"Кулоновский" потенциал одиночного события

[Time]

g______d в сообщении #866337 писал(а):

С точностью до множителя, $\delta$-функция, сосредоточенная на световом конусе. Обобщённая функция, действие которой на пробную бесконечно гладкую функцию с компактным носителем равно интегралу этой пробной функции по световому конусу.

Понятно. Конкретного ответа мне на этот мой вопрос не добиться.
Тогда ответьте хотя бы на другой. Знаете ли Вы конкретные работы, в которых в качестве потенциалов рассматривается именно то решение, о котором говорится в стартовом топике? Не отсылайте к "множеству работ по обобщенным функциям", а дайте, пожалуйста, ссылку на автора, который рассматривал именно такие потенциалы.. Или скажите своими словами, что Вы по данному вопросу знаете..

[g______d]

Time в сообщении #866338 писал(а):

Конкретного ответа мне на этот мой вопрос не добиться.

В чём проблема? Вы знаете, что такое $\delta$-функция от гиперповерхности? Это вполне конкретная обобщенная функция, однозначно определённая, ровно так, как я сказал.

[Time]

g______d в сообщении #866339 писал(а):

В чём проблема? Вы знаете, что такое $\delta$-функция от гиперповерхности? Это вполне конкретная обобщенная функция, однозначно определённая, ровно так, как я сказал.

Не думаю, что тут нет подвохов, но Вам, как говорится, видней. Я уже понял, что функцию распределения на конусе Вы мне не распишите. Попрошу кого ни будь другого.
А что касается второго вопроса, касающегося попыток физической интерпретации?

[g______d]

Time в сообщении #866341 писал(а):

Я уже понял, что функцию распределения на конусе Вы мне не распишите.

Распределение равномерное, по отношению к лоренц-инвариантной мере, если вы этого хотите.

[Time]

g______d в сообщении #866344 писал(а):

Распределение равномерное, по отношению к лоренц-инвариантной мере, если вы этого хотите.

Да именно такого конкретного ответа я и хотел. Спасибо. Только не думаю, что Ваш ответ правильный. Проще всего убедиться в том, на сколько он подходит - можно на примере двумерного псевдоевклидова пространства-времени. Для него "моим" решением двумерного уравнения Даламбера с нулем в правой части в центрально-симметрической системе координат будет функция:
$f(S)=c_0+c_1ln(S)$. (1)
Вы можете показать в конкретных выкладках, что когда распределение дельта-функции на изотропном конусе двумерного пространства-времени "равномерно по отношению к Лоренц-инвариантной мере", при подстановке такого равномерного распределения в правую часть двумерного уравнения Даламбера, после решения получается именно функция (1)?

[g______d]

Time в сообщении #866345 писал(а):

$f(S)=c_0+c_1ln(S)$. (1)

Если к этой функции применить оператор Даламбера в смысле обобщенных функций, получится просто ноль и всё, никаких $\delta$-функций.

-- Ср, 21 май 2014 23:28:03 --

Я на самом деле выше фигню сказал. В Гельфанде-Шилове на той странице тоже $\delta$-функция в точке.

Тем не менее, если взять функцию $1/S^2$ и применить обобщенный оператор Даламбера, получится обобщенная функция, сосредоточенная на световом конусе и лоренц-инвариантная (иначе быть не может, если мы применяем лоренц-инвариантный оператор к лоренц-инвариантной функции). Таким образом, это либо равномерно распределённая $\delta$-функция, либо просто ноль. Теперь я не исключаю последнего варианта.

UPD: я забыл, что $\{(0,0,0,0)\}$ тоже является лоренц-инвариантным множеством. Поэтому возможен ещё вариант, когда функция сосредоточена в нуле. И он наиболее вероятный, см. ниже.

[Munin]

g______d в сообщении #866344 писал(а):

Распределение равномерное, по отношению к лоренц-инвариантной мере, если вы этого хотите.

Да написали бы в явном виде формулу, может быть, он бы и заткнулся.

[g______d]

Проблема, кстати, вот в чём: функция $1/S^2$ не является локально интегрируемой, поэтому её нужно регуляризовывать. Одна из таких регуляризаций и описана у Гельфанда и Шилова по моей ссылке, и для неё получается $\delta$-функция, сосредоточенная именно в нуле, а не на световом конусе. Множество из одного нуля является лоренц-инвариантным, противоречий нет.

UPD: Функция $1/S^2$ является регулярной везде, кроме окрестности нуля; на остальной части светового конуса она тоже обращается в бесконечность, но остаётся интегрируемой. По-видимому, из этого следует, что любые её регуляризации будут отличаться только в нуле, и оператор Даламбера, применённый к любой её регуляризации, даст функцию, сосредоточенную в нуле.

