2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение02.07.2014, 09:20 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
epros в сообщении #883056 писал(а):
Я же сказал, что в координатах кривизны в пределе тонкого слоя будет разрыв метрики
Я это тоже сказал, ссылаясь на Лайтмана, а потом подробно показал это для тонкой сферы. Это та же задача в пределе, если устремить толщину оболочки к нулю.
epros в сообщении #883056 писал(а):
Вы провоцируете меня на то, чтобы я специально для Вас выписал полное решение?
Это была Ваша обязанность, на минуточку, раз это Ваша задача. А Вы сваливаете ее на других.
epros в сообщении #883056 писал(а):
Что может быть непонятного в том, что вторая производная функции в точке её излома записывается через дельта-функцию?

Ничего. Кроме того, какое отношение она имеет к задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение02.07.2014, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
schekn в сообщении #883057 писал(а):
epros в сообщении #883056 писал(а):
Я же сказал, что в координатах кривизны в пределе тонкого слоя будет разрыв метрики
Я это тоже сказал, ссылаясь на Лайтмана, а потом подробно показал это для тонкой сферы. Это та же задача в пределе, если устремить толщину оболочки к нулю.
Нет, это не та же задача, а задача в непригодных для наших целей координатах. И я не понимаю почему Вы с таким упорством к ней всё время возвращаетесь.

schekn в сообщении #883057 писал(а):
epros в сообщении #883056 писал(а):
Вы провоцируете меня на то, чтобы я специально для Вас выписал полное решение?
Это была Ваша обязанность, на минуточку, раз это Ваша задача. А Вы сваливаете ее на других.
Это была не моя задача. Это было моё пояснение для топикстартера на тему «что и как считать». И он, судя по всему, всё понял. В отличие от Вас.

schekn в сообщении #883057 писал(а):
epros в сообщении #883056 писал(а):
Что может быть непонятного в том, что вторая производная функции в точке её излома записывается через дельта-функцию?

Ничего. Кроме того, какое отношение она имеет к задаче?
Я должен опять объяснять, зачем нам нужно считать вторые производные метрики на сфере? Через два поста после того, как сделал это в последний раз?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение02.07.2014, 10:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
epros, Вы зря тратите время. Что бы Вы ни говорили, он с упорством маньяка будет твердить своё. А доводов он не воспринимает, поскольку их не понимает, да и не хочет понимать. Чего стóит только его попытка склейки "на предыдущей страницы".

 Профиль  
                  
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение02.07.2014, 10:41 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Someone в сообщении #883069 писал(а):
epros, Вы зря тратите время. Что бы Вы ни говорили, он с упорством маньяка будет твердить своё.

Я думал Вы пришли помочь, и не устраивать склоку.

-- 02.07.2014, 10:41 --

epros в сообщении #883063 писал(а):
И он, судя по всему, всё понял. В отличие от Вас.

Ну я и говорю, вопрос видимо придется адресовать к нему.

-- 02.07.2014, 10:43 --

Someone в сообщении #883069 писал(а):
Чего стóит только его попытка склейки

А чего Вас попытка не устраивает? Показал, что неудачная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение21.08.2022, 03:13 


30/05/13
253
СПб
Nirowulf в сообщении #869842 писал(а):
Ответ вроде простой, метрика Шварцшильда ведь статичная.

$$E=mc^2\sqrt{g_{00}}=mc^2\sqrt{1-\frac{r_s}{r}},$$ где $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ это радиус Шварцшильда для тела массы $M,$ в поле которого движется частица массы $m.$


Прошу простить за безумный некропостинг! Однако, вернулся к данной теме, и нарисовалась следующая выкладка. Пускай будет тут, если модераторы не возражают.

В поле Шварцшильда, создаваемого массой $M$, для покоящегося на радиусе $r$ камня массы $m << M$ энергия будет $E = m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r}},$ где $R_S = \frac{2GM}{c^2}$.

Пускай наш камень расположен на радиусе $r_0,$ тогда $E_0 = m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}}.$ После поднятия камня вдоль радиуса на $\Delta l$ его энергия будет $E_{\Delta l} = m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0+\Delta l}}.$

