2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26  След.
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение15.05.2018, 15:00 
Аватара пользователя


18/05/14
215
Москва
Уважаемый mihaild, Вы не разобрали пример про ёжика :) А там есть почти все ответы на Ваши вопросы. Напомню:
dmitgu в сообщении #1311009 писал(а):
Пример - язык из слов - грамматически правильные тексты из русских букв, пробелов и знаков пунктуации. Рассмотрим рассказ:

"Ёжик отправился в ночной блаблабла лес на охоту. <Дальше продолжение текста>". Данный текст будет отвергнут на практике как не соответствующий грамматике на первом же предложении. Потому что "внутреннее слово" с набором символов "блаблабла" не является грамматически правильным. А текст (любой), содержащий грамматически некорректный отрезок - тоже не является грамматически корректным. То есть, мы имеем практический пример языка с "исключающими внутренними словами".

Теперь - про Ваши вопросы.
mihaild в сообщении #1311024 писал(а):
Непонятно, о каком "соответствии" речь. Мы вводим понятие "данная МТ распознает данный язык". И в процессе этого опеределения нам нужен символ не из языка. Ничего страшного, возьмем какой-нибудь, и докажем, что все интересные нам утверждения не зависят от того, какой именно символ выбрать (это в общем-то очевидно).

Совсем не очевидно. В примере с ёжиком Вам придётся ставить два символа # - в конце текста и сразу после "блаблабла"?
Но тогда Вы испортите слово - ведь в нём не должно быть символов #. А способ выделения слова позволяет сразу его отвергнуть после "блаблабла". То есть - у нас есть слово в самом начале другого слова и читать другое слово не требуется и даже - такое чтение было бы нарушением распознания языка, так как оно игнорирует уже обнаруженное слово.
mihaild в сообщении #1311024 писал(а):
dmitgu в сообщении #1311009
писал(а):
Так как сама теория состоит из утверждений, то $2+2$ не могут дать $4$

mihaild: Первый раз вижу формулировку вида "(терм) не может дать (другой терм)", и не могу представить, что бы она могла означать.

Да нет же ) Я же пишу "сама теория состоит из утверждений". То есть отдельно термы в теории не присутствуют. Нет отдельно терма $2+2$ внутри теории Пеано - он обязательно внутри некоторого утверждения. То же самое и про терм $4$. Поэтому возникает понятие "представляет" про алгоритм. Я же это не выдумываю - Вы спорите тут не со мной, а с формализмом математической логики ))
mihaild в сообщении #1311024 писал(а):
Пусть $f$ и $g$ - слова длины $n$ и $m$ в алфавите $A$, $m \leqslant n$. Слово $g$ называется подсловом (или подстрокой) слова $f$, если существует такое $k \leqslant n - m$, что $f(k) = g(1), f(k + 1) = g(2), \ldots, f(k + m - 1) = g(m)$.
Вы про это?

Да я про это - при этом $k=1$ в примере с ёжиком.
mihaild в сообщении #1311024 писал(а):
Понятие "принадлежность чему-то там противоречит" не определено.

Я пояснял, что необходимо для избежания противоречия в принадлежности языку, но тогда Вы решили разобраться с ранее написанным и не дочитали вот это:
dmitgu в сообщении #1305422 писал(а):
В разбираемом нами случае «внутреннее слово» будет отвергнуто при его проверке на принадлежность языку сразу, как только способ выделения слова обнаружит «внутреннее слово» внутри «слова-контейнера». Из этого следует, что слово-контейнер тоже в данном случае не принадлежит языку, потому что до его проверки «целиком» дело не доходит, и оно отвергается фактически вместе со своим «внутренним словом». Если бы было иначе, то в определении языка имелось бы противоречие между проверками для «внутреннего слова» и для «слова-контейнера».

В примере с ёжиком у нас грамматически неправильное первое предложение должно означать грамматически неправильный текст в целом. Без необходимости его чтения. Так и есть. Поэтому тут нет противоречий.

