2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение15.05.2014, 20:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
arseniiv в сообщении #863643 писал(а):
Пойдём коротким путём.

Возможно, в нотации Лейбница будет нагляднее всего.

(Оффтоп)

Мне тоже лень :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение15.05.2014, 21:24 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ох, ладно. Любопытство не даст уйти. :mrgreen:
kikik в сообщении #863624 после убирания кириллицы из формул писал(а):
Например надо найти производную$\cos x^2$ если мы заменим $x^2$ на $t$ и найдем производную -получим $-\sin t$,если же мы потом заменим на исходную функцию мы получим что производная равна$-\sin x^2$.Что неверно. Так почему для рада Тейлора способ замены корректен?
Итак, мы имеем верную формулу $(\cos t)'_t = -\sin t$. Провернём $t\mapsto x^2$ и получим $(\cos x^2)'_{x^2} = -\sin x^2$. Независимо от того, можно ли придать какой-то смысл производной по $x^2$ (можно), эта формула явно не совпадает с полученным вами $(\cos x^2)'_x = -\sin x^2$. Так что неудивительно, что эта формула вдруг оказывается неверной (она ещё могла бы быть верна — по какой-то другой причине — но такой не окахывается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение15.05.2014, 21:27 


11/05/14
95
arseniiv в сообщении #863669 писал(а):
Ох, ладно. Любопытство не даст уйти. :mrgreen:
kikik в сообщении #863624 после убирания кириллицы из формул писал(а):
Например надо найти производную$\cos x^2$ если мы заменим $x^2$ на $t$ и найдем производную -получим $-\sin t$,если же мы потом заменим на исходную функцию мы получим что производная равна$-\sin x^2$.Что неверно. Так почему для рада Тейлора способ замены корректен?
Итак, мы имеем верную формулу $(\cos t)'_t = -\sin t$. Провернём $t\mapsto x^2$ и получим $(\cos x^2)'_{x^2} = -\sin x^2$. Независимо от того, можно ли придать какой-то смысл производной по $x^2$ (можно), эта формула явно не совпадает с полученным вами $(\cos x^2)'_x = -\sin x^2$. Так что неудивительно, что эта формула вдруг оказывается неверной (она ещё могла бы быть верна — по какой-то другой причине — но такой не окахывается).
А почему при разложении в ряд Тейлора способ замены спокойно таким же образом используется

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение15.05.2014, 21:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
kikik
Скажите пожалуйста, если я в равенство $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ подставлю $a=x^8, b=x^4$, получится ли верное равенство? Почему? Почему я имею право их подставлять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение15.05.2014, 21:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Добавление к предпредпредыдущему.) По-нормальному тут надо честно работать с функциями, а не заменять синтаксически без оснований на осмысленность результата. В функции нет никаких букв, а замена оборачивается композицией. И то, что производная композиции равна тому-то, а не тому-то — содержательный результат со своим доказательством. И он есть, думаю, в каждом учебнике, где описывается дифференциальное исчисление.

kikik в сообщении #863673 писал(а):
А почему при разложении в ряд Тейлора способ замены спокойно таким же образом используется
(1) А тут и не важно, что это именно чей-то ряд Тейлора. Любой ряд можно подставить в другой.
(2) А приглядитесь повнимательнее. Все производные в ряде Тейлора в коэффициентах, и взяты от констант. Они останутся как были, ничего в них не будет подставляться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение17.05.2014, 15:02 


11/05/14
95
arseniiv в сообщении #863676 писал(а):
(Добавление к предпредпредыдущему.) По-нормальному тут надо честно работать с функциями, а не заменять синтаксически без оснований на осмысленность результата. В функции нет никаких букв, а замена оборачивается композицией. И то, что производная композиции равна тому-то, а не тому-то — содержательный результат со своим доказательством. И он есть, думаю, в каждом учебнике, где описывается дифференциальное исчисление.

kikik в сообщении #863673 писал(а):
А почему при разложении в ряд Тейлора способ замены спокойно таким же образом используется
(1) А тут и не важно, что это именно чей-то ряд Тейлора. Любой ряд можно подставить в другой.
(2) А приглядитесь повнимательнее. Все производные в ряде Тейлора в коэффициентах, и взяты от констант. Они останутся как были, ничего в них не будет подставляться.
А как же остаточный член там производная берется не от константы

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение17.05.2014, 15:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
kikik
Я Вам не зря свой вопрос задала. Можно подставить?
Otta в сообщении #863675 писал(а):
Скажите пожалуйста, если я в равенство $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ подставлю $a=x^8, b=x^4$, получится ли верное равенство? Почему? Почему я имею право их подставлять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение17.05.2014, 15:13 