Таким образом, считая, что $\Delta l << r_0$, изменение энергии камня при поднятии будет $$ \Delta E = E_{\Delta l} - E_0 = m c^2 \left( \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0+\Delta l}} - \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \, \right) = m c^2 \left( \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0 (1+\frac{\Delta l}{r_0})}} - \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \, \right) \approx $$
$$\approx m c^2 \left( \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0} (1-\frac{\Delta l}{r_0})} - \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \, \right) =  m c^2 \left( \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0} + \frac{R_S}{r^2_0} \Delta l} - \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \, \right) =$$
$$=m c^2 \left( \sqrt{\left( 1-\frac{R_S}{r_0} \right) \left(1 + \frac{R_S}{r_0(r_0-R_S)} \Delta l \right)} - \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \, \right) =$$ 
$$= m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \left( \sqrt{\left(1 + \frac{R_S}{r_0(r_0-R_S)} \Delta l \right)} - 1 \right) \approx $$
$$\approx m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \left( 1+  \frac{R_S}{2 r_0(r_0-R_S)} \Delta l - 1 \right) =$$
$$= m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \cdot \frac{R_S}{2 r_0(r_0-R_S)} \Delta l .$$
Если теперь ещё учесть, что $R_s << r_0,$ то получим

$$\Delta E = m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \cdot \frac{R_S}{2 r_0(r_0-R_S)} \Delta l \approx m c^2 \frac{R_S}{2 r^2_0} \Delta l = m \frac{GM}{r^2_0} \Delta l = m g_0 \Delta  l,$$ где $g_0=\frac{GM}{r^2_0} -$ ускорение свободного падения в $r_0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение21.08.2022, 05:30 


30/05/13
253
СПб
epros в сообщении #866440 писал(а):
Отсюда изменения плотности гравитационной энергии:
$ \Delta \rho = -\frac{g \Delta g}{4 \pi G}$
Проинтегрировав по $g$:
$ \rho = -\frac{g^2}{8 \pi G}$.

Все эти формулки хороши тем, что применимы как в ньютоновской механике, так и в ОТО.


Ландафшиц для ньютоновского приближения получает по сути такую же формулу (задача № 1 после параграфа № 106 во втором томе), пользуясь теоремой Гаусса в виде уравнения Пуассона:

(Выдержка из ЛЛ2)

Изображение


Метрика в таком приближении есть
$$g_{\mu \nu} = \operatorname{diag} \left(1+\frac{2G}{c^2} \varphi, \, -1+\frac{2G}{c^2} \varphi, \, -1+\frac{2G}{c^2} \varphi, \, -1+\frac{2G}{c^2} \varphi \right).$$
Потенциал $\varphi$ зависит только от координат и уже не содержит в себе $G$ (мне так удобнее, а вот у ЛЛ в потенциале зашита $G$).

Плотность энергии получается из действия, причём ЛЛ берёт действие с первыми производными
$$S_E=-\frac{c^4}{16 \pi G} \int d^4x \sqrt{-g} \, g^{\mu \nu} \left( \Gamma^\rho_{\mu \omega}\Gamma^{\omega}_{\nu \rho}-\Gamma^\rho_{\mu \nu}\Gamma^{\rho}_{\omega \rho}\right).$$

С точностью до членов первого порядка по $G$ получается
$$S_E = -\frac{G}{8 \pi} \int d^4 x (\nabla \varphi)^2,$$
откуда следует, что плотность гравитационной энергии $$W= -\frac{G}{8 \pi} (\nabla \varphi)^2.$$

Причём ЛЛ делают оговорку, что это выражение не совпадает с компонентной $(-g) t_{00}$ их псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. Данная компонента для рассматриваемой метрики у меня получилась следующая (с точностью до членов первого порядка по $G$):
$$(-g) t_{00}=-7 \frac{G}{8 \pi} (\nabla \varphi)^2.$$

Однако, если взять действие Эйнштейна-Гильберта (со вторыми производными)
$$S_{EH}=-\frac{c^4}{16 \pi G} \int d^4x \sqrt{-g} \, R,$$
то оно с точностью до членов первого порядка по $G$ равно
$$S_{EH} = 5\frac{G}{8 \pi} \int d^4 x (\nabla \varphi)^2.$$
Откуда по рецепту ЛЛ следует плотность энергии гравитационного поля
$$W= -7\frac{G}{8 \pi} (\nabla \varphi)^2,$$
которая совпадает с компонентной $(-g) t_{00}$ псевдотензора ЛЛ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение18.09.2022, 12:32 


04/01/10
165
Nirowulf в сообщении #1563196 писал(а):
Nirowulf в сообщении #869842 писал(а):
Ответ вроде простой, метрика Шварцшильда ведь статичная.

$$E=mc^2\sqrt{g_{00}}=mc^2\sqrt{1-\frac{r_s}{r}},$$ где $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ это радиус Шварцшильда для тела массы $M,$ в поле которого движется частица массы $m.$


Однако, вернулся к данной теме, и нарисовалась следующая выкладка. Пускай будет тут, если модераторы не возражают.

В поле Шварцшильда, создаваемого массой $M$, для покоящегося на радиусе $r$ камня массы $m << M$ энергия будет $E = m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r}},$ где $R_S = \frac{2GM}{c^2}$.