И нигде в теперешних учебниках вы ничего не найдёте про "внутренние слова" - тут в формализме логическая "дыра", при том, что на практике внутренние слова есть и формализм необходимо расширить и для рассмотрения таких (с внутренними словами) случаев - иначе он даже огромной практике в том же программировании не соответствует. И я показал выше пример проявления "дыры" - символ # в двух местах, чтобы выделить оба слова (включая внутреннее) - явно ошибочная идея. А другой (адекватной) методы в теории алгоритмов ведь пока что нет. Или я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение15.05.2018, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2102
Москва
dmitgu в сообщении #1312502 писал(а):
Уважаемый mihaild, Вы не разобрали пример про ёжика
А что там разбирать, никаких определений или формальных утверждений вы не сформулировали.
Примеры могут только дополнять определения, но не заменять их.

dmitgu в сообщении #1312502 писал(а):
А способ выделения слова позволяет сразу его отвергнуть после "блаблабла".

mihaild в сообщении #1308833 писал(а):
Понятие "способ выделения слова" не определено.

Кроме того, читайте внимательнее.
mihaild в сообщении #1311024 писал(а):
все интересные нам утверждения не зависят от того, какой именно символ выбрать
Это значит, что неважно, взять $\#$ или $\star$ - истинность интересных нам утверждений от этого не поменяется.
dmitgu в сообщении #1312502 писал(а):
такое чтение было бы нарушением распознания языка
Понятие "нарушения распознания языка" (как и понятие "распознание языка") не определено.
dmitgu в сообщении #1312502 писал(а):
Поэтому возникает понятие "представляет" про алгоритм. Я же это не выдумываю - Вы спорите тут не со мной, а с формализмом математической логики
Откуда тут внезапно взялись алгоритмы, вроде же всего лишь об исчислении предикатов говорили?
Ну и в "формализме математической логике" не определяется понятие вида "терм не может дать терм".
(кстати, фраза "$2 + 2$ не могут дать $4$" даже просто грамматически не согласовано - к чему относится глагол "могут"?)
Утверждения вида "$2 + 2$ не могут дать $4$" в стандартных книгах не встречаются, и я не понимаю, что они могли бы означать.

Теория в сигнатуре - это множество замкнутых формул в этой сигнатуре. Что значит "терм внутри теории" - тоже непонятно.
Формулы отличаются от термов (даже просто синтаксически), да. Вы про это?

dmitgu в сообщении #1312502 писал(а):
И я показал выше пример проявления "дыры" - символ # в двух местах, чтобы выделить оба слова (включая внутреннее) - явно ошибочная идея.
Нет, вы пока что ничего не показали.

Давайте вы либо будете стараться разобраться в стандартных определениях, либо будете предлагать свои, но на хотя бы минимальном уровне строгости. И сначала определения (вида "$X$ - это $Y$, такой что $Z$"), потом (опционально) примеры. Иначе мы так никогда никуда и не уедем.

Пока что даже непонятно, какое именно определение вам не нравится - языка, машины Тьюринга, понятия "машина Тьюринга распознает язык", еще какое-то?

(и предлагаю запретить использование здесь словосочетаний "формализм чего-то", они кажется тоже добавляют путаницы)

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение17.05.2018, 12:47 
Аватара пользователя


18/05/14
215
Москва
mihaild в сообщении #1312508 писал(а):
Откуда тут внезапно взялись алгоритмы, вроде же всего лишь об исчислении предикатов говорили?

Вообще-то я говорил про теорию Пеано.

А «теория представляет алгоритмы» возникло от того, что теория состоит из утверждений (доказанных). И алгоритм «представлен» утверждениями, которые равны либо формуле с подставленными «правильными» значениями («правильными» с точки зрения результата работы данного алгоритма – типа $2+2 = 4$), либо отрицанию этой же формулы - при подставленных неправильных значениях (типа $\neg (2+2 = 5)$ ).

