"Кулоновский" потенциал одиночного события

[Time]

Munin,
В каком учебнике рекомендуете почитать про использование нелинейных $h$-голоморфных функций двойной переменной в качестве конформных расширений двумерной СТО в двумерном же пространстве-времени Минковского? Ну, или хотя бы про иную физическую интерпретацию такого решения двумерного уравнения Даламбера с источниками в правой части, которое приводит к функции:
$f(S)=c_0+c_1ln(S)$?
А еще лучше - функции комплекснозначной (в смысле двойной переменной $h=ct+jx$):
$f(h)=c_0+c_1ln(h)$?
Заранее знаю, что именно вы ответите и потому общение именно с вами считаю совершенно бессмысленным. Найдите себе собеседников, кому не претит общение с вами. Я к таким не отношусь.

[SergeyGubanov]

EvilPhysicist в сообщении #866431 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #866310 писал(а):

Вы забыли разделить правую часть на меру $\sqrt{-g}$, которая в сферических координатах не равна единице:

Нет: $\quare f = \delta^n(x)$, $\square=\cfrac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu ( \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \partial_\nu )$.

Чего нет?

[EvilPhysicist]

Time в сообщении #866436 писал(а):

физическую интерпретацию решений уравнений Даламбера того вида, что соответствуют кулоновским потенциалам, являющимся решениями уравнения Лапласа для одиночных точечных источников

Физической интерпретации у математических задач нет -- это рас.
Уравнения Даламбера и Лапласа (если вы используете эти термины как все физики) имеют разные размерности и решения у них разные -- это два.

Time в сообщении #866436 писал(а):

можно надеяться услышать не просто отсылки к учебникам, а в собственном изложении

Вы хотите, чтобы я взял и пересказал вам кусок учебника? Зачем? Учебники вы игнорируете, будете игнорировать и меня. Я даже знаю под каким предлогом

(Оффтоп)

"Начните думать своей головой", "выйдете за рамки учебников"

Time в сообщении #866436 писал(а):

дельта-функциями сосредоточенными в точке

Ни в физике, ни в математике нету такой вещи, как "дельта-функция, сосредоточенная в точке". Используйте общепринятые термины.

Time в сообщении #866444 писал(а):

В каком учебнике рекомендуете почитать про использование нелинейных $h$-голоморфных функций двойной переменной в качестве конформных расширений двумерной СТО в двумерном же пространстве-времени Минковского?

Я не Munin, но точно могу сказать, что нив одном учебнике по физике вы это не прочитаете. Потому что физика занимается природой, а природа 4-мерна. Впрочем, в учебниках по математике вы тоже это вряд ли найдете, потому что в математике нету такой вещи, как "двойная переменная".

Time в сообщении #866444 писал(а):

физическую интерпретацию такого решения двумерного уравнения Даламбера

Еще раз, физика 4-мерна (за известными исключениями). Никого (из физиков) не интересуют решения первых попавшихся уравнений.

Time в сообщении #866444 писал(а):

Заранее знаю, что именно вы ответите и потому общение именно с вами считаю совершенно бессмысленным.

То есть вы задали вопрос, и сразу после говорите "а-ля-ля, а ответ я слушать не буду, а-ля-ля, а я сам все знаю, а вы -- дурак", так?

Time в сообщении #866444 писал(а):

Найдите себе собеседников, кому не претит общение с вами. Я к таким не отношусь.

Вы вообще то создали эту тему, а значит хотели, чтобы с вами общались. Если нет, ну, опять же, вы сюда пришли, предъявляйте претензии к себе.

SergeyGubanov в сообщении #866453 писал(а):

Чего нет?

$\sqrt{-g} $ в правой части. По крайней мере, мне помнится, что $\delta^4 (x)$ -- скаляр и $\sqrt{-g}$ там не нужен. Ну или я забыл определение $\delta^4 (x)$.