Это выражение для энергии основано на ее связи с первой компонентой ковариантного вектора энергии-импульса материальной частицы $p_0$. Но такой подход имеет ряд подводных камней. Поскольку физические скорости для малых скоростей приближаются к контравариантным скоростям $u^k$, k=1,2,3, то, физические импульсы соответствуют компонентам контравариантного вектора энергии-импульса $p^i=cmu^i$. Если связывать физические импульсы с ковариантным вектором, то оказывается, что они будут направлены в противоположную сторону по сравнению со скоростью.
Для свободно движущейся частицы энергия $cp_0$ остается постоянной, но конфигурация гравитационного поля меняется, поэтому если ее связывать с энергией, то это не отражает энергообмен с гравитационным полем.
Эти противоречия отсутствуют, если связывать энергию и импульс частицы с компонентами контравариантного вектора. Запишем для него уравнения Лагранжа.
Для лагранжиана материальной частицы
$$L=\frac{1}{2}mg_{ij}\frac{dx_i}{ds}\frac{dx_j}{ds}$$
получаем уравнения Эйлера-Лагранжа
$$\frac{dp_i}{ds}=F_i,$$
где $$F_{i } =\frac{\partial L}{\partial x^{i} }.$$
Поднимая индексы, находим
$$\frac{dp^{k} }{ds} +mg^{k{\kern 1pt} \lambda } \frac{\partial g_{\lambda {\kern 1pt} i} }{\partial x^{j} }\frac{dx_j}{ds} p^{i}=F^{k}, $$
где $$F^{k} =g^{k\lambda }\frac{\partial L}{\partial x^{\lambda } } =\frac{1}{2}mg^{k\lambda } \frac{\partial g_{ij} }{\partial x^{\lambda } }\frac{dx_i}{ds}\frac{dx_j}{ds}. $$
Второй член в левой части этого уравнения связывается с импульсами, которыми обменивается частица с гравитационным полем при движении в нем (см. книгу Динамика в общей теории относительности: вариационные методы).

В поле Шварцшильда энергия материальной частицы при уменьшении r возрастает, для неподвижной частицы она составляет $$E=g^{00}сp_0=mc^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1/2}.$$ Для свободно движущейся частицы компонента вектора силы $F^0$ равна нулю, поэтому возрастание ее энергии происходит за счет приобретения отрицательной энергии гравитационным полем. В ОТО, в отличие от энергии частицы, энергия гравитационного поля нелокализуема, то есть распределена по всему пространству, поэтому ее нельзя непосредственно приплюсовывать к энергии частицы, которая локализована в области, ограниченной ее размерами. При приближении к $r_s$ энергия частицы в фиксированной неподвижной системе отсчета неограниченно возрастает, но ее поглощение ЧД очевидно не будет описываться метрикой Шварцшильда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение18.09.2022, 21:18 


31/07/14
693
Я понял, но не врубился.
piksel в сообщении #1564903 писал(а):
В ОТО, в отличие от энергии частицы, энергия гравитационного поля нелокализуема, то есть распределена по всему пространству, поэтому ее нельзя непосредственно приплюсовывать к энергии частицы, которая локализована в области, ограниченной ее размерами.

Но ведь в таком понимании нелокализуемость будет присуща любому полю. Однако по известным причинам о ней говорят лишь в связи с энергией гравитационного поля.

-- 18.09.2022, 22:05 --

piksel в сообщении #1564903 писал(а):
В поле Шварцшильда энергия материальной частицы при уменьшении r возрастает, для неподвижной частицы она составляет $$E=g^{00}сp_0=mc^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1/2}.$$

Видимо, с точностью до наоборот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение18.09.2022, 22:31 


04/01/10
165
chislo_avogadro в сообщении #1564940 писал(а):
piksel в сообщении #1564903 писал(а):
В ОТО, в отличие от энергии частицы, энергия гравитационного поля нелокализуема, то есть распределена по всему пространству, поэтому ее нельзя непосредственно приплюсовывать к энергии частицы, которая локализована в области, ограниченной ее размерами.

Но ведь в таком понимании нелокализуемость будет присуща любому полю. Однако по известным причинам о ней говорят лишь в связи с энергией гравитационного поля.

Да, согласен.

chislo_avogadro в сообщении #1564940 писал(а):
piksel в сообщении #1564903 писал(а):
В поле Шварцшильда энергия материальной частицы при уменьшении r возрастает, для неподвижной частицы она составляет $$E=g^{00}сp_0=mc^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1/2}.$$

Видимо, с точностью до наоборот?

Именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение18.09.2022, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
piksel в сообщении #1564903 писал(а):
они будут направлены в противоположную сторону

Ну может быть хватит эту мантру повторять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО
Сообщение19.09.2022, 09:42 


04/01/10
165
Geen в сообщении #1564949 писал(а):
piksel в сообщении #1564903 писал(а):
они будут направлены в противоположную сторону

Ну может быть хватит эту мантру повторять?

Почему повторять, где вы ее еще видели?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group