[bayak]

Time в сообщении #865912 писал(а):

По логике, пространственно-временное поле с таким потенциалом должно быть полем одиночной особенности, имеющей сингулярность на изотропном конусе, проходящем через начало координат и может интерпретироваться как "кулоновский" потенциал одиночного сингулярного события, произошедшего в точке с координатами (0,0,0,0). Кто ни будь сталкивался с таким решением уравнения Даламбера и его физическими интерпретациями?

Можно пространство наблюдателя поместить на эволюционирующую поверхность $t=\tau$. Тогда особенность "кулоновского" потенциала будет раздувающейся 2-сферой. Так что, скорее всего, это не "кулоновский" потенциал, а "сингулярность Вселенной".

[Time]

g______d в сообщении #866348 писал(а):

Если к этой функции применить оператор Даламбера в смысле обобщенных функций, получится просто ноль и всё, никаких $\delta$-функций.

По ходу, мне еще Вас поправлять и направлять приходится..
Вам требуется это решение взять не в центрально-симметричной системе координат с "радиус-вектором" $S$, а, например, в обычной ортонормированной системе с осями $t$ и $x$. Попробуйте "там" получить ноль в правой части. Естественно, речь не о пространстве-времени внутри конуса будущего (тут везде вполне ожидаемо ноль, так как соответствующая функция $h$-голоморфна всюду, кроме конуса), а непосредственно на нем самом.

-- Чт май 22, 2014 12:33:16 --

Munin в сообщении #866369 писал(а):

Да написали бы в явном виде формулу, может быть, он бы и заткнулся.

Хочу спросить модераторов, на сколько подобные обороты считаются приемлемыми для форума? Я на счет предложения и формы преподнесения термина "заткнуться"..

-- Чт май 22, 2014 12:35:48 --

g______d в сообщении #866348 писал(а):

Таким образом, это либо равномерно распределённая $\delta$-функция, либо просто ноль. Теперь я не исключаю последнего варианта.

Мне такая работа мысли на много больше нравится, чем отсылка к учебникам. Думаю, с нулем Вы так же дали не правильный ответ..

-- Чт май 22, 2014 12:44:29 --

bayak в сообщении #866386 писал(а):

Можно пространство наблюдателя поместить на эволюционирующую поверхность $t=\tau$. Тогда особенность "кулоновского" потенциала будет раздувающейся 2-сферой. Так что, скорее всего, это не "кулоновский" потенциал, а "сингулярность Вселенной".

Мне Ваш вариант представляется достаточно хорошим. Потенциал в виде логарифма от "радиус-вектора" $S$, действительно можно рассматривать в качестве простейшей двумерной космологической модели Большого взрыва. К Вам тогда еще один вопрос: с одинаковой ли скоростью течет время в предложенной Вами модели вселенной? Я имею в виду на разных интервалах от сингулярности на конусе, проходящем через начало отсчета, до точки расположения наблюдателя $S$?

[SergeyGubanov]

Time в сообщении #866330 писал(а):

(И почему бы на основании этого, такое решение так же не называть фундаментальным?)

Так можно поступить с любым решением. Пусть $G(t, x, y, z)$ какое-то решение уравнения Д'Аламбера и $Q(t, x, y, z)$ - произвольная функция, тогда функция $\Phi(t, x, y, z)$

$$ \Phi(t, x, y, z) = \int G(t - t', x - x', y - y', z - z') \, Q(t', x', y', z') \, dt' \, dx' \, dy' \, dz' \eqno(1) $$

тоже будет решением уравнения Д'Аламбера. Чем одно решение $G(t, x, y, z)$ "фундаментальнее" какого-то другого $\tilde G(t, x, y, z)$?

Time в сообщении #866330 писал(а):

известны ли Вам примеры попыток физической интерпретации

Мне не известны.

g______d в сообщении #866337 писал(а):

равно интегралу этой пробной функции по световому конусу

А вот кстати, вне зависимости от текущей темы, есть следующий интересный момент связанный с интегрированием по световому конусу. Оказывается любой интеграл по световому конусу равен нулю . Дело в следующем. Вот, значит, есть у нас пространство Минковского с метрикой

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \eqno(2) $$

мы выделяем в нем трёхмерную гиперповерхность $M_3$:

$$ ct = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \eqno(3) $$

На $M_3$ индуцируется трёхмерная метрика $\gamma_{ij}$:

$$ - \gamma_{ij} \, dx^i dx^j = \left( d \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \right)^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \eqno(4) $$

И о ужас, детерминант этой трёхмерной метрики оказывается всюду равным нулю! Соответственно, мера интегрирования всюду нулевая

$$ \sqrt{\gamma} = 0 \eqno(5) $$

Трёхмерный объём светового конуса равен нулю, соответственно любой трёхмерный интеграл по световому конусу тоже равен нулю. А сам световой конус, не знаю как это и сказать-то, как бы есть некое двумерное образование, а не трёхмерное: все расстояния по "третьему" измерению равны нулю.