-- 22.05.2014, 20:47 --

SergeyGubanov вы правы про $\sqrt{-g}$ перед $\delta(t) \detla ...$. По крайней мере я в уме прикинул и расчеты совпали с тем, что вы говорили.

[SergeyGubanov]

EvilPhysicist в сообщении #866481 писал(а):

По крайней мере, мне помнится, что $\delta^4 (x)$ -- скаляр и $\sqrt{-g}$ там не нужен. Ну или я забыл определение $\delta^4 (x)$.

Ну как-то так

$$\int \delta_4(x) \, d_4 x = 1,$$

$$\int \frac{\delta_4(x)}{\sqrt{-g}} \sqrt{-g} \, d_4 x = 1$$

то есть скаляром является $\frac{\delta_4(x)}{\sqrt{-g}}$.

[g______d]

Time в сообщении #866398 писал(а):

По ходу, мне еще Вас поправлять и направлять приходится..
Вам требуется это решение взять не в центрально-симметричной системе координат с "радиус-вектором" $S$, а, например, в обычной ортонормированной системе с осями $t$ и $x$. Попробуйте "там" получить ноль в правой части. Естественно, речь не о пространстве-времени внутри конуса будущего (тут везде вполне ожидаемо ноль, так как соответствующая функция $h$-голоморфна всюду, кроме конуса), а непосредственно на нем самом.

Верно следующее утверждение: обобщённый оператор Даламбера, примененный к любой функции вида $f(t-x)+g(t+x)$, даст чистый ноль (во всём пространстве, в том числе и на конусе). Функции $f$ и $g$ могут быть какими угодно, в том числе и обобщенными; логарифмы точно подходят. Очевидно, ваша функция в таком виде представляется.

Сами проверите или помочь? Это простое упражнение на обобщённые производные.

[bayak]

Time в сообщении #866398 писал(а):

bayak в сообщении #866386 писал(а):

Можно пространство наблюдателя поместить на эволюционирующую поверхность $t=\tau$. Тогда особенность "кулоновского" потенциала будет раздувающейся 2-сферой. Так что, скорее всего, это не "кулоновский" потенциал, а "сингулярность Вселенной".

Мне Ваш вариант представляется достаточно хорошим. Потенциал в виде логарифма от "радиус-вектора" $S$, действительно можно рассматривать в качестве простейшей двумерной космологической модели Большого взрыва. К Вам тогда еще один вопрос: с одинаковой ли скоростью течет время в предложенной Вами модели вселенной? Я имею в виду на разных интервалах от сингулярности на конусе, проходящем через начало отсчета, до точки расположения наблюдателя $S$?

Меня скоро прибьют за саморекламу, но я просто вынужден процитировать самого себя

Цитата:

... а комплексный потенциал
$\begin{equation*} \bar{u}(x_1,\ldots,x_8) = \frac{1}{r^2 + ir^{*2}}, \end{equation*}$
где $r^2=XY+XZ+YZ+TX+TY+TZ$ и $r^{*2}= \varphi_{X}\varphi_{Y} + \varphi_{X}\varphi_{Z}+ \varphi_{Y}\varphi_{Z}+ \varphi_{T}\varphi_{X} + \varphi_{T}\varphi_{Y}+ \varphi_{T}\varphi_{Z}$, возможно, формирует потенциал начальной сингулярности Вселенной.

Как говорится - у дураков мысли сходятся, но тут я исходил не из уравнения Даламбера, а из уравнений типа Коши-Римана.

Что касается Вашего вопроса, то я бы попробовал исходить из того, что градиент потенциальной функции дуален векторному полю касательных векторов временной координаты.

[Time]

EvilPhysicist в сообщении #866481 писал(а):

Физической интерпретации у математических задач нет -- это рас.
Уравнения Даламбера и Лапласа (если вы используете эти термины как все физики) имеют разные размерности и решения у них разные -- это два.

Этих "рас, два" - вполне достаточно, что бы сделать вывод, какой вы специалист по СТО. И я его делаю..