Но Бог с ним – с термином «представлен». Для языка в теории алгоритмов можно не приспосабливать термин «представлен», а использовать, видимо «алгоритм распознаёт язык». Но так же, как в теории Пеано доказывается, что данный алгоритм «представлен» данной логической формулой, так же и в теории алгоритмов необходимо аналогичное доказательство того, что данный алгоритм «распознаёт» данный язык. А вовсе не уповать на то, что если определён протокол работы алгоритма, то этот алгоритм обязательно будет «распознавать» любой обсуждаемый язык. :)
mihaild писал(а):
Утверждения вида "$2+2$ не могут дать $4$" в стандартных книгах не встречаются

Да, я слишком «сократил». Хотя, если быть точным, то я писал «Так как сама теория состоит из утверждений, то $2+2$ не могут дать $4$». Поясняю:

$2+2$ не является утверждением, поэтому отдельно $2+2$ внутри теории нет – а может быть только внутри некоторых утверждений. А раз нет «отдельно» ни $2+2$, ни $4$, то и «отдельно» они не могут следовать друг из друга. А утверждения – могут. Например, доказано утверждение вида:

$A \Rightarrow (A \Rightarrow B)$ из него следует (оно «даёт») утверждение $(A \Rightarrow B)$.
mihaild писал(а):
Что значит "терм внутри теории" - тоже непонятно

Мне это тоже непонятно )) Я писал «Нет отдельно терма $2+2$ внутри теории Пеано - он обязательно внутри некоторого утверждения».

То есть – нет такого "терм внутри теории", я и написал, что «не понятно» в рамках теории Пеано )) А примеры утверждений (отдельных) внутри теории и термов внутри утверждений я дал.
mihaild писал(а):
Формулы отличаются от термов (даже просто синтаксически), да. Вы про это?

Именно. И о том, что теория состоит из отдельных утверждений (они являются «словами» теории как языка) – но не из отдельных термов.
mihaild в сообщении #1312508 писал(а):
все интересные нам утверждения не зависят от того, какой именно символ выбрать Это значит, что неважно, взять $\#$ или $\star$ - истинность интересных нам утверждений от этого не поменяется.

Нет, зависят – Вы сами писали, что символ не должен быть одним из символов слова. И в разбираемом мной примере этот символ «влезал» внутрь слова, так как внутри одного слова находилось другое. И совершенно неважно, какой именно символ туда «влезает» - если он не должен быть внутри слова. Получается, что происходит подмена одного слова другим и с чего тогда будет правильное распознание? У нас на ленте получается слово не из символов языка, да к тому же оно «обрывается посредине» тем символом, который означает конец «входа».
mihaild писал(а):
Примеры могут только дополнять определения, но не заменять их.

Не согласен. Пример может быть определением конкретного языка. Так и есть в моём примере с ёжиком. Да, это не общее определение – так тем проще с ним работать. А после понимания конкретного примера можно переходить к обобщениям и более абстрактным определениям. Или не понятно, что такое «грамматически корректные тексты»? Так я могу упростить это до такого уровня, например:

Если в последовательности упорядоченных символов X встречается строка $Y=\text{«блаблабла»}$, то для языка $G$ (условно назовём его «языком грамматически правильных текстов») словом является $Y$ и это слово не принадлежит языку $G$, равно как не принадлежит языку $G$ и последовательность $X$, независимо от остального (помимо $Y$) своего содержимого.

Строка $Y$ называется «исключающим внутренним словом».

Слово $Y$ отвергается вместе с содержащим его словом $X$ (если это слово! Поясню ниже) в силу «способа выделения слова» (поясню ниже) $Y$, который состоит в обнаружении слова $Y$ внутри $X$. Разумеется, способ мог бы быть и более сложным – в духе регулярных выражений, например, но это был бы другой язык.

То есть, не принадлежность языку $G$ слова означает наличие внутри данного слова подстроки $Y=\text{«блаблабла»}$. При этом данная подстрока $Y$ тоже является словом, не принадлежащим языку $G$.

А это означает, что обнаружение данной подстроки $Y=\text{«блаблабла»}$ логически эквивалентно непринадлежности всей строки языку $G$ как слова.

А это означает, что время работы алгоритма, который распознаёт данный язык должно зависеть именно от времени обнаружения подстроки $Y=\text{«блаблабла»}$, а не от размера слова, которое эту подстроку содержит. Иначе время работы определяется качеством реализации алгоритма, а не природой языка. Мы об этом уже говорили при обсуждении «очистки ленты» при завершении работы алгоритма.

