z),\quad|\vec{n}|=1,$ то вектор силы будет определяться уравнениями

$$\vec{F}=(F_x,F_y,F_z),\qquad\begin{cases}F_x=(\sigma_{xx}n_x+\sigma_{xy}n_y+\sigma_{xz}n_z)\cdot S\\F_y=(\sigma_{yx}n_x+\sigma_{yy}n_y+\sigma_{yz}n_z)\cdot S\\F_z=(\sigma_{zx}n_x+\sigma_{zy}n_y+\sigma_{zz}n_z)\cdot S.\end{cases}$$

Вот такой набор величин $\sigma_{ij},\quad i,j=1,2,3$ называют тензором (в данном случае - тензором второго ранга, потому что у него два индекса). В данном случае это тензор напряжений. Напряжения в твёрдом теле - величина не скалярная и не векторная, а тензорная.

"Общую физику" аккуратно составляют так, чтобы тензоры там практически нигде не требовались. Если они где-то всплывают, эту часть материала выделяют в продвинутый учебный курс. Но вообще, в физике они часто встречаются, например, при описании кристаллов, упругих сред, в теории поля, в теории элементарных частиц, и т. п. Ну и в той же механике.

О, тут мне понятно все, и каждая из 9 компонент вычисляется? Интересно.. А это тензор напряжений, если я не ошибаюсь. Слыхал про такой, но не вникал особо. Спасибо.

[arseniiv]

Да, все можно вычислить (теми динамометрами): давим по одной оси, меряем по второй, и получаем каждую $\sigma_{ij}$.

[lena7]

IMHO, координаты для вычислений нужны, а понимания особо не дают. Скажем, в предыдущем примере, почему 9 чисел, а не 7 или 42? Почему сила находится по такой формулке? Без координат же, мы просто видим, что сила линейно зависит от вектора площадки, то есть тензор напряжений -- это линейный оператор в $\mathbb R^3$. После выбора базиса применение оператора заменяется на умножение матриц.

Почему тензоры часто появляются в физике? Потому что законы физики часто выражают линейную зависимость одних величин от других. И даже если в физике появляется какая-то нелинейная функция, то чуть реже чем всегда она гладкая, а значит линейна в малом масштабе (по этой же причине в физике часто появляются производные, интегралы и дифуры).

Мораль: сначала освойте линейную алгебру.

[Munin]

lena7 в сообщении #867275 писал(а):

IMHO, координаты для вычислений нужны, а понимания особо не дают.

Ну, не всё сразу. С числами можно "взять объект за шкирку", и начать учиться с ним работать, знакомиться с ним, узнавать его свойства. Понимание придёт постепенно. Имхо. Хотя тут возможны разные подходы, и я не собираюсь спорить.

lena7 в сообщении #867275 писал(а):

то есть тензор напряжений -- это линейный оператор в $\mathbb R^3$.

Это хорошо для человека, который знает, что такое "линейный оператор". fronnya признался, что он не такой человек, и это у него в будущем. Зато, он читает учебники, и это огромный плюс. Думаю, у него всё в недалёком будущем.

lena7 в сообщении #867275 писал(а):

Почему тензоры часто появляются в физике? Потому что законы физики часто выражают линейную зависимость одних величин от других.

Вот это, в общем-то, нет.

Во-первых, тензоры легко описывают и нелинейные зависимости. Например, любая функция в окрестности точки разлагается в ряд Тейлора, коэффициенты которого - тензоры.

Во-вторых, гораздо важнее именно тот геометрический аспект тензоров, что они не зависят от выбора системы координат (компоненты сами по себе не важны). На более мудрёном языке - тензоры образуют представления группы симметрий пространства. И тут оказывается, что в физике часто появляются не только тензоры, но и другие представления групп симметрий. Потому что вообще природе и её законам свойственны симметрии, а где симметрия есть, там она выражается всегда и только через свои представления. (Кстати, в физике есть и более замечательные вещи, такие как неточные и нарушенные симметрии, и с ними ещё веселей играть.)

lena7 в сообщении #867275 писал(а):

Мораль: сначала освойте линейную алгебру.

+100.

Но это уже было сказано.