EvilPhysicist в сообщении #866481 писал(а):

точно могу сказать, что нив одном учебнике по физике вы это не прочитаете. Потому что физика занимается природой, а природа 4-мерна. Впрочем, в учебниках по математике вы тоже это вряд ли найдете, потому что в математике нету такой вещи, как "двойная переменная".

Ну, да.. И на этом основании нужно выбросить все те физические интерпретации аналитических функций комплексной переменной, которые получены.. Вместе с конформными преобразованиями и потенциально-соленоидальными двумерными векторными полями.
Что же касается двойных чисел, то отсутствие в математике, якобы, двойной переменной не мешает многим физикам использовать линейные функции от нее, как демонстрации примеров переходов между инерциальными системами отсчета в двумерном пространстве-времени. Я всего лишь сделал следующий шаг и задался вопросом, а как в аналогичной ситуации могли бы выглядеть интерпретации уже не линейных функций от этих чисел. У Вас же, вместо работы мысли, априорно рожденная ругань. В конце концов в двумерном пространстве-времени, как и на двумерной евклидовой плоскости есть бесконечнопараметрическое множество конформных преобразований, каждое из которых соответствует h-аналитическим функциям от двойных чисел. Если на евклидовой плоскости аналогичные пары (конформные преобразования и аналитические функции от комплексных чисел) нашли свою физическую интерпретацию, причем именно в смысле конформных преобразований метрики данного пространства, то совершенно очевидно (кроме очень узких специалистов), что такая же интерпретация просто обязана быть в двумерном псевдоевклидовом пространстве-времени. И отсутствие сведений о такой интерпретации в учебниках может казаться естественной, только (сами догадайтесь, кому)..

g______d в сообщении #866520 писал(а):

Верно следующее утверждение: обобщённый оператор Даламбера, примененный к любой функции вида $f(t-x)+g(t+x)$, даст чистый ноль (во всём пространстве, в том числе и на конусе). Функции $f$ и $g$ могут быть какими угодно, в том числе и обобщенными; логарифмы точно подходят. Очевидно, ваша функция в таком виде представляется.

И Вас не смущает, что функция логарифм не определена при $S=0$?

g______d в сообщении #866520 писал(а):

Сами проверите или помочь? Это простое упражнение на обобщённые производные.

Попробуйте, пожалуйста.. Посмотрим, что получится..

bayak в сообщении #866582 писал(а):

Что касается Вашего вопроса, то я бы попробовал исходить из того, что градиент потенциальной функции дуален векторному полю касательных векторов временной координаты.

Ответ не понятен. Попробую задать вопрос по другому. Какой физический смысл (исходя из Вашего предложения по интерпретации) Вы видите у величины, равной градиенту от потенциала?

[g______d]

Time в сообщении #866771 писал(а):

И Вас не смущает, что функция логарифм не определена при $S=0$?

Не смущает. Если функция локально интегрируема, то значение обобщённой функции не зависит от множества меры ноль. По той же причине, по которой в трехмерном случае $\Delta (-1/|x|)=4\pi\delta(x)$, несмотря на то, что функция $1/|x|$ не определена в нуле. Ответ не зависит от того, каким значением мы её доопределяем в нуле.

Time в сообщении #866771 писал(а):

Попробуйте, пожалуйста.. Посмотрим, что получится..

Перейдем в систему координат $u=x-t$, $v=x+t$. В этих координатах функция $f(x-t)+g(x+t)$ будет суммой обобщённых функций $f(u)+g(v)$, обе локально интегрируемы. C точностью до множителя, оператор Даламбера будет иметь вид $\frac{\partial^2}{\partial u\,\partial v}$. Путь $\varphi(u,v)$ – пробная функция (бесконечно гладкая с компактным носителем). Значение оператора Даламбера от функции $f(u)$ – это обобщённая функция, действие которой на $\varphi$ имеет вид

$$ \int\limits_{\mathbb R^2}f(u)\frac{\partial^2}{\partial u\,\partial v}\varphi(u,v)\,du\,dv=\int\limits_{\mathbb R}f(u)\frac{\partial}{\partial u}\left\{\int\limits_{\mathbb R}\frac{\partial}{\partial v}\varphi(u,v)\,dv\right\}\,du. $$

Интеграл в фигурных скобках равен нулю для любой функции с компактным носителем. Точно так же можно сделать с $g(v)$. Следовательно, действие результата применения обобщённого оператора Даламбера к функции $f(u)+g(v)$ на любую пробную функцию равно нулю и соответствующая обобщённая функция равна нулю.

