Дифференцирование интеграла с переменным верхним пределом.

[main.c]

$\frac{d}{db}\int\limits_a^{b^2} \ln(1+x^2)dx$, не могу никак найти, как решаются такие задания, может кто подскажет, ну или хотя бы даст ссылку, что почитать?

[Otta]

Интеграл как функция верхнего предела [интеграл с переменным верхним пределом]
Дифференцирование оного. Зорич, Демидович, Фихтенгольц, etc материал 1 семестра.

[arseniiv]

main.c
$F(t) = \int\limits_a^t \ln(1 + x^2)\,dx$. Вы должны знать как найти $\frac d{dt} F(t)$, а вам нужно найти $\frac d{dt} F(t^2)$. Может, это прояснит ситуацию.

[Nemiroff]

Почитать нужно основную теорему анализа aka формулу Ньютона-Лейбница и определение и свойства интеграла с переменным верхним пределом.

[main.c]

arseniiv в сообщении #862748 писал(а):

main.c
$F(t) = \int\limits_a^t \ln(1 + x^2)\,dx$. Вы должны знать как найти $\frac d{dt} F(t)$, а вам нужно найти $\frac d{dt} F(t^2)$. Может, это прояснит ситуацию.

Спасибо, меня как раз и смутил квадрат у верхнего предела, получается, что ответ:
$2b\ln(1 + b^2)$

[Nemiroff]

main.c в сообщении #862751 писал(а):

получается, что ответ:
$2b\ln(1 + b^2)$

Каким же образом?

[Otta]

main.c в сообщении #862751 писал(а):

Спасибо, меня как раз и смутил квадрат у верхнего предела, получается, что ответ:
$2b\ln(1 + b^2)$

Это производная $G(b) = \int\limits_a^{b^2} \ln(1 + x)\,dx$

[main.c]

Nemiroff в сообщении #862753 писал(а):

main.c в сообщении #862751 писал(а):

получается, что ответ:
$2b\ln(1 + b^2)$

Каким же образом?

Ну как каким? Есть теорема, что $F(b) = \int\limits_a^bf(x)dx$ - это одна из первобразных функции $f(b)$, а это значит, что $F'(b) = f(b)$, а у нас
$ F'(b^2) = f(b^2) 2b = 2b\ln(1 + b^4)$. Да, Вы правы - ошибся в степени. Вот только мне теперь не ясно, почему ответ в учебнике: $2b\ln(1 + b^2)$.

[Otta]

main.c в сообщении #862822 писал(а):

Вот только мне теперь не ясно, почему ответ в учебнике: $2b\ln(1 + b^2)$.

Ну выбросьте его.))
Бывают и в учебниках опечатки.

[Nemiroff]

Контрольный в голову:

$$\frac{d}{dx}\int\limits_{\sin x}^{x^3} e^{x+t} \;dt$$

[arseniiv]

main.c в сообщении #862822 писал(а):

$ F'(b^2) = f(b^2) 2b = 2b\ln(1 + b^4)$

Положение штриха тут важно! $f(b^2)\cdot2b = (F(b^2))'$, а вот $F'(b^2) = f(b^2)$ — это просто $\ln(1 + b^4)$ без учёта «эффектов» от квадрата.

Т. е. вы, конечно, всё правильно нашли, правильно подразумевая производную композиции, но в более длинных выкладках могли бы нечайно прочитать запись неправильно.

[main.c]

Otta в сообщении #862827 писал(а):

main.c в сообщении #862822 писал(а):

Вот только мне теперь не ясно, почему ответ в учебнике: $2b\ln(1 + b^2)$.

Ну выбросьте его.))
Бывают и в учебниках опечатки.

(Оффтоп)

Не, выбрасывать пока рано, там ещё много нерешённых заданий

Nemiroff в сообщении #862834 писал(а):

Контрольный в голову:

$$\frac{d}{dx}\int\limits_{\sin x}^{x^3} e^{x+t} \;dt$$

$\frac{d}{dx}\int\limits_{\sin x}^{x^3} e^{x+t} \;dt = \frac{d}{dx} \int\limits_{\sin x}^0e^{x+t} \;dt + \frac{d}{dx} \int\limits_{0}^{x^3}e^{x+t} \;dt = -e^{x+\sin x}\cos x + e^{x+x^3}3x^2$

[Nemiroff]

main.c, а если бы было

$$\frac{d}{dx}\int\limits_0^1 e^{x+t}\;dt$$

[main.c]

Nemiroff в сообщении #862848 писал(а):

main.c, а если бы было

$$\frac{d}{dx}\int\limits_0^1 e^{x+t}\;dt$$

0

[Nemiroff]

То есть, функция под производной не зависит от $x$?