Разница со случаем «нет выделения внутреннего слова» в том, что в «неделимом» слове должен быть обнаружен его конец. Сначала или после этого идёт анализ на наличие $ \text{«блаблабла»}$ - не важно.

Ведь язык - множество конечных слов. Поэтому без «внутреннего слова» необходимо наличие конца всей последовательности символов. Это и будет «способ выделения слова». А при наличии «внутреннего слова» достаточно найти только его. И неважно – внутри чего это «внутреннее слово». Если внутри слова (конечного) – то и оно отвергнуто. Если внутри не-слова (бесконечного) – тогда «внутреннее слово» не «внутреннее», а «само по себе». Такой «способ выделения слова».

Отсюда вывод для конкретного примера:

Алгоритм $A_G$ распознаёт язык $G$, если считывающая головка после чтения слова $Y$ прекращает дальнейшее чтение «входных данных» на ленте и выдаёт $0$ (ноль) – «слово не принадлежит языку $G$».

То есть, конец слова, не принадлежащего языку $G$, обнаруживается на «внутреннем слове». Вот в чём отличие от языка, где внутри слов нет «внутренних слов».

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение17.05.2018, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2102
Москва
dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
теория состоит из утверждений (доказанных)
Нет, теория состоит из аксиом (формул). Например, $S(0) \cdot 0 = 0$ доказывается в арифметике, но ей не принадлежит (не является аксиомой).
dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
как в теории Пеано доказывается, что данный алгоритм «представлен» данной логической формулой
В арифметике нет понятия "алгоритм". Для любой МТ можно записать $\Delta_0$ формулу арифметики вида $P(x, y, n)$, означающую, что наша МТ на входе $x$ останавливается с выходом $y$ за не более чем $n$ шагов. Но само по себе это утверждение (про возможность записать формулу) формулируется уже не в арифметике. И доказывается, соответственно, тоже не в ней.
dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
теории алгоритмов необходимо аналогичное доказательство того, что данный алгоритм «распознаёт» данный язык
Кстати, использование одновременно слов "теория Пеано" и "теория алгоритмов" может запутать - это принципиально разные объекты. "Теория Пеано" (арифметика Пеано) - это формальная теория, т.е. набор строк. "Теория алгоритмов" - это раздел математики, никакому формальному объекту не соответствующий.

dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
$A \Rightarrow (A \Rightarrow B)$ из него следует (оно «даёт») утверждение $(A \Rightarrow B)$.
Ну давайте использовать тогда общепринятый язык. Есть слова "следует" и "выводится", применимые к утверждениям, давайте пользоваться ими. И не вводить почем зря синонимы для них (особенно не вводить неявно).

dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
отдельно $2+2$ внутри теории нет
Что вообще значит "отдельно внутри теории"?
Формально, теория - это множество слов определенного вида в определенном алфавите. Верно ли, что "слово $x$ есть отдельно внутри теории $T$" означает "$x \in T$"? Если да, то давайте так и говорить (зачем тут слова "отдельно" и "внутри" в таком случае - непонятно).

dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
примеры утверждений (отдельных) внутри теории и термов внутри утверждений
Давайте еще запретим слово "внутри".
Теория содержит утверждения - как элементы множества. Т.е. $a + 0 = a$ принадлежит PA.
Утверждения не содержат термы как свои элементы. Терм $a + 0$ является подстрокой утверждения $a + 0 = a$.
Если оба этих отношения - "быть элементом" и "быть подстрокой" - означать одним словом "внутри", то мы запутаемся (еще больше).

dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
Получается, что происходит подмена одного слова другим и с чего тогда будет правильное распознание?
Потому что нам "неинтересны" утверждения "вот ровно эта МТ, ровно с такими символами, распознает этот язык". Когда нам приносят язык, нам интересно, можно ли его распознать какой-нибудь МТ (и можно ли это сделать "быстро").
Если сильно хочется, можно для каждого языка $L$ и символа $c$ не из алфавита этого языка ввести определение "МТ $c$-распознает $L$ за такое-то время". И доказать, что если для какого-то символа $c$ существует МТ, $c$-распознающая $L$ за время $f$, то для любого $c'$ существует МТ, $c'$-распознающая $L$ за время $f$.
Прочитайте это (и предыдущие сообщения) по этой теме внимательно. Это всё настолько очевидные технические детали, что у меня возникает сильное подозрение, что вы имеете в виду не то, что формулируете.

dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
Если в последовательности упорядоченных символов X встречается строка $Y=\text{«блаблабла»}$, то для языка $G$ (условно назовём его «языком грамматически правильных текстов») словом является $Y$ и это слово не принадлежит языку $G$, равно как не принадлежит языку $G$ и последовательность $X$, независимо от остального (помимо $Y$) своего содержимого.
Что значит "слово $Y$ является словом для языка"?
Ну и непонятно, в каком порядке у вас тут идут кванторы. Давайте попробуем подставить: $X = \text{блаблабла}$, $G = [\text{а-я}]^*$ (все конечные последовательности русских букв).
Получим: Если в $X$ встречается строка $Y$ [да, встречается], то для языка $G$ словом является $Y$ и это слово не принадлежит языку $G$ и ... Получаем, что $Y \notin G$, что неправда.

Вы, возможно, имеете в виду что-то такое: "слово $Y$ называется исключающим внутренним словом словом для языка $G$, если для любого слова $X \in G$ слово $Y$ не является подстрокой $X$"?
Ну и "давайте для слова $Y$ рассмотрим язык $G_Y$, содержащий все слова, для которых $Y$ не является подстрокой".
dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
А это означает, что время работы алгоритма, который распознаёт данный язык должно зависеть именно от времени обнаружения подстроки $Y=\text{«блаблабла»}$, а не от размера слова, которое эту подстроку содержит.
Время работы алгоритма "никому ничего не должно". Для одного и того же языка существуют сколь угодно долго работающие алгоритмы.
dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
Иначе время работы определяется качеством реализации алгоритма, а не природой языка
Время работы алгоритма - это, внезапно, свойство алгоритма, а не языка.
Свойством языка может быть существование распознающего его алгоритма, работающего определенное время.
И тут возникает вопрос - на разных словах языка алгоритм может работать разное время, что тогда значит "алгоритм распознает язык за такое-то время"? Для каждого слова время работы алгоритма на этом слове - число. Давайте каждому слову припишем какое-то число и потребуем, чтобы алгоритм на этом слове работал не дольше этого числа. Но каждому слову приписывать число руками неудобно, давайте возьмем какую-нибудь простую характеристику слова и будем вычислять ограничение на время работы в зависимости от этой характеристики. Чтобы такое можно взять? Можно конечно скажем возвести число разных символов на четных позициях в степень числа разных символов на нечетных позициях, но из этого как-то ничего интересного не получается. Поэтому давайте возьмем длину слова - это и понятно, и отвечает практическому использованию - работать с бОльшими объектами сложнее.

dmitgu в сообщении #1312857 писал(а):
Алгоритм $A_G$ распознаёт язык $G$, если считывающая головка после чтения слова $Y$ прекращает дальнейшее чтение «входных данных» на ленте и выдаёт $0$ (ноль) – «слово не принадлежит языку $G$».
Это определение работает только для языков вида $G_Y$.
Кроме того, это явно неполное определение: например, оно вообще ничего не говорит, что делает МТ на словах, подсловом которых $Y$ не является.
(еще не определено, что значит "считывающая головка после чтения слова $Y$", но это пока можно оставить, хотя возможно дальше и понадобится)

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение19.05.2018, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8346
mihaild в сообщении #1312881 писал(а):
Нет, теория состоит из аксиом (формул). Например, $S(0) \cdot 0 = 0$ доказывается в арифметике, но ей не принадлежит (не является аксиомой).
Не могли бы Вы пояснить по терминологии? Насколько я понимаю, слова, определяющие "теорию" как "множество формул", например, вот эти:
mihaild в сообщении #1312508 писал(а):
Теория в сигнатуре - это множество замкнутых формул в этой сигнатуре.