Причина этого ровно в том, что какой бы плохой ни была обобщенная функция, если она зависит только от $v$, то её обобщённая производная по $u$ всегда будет равна нулю.

В частности, оператор Даламбера, применённый к любым комбинациям $\delta(x-t)$ и $\delta(x+t)$ тоже будет давать чистый ноль.

[Time]

g______d
Таким образом, если в Ваших выкладках нет ошибки, то даже в ортонормированной системе координат двумерное уравнение Даламбера, описывающее центрально-симметричную сингулярность, в своей правой части содержит не дельта-функцию, и не ее распределение по изотропному конусу, а чистый ноль? И решением такого уравнения Даламбера, среди прочих $h$-голоморфных функций (вернее, их вещественных частей) будет центрально-симметричное решение связанное с логарифмом? Не ожидал, хотя чем черт не шутит.
Это стОит того, что бы переварить.. Я подумаю и посоветуюсь..
А как в этом случае будет с трех- и четырехмерным уравнениями Даламбера, в центрально-симметричных случаях имеющих, соответственно, решения:
$1/S$ и $1/S^2$?
Для таких функций в многомерных пространствах нет базиса, аналогичного по свойствам $u$ и $v$, имеющихся в двумерном псевдоевклиде. Значит, тут уже нет чистого нуля?
А вот в многомерных пространствах Бервальда-Моора, такие базисы всегда есть и, следуя Вашей логике, для них псевдофинслеровы обобщения уравнения Даламбера (это уравнения уже не второго, а $n$-го порядка) так же будут давать для $h$-голоморфных функций (вернее, их вещественных компонент) чистый ноль в правой части..
Это определенно нужно осмыслить.

[g______d]

Time в сообщении #866787 писал(а):

А как в этом случае будет с трех- и четырехмерным уравнениями Даламбера, в центрально-симметричных случаях имеющих, соответственно, решения:
$1/S$ и $1/S^2$?
Для таких функций в многомерных пространствах нет базиса, аналогичного по свойствам $u$ и $v$. Значит, тут уже нет чистого нуля?

Да, чистого нуля нет. Тем не менее, эти функции уже требуют доопределения; в отличие от двумерного случая, они не регулярны, у них слишком сильная особенность в окрестности нуля.

Один из вариантов доопределения описан в Гельфанде-Шилове, и в нём получается, что $\delta$-функция будет именно в точке, а не размазанная по конусу, как я ранее ошибочно утверждал.

Возможны и другие регуляризации, но я сомневаюсь, что в них что-то вне нуля поменяется, поскольку вне нуля регуляризация на самом деле вообще не нужна.

-- Чт, 22 май 2014 22:23:11 --

Time в сообщении #866787 писал(а):

И решением такого уравнения Даламбера, среди прочих $h$-голоморфных функций (вернее, их вещественных частей) будет центрально-симметричное решение связанное с логарифмом?

Ну да. Решением однородного уравнения Даламбера в обобщённых функциях будет сумма любых обобщённых функций от $x+t$ и $x-t$. Хоть разрывных, хоть $\delta$-функций, хоть почти чего угодно. А вот решением однородного уравнения Лапласа хоть в обычных функциях, хоть в обобщённых, будут только гармонические функции, автоматически бесконечно гладкие и т. д.

В этом одна из проблем понятия $h$-голоморфных функций; если мы искусственно не накладываем требований гладкости или аналитичности, то они могут быть очень плохими. А обычные гармонические не могут.