11/05/14
95
вот моя логика пусть надо найти значение производной$\cos{x^2}$ в некоторой точке$x_0$ если мы посчитаем в лоб то получим$-2x\sin{x^2}$ ,то значение производной в точке $x_0$ будет равно $-2x_0\sin{x_0^2}$.Если мы заменим $x^2$ на$t$,и найдем производную получим $-\sin{t}$ и после замены и подстановки ,получим что производная в этой точке равна$-\sin{x_0^2}$ ,что неверно но ведь при способе замены в ряде Тейлора используется точно такой же принцип

-- 17.05.2014, 16:14 --

Otta в сообщении #864361 писал(а):
kikik
Я Вам не зря свой вопрос задала. Можно подставить?
Otta в сообщении #863675 писал(а):
Скажите пожалуйста, если я в равенство $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ подставлю $a=x^8, b=x^4$, получится ли верное равенство? Почему? Почему я имею право их подставлять?
Тут получится верно,но если используются производные сложной функции то будет неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение17.05.2014, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
kikik в сообщении #864366 писал(а):
$-2x\sin{\x^2}$

Что такое $x$? Откуда взялось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение17.05.2014, 15:16 


11/05/14
95
provincialka в сообщении #864368 писал(а):
kikik в сообщении #864366 писал(а):
$-2x\sin{\x^2}$

Что такое $x$? Откуда взялось?
Я откорректировал сообщение

-- 17.05.2014, 16:21 --

Или как мне писали в другой теме .Мне сказали что можно разложить$\cos\sqrt{x}$ при замене$\sqrt{x}$ на $t$ применяя формулу Маклорена,но ведь эта формула вообще в данном случае не может использоватсься так как производная в нуле не существует

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение17.05.2014, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
kikik в сообщении #864369 писал(а):
Я откорректировал сообщение

В нем потерялся смысл: это опять функция от $x$, а не функция сама по себе.
Думаю, что производная функции (без аргумента) - это уже не функция, а дифференциальный оператор. Например, $\frac{d}{dx}\sin(\ast) =-\cos(\ast)\frac{d}{dx}\ast$, где звездочкой обозначено место для аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение17.05.2014, 15:22 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
kikik в сообщении #864366 писал(а):
Тут получится верно,но если используются производные сложной функции то будет неверно

А почему тут верно? А потому что тождество верно при всех $a,b$.
Формула (ряд Тейлора) это тоже тождество.
И если верно разложение в ряд $$e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\ldots$$ - а оно верно при всех $t$, то при $t=x^2$ это равенство тоже будет верно.

Хотите остаточный член - на здоровье, выписывайте остаточный член. $$e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+o(t^2)$$ верно при всех $t\to 0$. Поэтому при $t=x^2$, где $x\to 0$ тоже получится верное равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение17.05.2014, 15:25 


11/05/14
95
Otta в сообщении #864371 писал(а):
kikik в сообщении #864366 писал(а):
Тут получится верно,но если используются производные сложной функции то будет неверно

А почему тут верно? А потому что тождество верно при всех $a,b$.
Формула (ряд Тейлора) это тоже тождество.
И если верно разложение в ряд $$e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\ldots$$ - а оно верно при всех $t$, то при $t=x^2$ это равенство тоже будет верно.

Хотите остаточный член - на здоровье, выписывайте остаточный член. $$e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+o(t^2)$$ верно при всех $t\to 0$. Поэтому при $t=x^2$, где $x\to 0$ тоже получится верное равенство.
А как объяснить такую возможность
.Мне сказали что можно разложить$\cos\sqrt{x}$ при замене$\sqrt{x}$ на $t$ применяя формулу Маклорена,но ведь эта формула вообще в данном случае не может использоватсься так как производная в нуле не существует

-- 17.05.2014, 16:28 --

Ну мне кажется что замена в ряде Тейлора эквивалентна замене при поиске произвдной сложной функции.Ведь если мы найдем производную функции и заменим аргумент на сложную функцию мы не получим верное равенство

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение17.05.2014, 15:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
... А если в в эту формулу (верную при всех $t\to 0$) подставите $t=\sqrt x$, где $x\to 0$, тоже получится верное равенство. Да?

-- 17.05.2014, 18:31 --

kikik в сообщении #864373 писал(а):
Ну мне кажется что замена в ряде Тейлора эквивалентна замене при поиске произвдной сложной функции.Ведь если мы найдем производную функции и заменим аргумент на сложную функцию мы не получим верное равенство

Найдите в этом равенстве хоть одну производную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тупой вопрос по матанализу
Сообщение17.05.2014, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
kikik в сообщении #864369 писал(а):
формулу Маклорена,но ведь эта формула вообще в данном случае не может использоватсься так как производная в нуле не существует

Не путайте необходимое условие и достаточное. Если функция дифференцируема, то коэффициенты степенного ряда можно вычислить через производные. Но отсюда не следует, что степенной ряд не существует без производных.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 63 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group