обычно подразумевают множество не только аксиом, а всех теорем данной теории. В этом смысле, вроде бы, можно даже говорить о "неаксиоматизируемых" теориях. Разумеется, любая аксиоматическая теория (типа арифметики Пеано) однозначно определяется языком и аксиоматикой. Но при этом она всё равно является множеством не только аксиом, а всех формул, выводимых из этой аксиоматики.

Вы используете какое-то иное определение термина "теория"?

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение19.05.2018, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2102
Москва
epros в сообщении #1313402 писал(а):
Вы используете какое-то иное определение термина "теория"?
Верещагин, Шень в Языки и исчисления, стр. 142 писал(а):
Пусть $\Gamma$ - произвольное множество замкнутых формул рассматриваемой нами сигнатуры $\sigma$. (Такие множества называются теориями в сигнатуре $\sigma$)
(курсив авторский)
Беклемишев в Введение в математическую логику, стр. 42 писал(а):
Теорией сигнатуры $\Sigma$ называем произвольное множество $T$ замкнутых формул языка $\mathbf{L}_\Sigma$.

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение19.05.2018, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8346
КВерещагину, Шеню и Беклемишеву нет вопросов, они не пишут, что теория состоит из аксиом, а теоремы ей не принадлежат. Вопрос к Вашему утверждению, что $S(0) \cdot 0 = 0$ не принадлежит арифметике. Это терминологическое недоразумение?

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение19.05.2018, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2102
Москва
У нас есть множество строк в арифметической сигнатуре - аксиомы арифметики Пеано, обозначим это множество $PA$. И у нас есть строка $x = <<S(0) \cdot 0 = 0>>$. При этом по определению $PA$ имеем $x \notin PA$. Именно это я и имел в виду под "$S(0) \cdot 0 = 0$ не принадлежит арифметике".

Авторы пишут, что теория - это произвольное множество замкнутых формул. В том числе и незамкнутое относительно выводимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение19.05.2018, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8346
Хм. Это очень странная интерпретация. Я понял слова упомянутых авторов про "произвольное множество замкнутых формул" таким образом, что понятие "теории" в общем случае определяется независимо ни от какой аксиоматики и выводимости из неё. Но при этом оно может быть и замкнутым относительно выводимости из некой аксиоматики, в таком случае мы имеем то, что называется "аксиоматической теорией". В такой (моей) интерпретации теория всё же является множеством теорем, а не аксиом.

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение19.05.2018, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2102
Москва
Формулировка "что-то там принадлежит теории" сама по себе довольно странная.
Если говорить совсем формально, то символ $S$ не принадлежит ни арифметической сигнатуре, потому что сигнатура - это кортеж из трех элементов, ни даже одному из элементов этого кортежа - потому что внутри кортежа к символам приписана валентность.
(упорядоченное поле - это как морская свинка: и не поле, и не упорядоченное)

Я правильно понимаю, что в вашей интерпретации $PA$ - это множество строк, являющихся теоремами арифметики? Для того, что обычно называют "аксиомами арифметики", у вас какое-то обозначение есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение19.05.2018, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8346
mihaild в сообщении #1313502 писал(а):
Формулировка "что-то там принадлежит теории" сама по себе довольно странная.
Ну почему же? Раз теория - это множество чего-то там, то это что-то там этому множеству принадлежит.

mihaild в сообщении #1313502 писал(а):
Я правильно понимаю, что в вашей интерпретации $PA$ - это множество строк, являющихся теоремами арифметики?
Да.

mihaild в сообщении #1313502 писал(а):
Для того, что обычно называют "аксиомами арифметики", у вас какое-то обозначение есть?
Особых обозначений нет. Я бы это так и назвал - множеством аксиом. Понятно, что следуя определению понятия "теория", это множество тоже можно считать какой-то теорией. Вот только я бы не назвал эту теорию арифметикой, ибо арифметика без правил вывода - это странно.