[Time]

g______d в сообщении #866791 писал(а):

Да, чистого нуля нет. Тем не менее, эти функции уже требуют доопределения; в отличие от двумерного случая, они не регулярны, у них слишком сильная особенность в окрестности нуля.

Забавно.. Получается и тут, двумерный случай явно выделен среди остальных псевдоевклидовых пространств.

g______d в сообщении #866791 писал(а):

Ну да. Решением однородного уравнения Даламбера в обобщённых функциях будет сумма любых обобщённых функций от $x+t$ и $x-t$. Хоть разрывных, хоть $\delta$-функций, хоть почти чего угодно. А вот решением однородного уравнения Лапласа хоть в обычных функциях, хоть в обобщённых, будут только гармонические функции, автоматически бесконечно гладкие и т. д.

В этом одна из проблем понятия $h$-голоморфных функций; если мы искусственно не накладываем требований гладкости или аналитичности, то они могут быть очень плохими. А обычные гармонические не могут.

Тут есть простой и одновременно эффективный выход: рассматривать, в первую очередь, только такие $h$-голоморфные функции двойной переменной, которые имеют прямое соответствие с гармоническими функциями комплексной переменной. Собственно, я так всегда и делаю. "Плохие" $h$-голоморфные функции, не имеющие соответствия ни с одной голоморфной функцией комплексной переменной можно, либо вообще не рассматривать, либо выделить их в отдельный класс и разбираться с ними отдельно. Я всегда говорил об этом своим товарищам, но они, формально следуя гиперболическим условиям Коши-Римана, с неохотой относились к такому шагу. Мне это не понятно..

[bayak]

Time в сообщении #866771 писал(а):

Какой физический смысл (исходя из Вашего предложения по интерпретации) Вы видите у величины, равной градиенту от потенциала?

Собственно, суть в том, что потенциал и есть локальное время, т.е. $u=t'$, и поэтому $du=dt'$, а следовательно скалярноое произведение $(dt,dt')$, где $|dt|=1$, можно интерпретировать как меру хода этого локального времени $t'$. Отсюда видно, что когда вектор градиента локального времени ложится на светоподобный конус, то локальное время растягивается до бесконечности.

[Time]

На счет не понятного для меня вашего скалярного произведения я ничего не спрашивал. Равно как и на счет светового конуса. Меня по прежнему интересует вопрос, как Вы интерпретируете модуль и направление вектора градиента от скалярного потенциала, связанного с логарифмической функцией. И что происходит с модулем этой величины с увеличением $S$ от нуля до бесконечности? Ответьте пожалуйста именно на эти вопросы..

[bayak]

Time в сообщении #866951 писал(а):

На счет не понятного для меня вашего скалярного произведения я ничего не спрашивал. Равно как и на счет светового конуса. Меня по прежнему интересует вопрос, как Вы интерпретируете модуль и направление вектора градиента от скалярного потенциала, связанного с логарифмической функцией. И что происходит с модулем этой величины с увеличением $S$ от нуля до бесконечности? Ответьте пожалуйста именно на эти вопросы..

Если Вас интересует моя интерпретация потенциала $u(x,t)=\ln\sqrt{x^2 - t^2}$, то у меня был такой вариант: $t'=u(x,t)$, откуда $dt'=\frac{t}{x^2 - t^2}dt - \frac{x}{x^2 - t^2}dx$, $(dt',dt)=\frac{t}{t^2 - x^2}$, а $|dt'|=\frac{1}{x^2 - t^2}$.

[npduel]

EvilPhysicist в сообщении #866481 писал(а):

...физика занимается природой, а природа 4-мерна.

А.Пуанкаре (1902):

Цитата:

Спрашивать, является ли евклидова геометрия истинной, не имеет смысла. Это было бы всё равно, что спрашивать, какие координаты вернее - декартовы или полярные... Та или иная геометрия может быть только удобной... Невозможно найти разумное основание для геометрического эмпиризма.