[Time]

SergeyGubanov в сообщении #866406 писал(а):

Так можно поступить с любым решением. Пусть $G(t, x, y, z)$ какое-то решение уравнения Д'Аламбера и $Q(t, x, y, z)$ - произвольная функция, тогда функция $\Phi(t, x, y, z)$

$$ \Phi(t, x, y, z) = \int G(t - t', x - x', y - y', z - z') \, Q(t', x', y', z') \, dt' \, dx' \, dy' \, dz' \eqno(1) $$

тоже будет решением уравнения Д'Аламбера. Чем одно решение $G(t, x, y, z)$ "фундаментальнее" какого-то другого $\tilde G(t, x, y, z)$?

На мой взгляд, ничем особенно не лучше. Просто есть соображения удобства и исторических традиций. В евклидовых пространствах разных размерностей с решениями уравнений Лапласа все обстоит ведь точно так же. Однако, решения связанные с кулоновскими потенциалами одиночных источников (зарядов) принято выделять особым образом и именно их принято называть фундаментальными и строить остальные решения, рассматривая одиночные и распределенные источники (заряды) как основу для получения остального множества решений. Именно поэтому я пытался говорить g______d, что с равным успехом для уравнения Даламбера фундаментальным решением можно называть не то решение, на которое он ссылался в связи с дельта-функциями в точке, а то, которое приводит к тем же самым функциям, что имеют кулоновские потенциалы в евклидовых пространствах. Меня не поняли и послали штудировать учебники..

SergeyGubanov в сообщении #866406 писал(а):

Мне не известны.

Спасибо за искренний ответ. А то некоторые ссылались на абстрактное множество работ, в которых уже все и вся давно построено и физически проинтерпретировано.

SergeyGubanov в сообщении #866406 писал(а):

А вот кстати, вне зависимости от текущей темы, есть следующий интересный момент связанный с интегрированием по световому конусу. Оказывается любой интеграл по световому конусу равен нулю

Похожий интересный момент есть и в изотропных подпространствах с метрикой Бервальда-Моора. Однако там есть возможность введения чего-то вроде "внутренней" метрики, расстояния в пространстве которой с точки зрения внешнего наблюдателя на единицу большей размерности - все нулевые. Это внутренняя метрика оказывается той же метрикой Бервальда-Моора, но на единицу меньшей размерности. Кстати, псевдоевклидова плоскость, кроме как является псевдоримановым пространством одновременно является и частным случаем двумерного пространства Бервальда-Моора. Поэтому на световом конусе этого псевдоевклидова пространства можно ввести "внутреннюю" метрику одномерного пространства Бервальда-Моора, то есть, вещественной прямой.
В отношении световых конусов многомерных псевдоевклидовых пространств сказать ничего не могу, я ими практически не занимался..

[EvilPhysicist]

Time в сообщении #866307 писал(а):

Это хорошо, когда Вы знаете, что конкретно стоИт в правой части. А если не знаете?

Если бы вы открывали учебники по матфизике, то знали бы, что такое функция Грина и как она разрешает данный вопрос.

SergeyGubanov в сообщении #866310 писал(а):

Вы забыли разделить правую часть на меру $\sqrt{-g}$, которая в сферических координатах не равна единице:

Нет: $\quare f = \delta^n(x)$, $\square=\cfrac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu ( \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \partial_\nu )$.

Time в сообщении #866333 писал(а):

Сами по себе эти решения в общем-то ерунда

(Оффтоп)

Не зря я сюда несколько месяцев не заходил.

[Time]

EvilPhysicist,
от Вас можно надеяться услышать не просто отсылки к учебникам, а в собственном изложении физическую интерпретацию решений уравнений Даламбера того вида, что соответствуют кулоновским потенциалам, являющимся решениями уравнения Лапласа для одиночных точечных источников? В евклидовых пространствах я интерпретацию знаю, поэтому об этом не надо. Я бы хотел услышать об интерпретации аналогичных решений в псевдоевклидовых пространствах.. Ну, или если это, вдруг, не можете, то может хотя бы дадите физическую интерпретацию тех функций Грина, что стоят за дельта-функциями сосредоточенными в точке? Только, пожалуйста, максимально конкретно..

[Munin]

Time
От вас можно надеяться, что вы когда-нибудь откроете учебники?