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение20.05.2018, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2102
Москва
epros в сообщении #1313515 писал(а):
Ну почему же?
Потому что избыточна - уже есть понятия "что-то выводится в теории" и "что-то является аксиомой теории".
Кстати, получается что у вас "аксиомы $PA$" не является частным случаем конструкции "аксиомы теории $T$" (аксиомы теории по множеству ее теорем не восстанавливаются).

И в любом случае - есть хоть какой-то повод считать этот вопрос важным?
Я в этой теме уже стараюсь по возможности максимально фиксировать даже мелкие детали (иначе надежды куда-то когда-то дойти нет совсем). При этом как именно их фиксировать - неважно. Я никогда раньше не слышал, чтобы от теорий требовали замкнутости, но вполне готов зафиксировать и такое определение теории (и получающееся определение $PA$) - от этого вряд ли что-то содержательное изменится.

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение20.05.2018, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8346
mihaild в сообщении #1313545 писал(а):
Потому что избыточна - уже есть понятия "что-то выводится в теории" и "что-то является аксиомой теории".
Аксиоматика не является чем-то, однозначно определённым для теории, ибо одна заданная теория (множество теорем) может акиоматизироваться множеством разных способов. Поэтому разговоры о том, что "нечто принадлежит (относится к) теории" и "нечто является аксиомой теории" - это две разные темы. Второе выражение к тому же не совсем точное, поскольку помимо явно упомянутой "теории" подразумевает какой-то неупомянутый (но конкретный) способ её аксиоматизации.

Кстати, теория может и не иметь никакого способа аксиоматизации, т.е быть "неаксиоматизируемой".

(Уточнение)

Об этом можно говорить, если мы исходим из стандартного требования, что принадлежность формулы к аксиомам должна быть алгоритмически разрешима.Точнее, множество аксиом должно быть рекурсивно перечислимым (хотя и не обязательно рекурсивным).
Правда такие теории вряд ли полезны на практике, ибо непонятно, как с ними работать.

mihaild в сообщении #1313545 писал(а):
И в любом случае - есть хоть какой-то повод считать этот вопрос важным?
Это было просто уточнение терминологии, ибо то Ваше возражение, которое я прокомментировал, было именно терминологическим. Вопрос, можно ли в каком-то смысле говорить о том, что "теория представляет алгоритмы" заслуживает более аккуратных формулировок со стороны обоих участников дискуссии.

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение20.05.2018, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15885
Новомосковск

(Оффтоп)

epros в сообщении #1313612 писал(а):
Кстати, теория может и не иметь никакого способа аксиоматизации, т.е быть "неаксиоматизируемой".

((Уточнение))

Об этом можно говорить, если мы исходим из стандартного требования, что принадлежность формулы к аксиомам должна быть алгоритмически разрешима.Точнее, множество аксиом должно быть рекурсивно перечислимым (хотя и не обязательно рекурсивным).

Правда такие теории вряд ли полезны на практике, ибо непонятно, как с ними работать.
Мне где-то попадалось построение нестандартного анализа, в котором в качестве аксиом были приняты все доказуемые утверждения стандартного математического анализа, плюс ещё аксиома, утверждающая существование нестандартного элемента. Как известно, множество доказуемых утверждений анализа не перечислимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: NP≠P. Док-во от противного-контрпример алгоритмов из NP
Сообщение20.05.2018, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8346
Someone в сообщении #1313645 писал(а):
Мне где-то попадалось построение нестандартного анализа, в котором в качестве аксиом были приняты все доказуемые утверждения стандартного математического анализа, плюс ещё аксиома, утверждающая существование нестандартного элемента. Как известно, множество доказуемых утверждений анализа не перечислимо.
Хм, возможно, что я чего-то не понял, но звучит это как-то странно. Зачем добавлять в аксиоматику формулы, выводимые из уже имеющейся аксиоматики? Этот довесок к аксиоматике не изменит теорию. Почему бы вместо всех доказуемых утверждений анализа не взять просто все аксиомы анализа?

Смысл требования, чтобы аксиомы составляли рекурсивно перечислимое множество, заключается в том, чтобы предъявленное доказательство можно было проверить. Шаг доказательства, на котором используется аксиома, лишается смысла, если указанная формула не распознаётся как аксиома.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 383 ]  На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group