Тупой вопрос по матанализу

[Otta]

arseniiv в сообщении #863643 писал(а):

Пойдём коротким путём.

Возможно, в нотации Лейбница будет нагляднее всего.

(Оффтоп)

Мне тоже лень

[arseniiv]

Ох, ладно. Любопытство не даст уйти.

kikik в сообщении #863624 после убирания кириллицы из формул писал(а):

Например надо найти производную$\cos x^2$ если мы заменим $x^2$ на $t$ и найдем производную -получим $-\sin t$,если же мы потом заменим на исходную функцию мы получим что производная равна$-\sin x^2$.Что неверно. Так почему для рада Тейлора способ замены корректен?

Итак, мы имеем верную формулу $(\cos t)'_t = -\sin t$. Провернём $t\mapsto x^2$ и получим $(\cos x^2)'_{x^2} = -\sin x^2$. Независимо от того, можно ли придать какой-то смысл производной по $x^2$ (можно), эта формула явно не совпадает с полученным вами $(\cos x^2)'_x = -\sin x^2$. Так что неудивительно, что эта формула вдруг оказывается неверной (она ещё могла бы быть верна — по какой-то другой причине — но такой не окахывается).

[kikik]

arseniiv в сообщении #863669 писал(а):

Ох, ладно. Любопытство не даст уйти.

kikik в сообщении #863624 после убирания кириллицы из формул писал(а):

Например надо найти производную$\cos x^2$ если мы заменим $x^2$ на $t$ и найдем производную -получим $-\sin t$,если же мы потом заменим на исходную функцию мы получим что производная равна$-\sin x^2$.Что неверно. Так почему для рада Тейлора способ замены корректен?

Итак, мы имеем верную формулу $(\cos t)'_t = -\sin t$. Провернём $t\mapsto x^2$ и получим $(\cos x^2)'_{x^2} = -\sin x^2$. Независимо от того, можно ли придать какой-то смысл производной по $x^2$ (можно), эта формула явно не совпадает с полученным вами $(\cos x^2)'_x = -\sin x^2$. Так что неудивительно, что эта формула вдруг оказывается неверной (она ещё могла бы быть верна — по какой-то другой причине — но такой не окахывается).

А почему при разложении в ряд Тейлора способ замены спокойно таким же образом используется

[Otta]

kikik
Скажите пожалуйста, если я в равенство $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ подставлю $a=x^8, b=x^4$, получится ли верное равенство? Почему? Почему я имею право их подставлять?

[arseniiv]

(Добавление к предпредпредыдущему.) По-нормальному тут надо честно работать с функциями, а не заменять синтаксически без оснований на осмысленность результата. В функции нет никаких букв, а замена оборачивается композицией. И то, что производная композиции равна тому-то, а не тому-то — содержательный результат со своим доказательством. И он есть, думаю, в каждом учебнике, где описывается дифференциальное исчисление.

kikik в сообщении #863673 писал(а):

А почему при разложении в ряд Тейлора способ замены спокойно таким же образом используется

(1) А тут и не важно, что это именно чей-то ряд Тейлора. Любой ряд можно подставить в другой.
(2) А приглядитесь повнимательнее. Все производные в ряде Тейлора в коэффициентах, и взяты от констант. Они останутся как были, ничего в них не будет подставляться.

[kikik]

arseniiv в сообщении #863676 писал(а):

(Добавление к предпредпредыдущему.) По-нормальному тут надо честно работать с функциями, а не заменять синтаксически без оснований на осмысленность результата. В функции нет никаких букв, а замена оборачивается композицией. И то, что производная композиции равна тому-то, а не тому-то — содержательный результат со своим доказательством. И он есть, думаю, в каждом учебнике, где описывается дифференциальное исчисление.

kikik в сообщении #863673 писал(а):

А почему при разложении в ряд Тейлора способ замены спокойно таким же образом используется

(1) А тут и не важно, что это именно чей-то ряд Тейлора. Любой ряд можно подставить в другой.
(2) А приглядитесь повнимательнее. Все производные в ряде Тейлора в коэффициентах, и взяты от констант. Они останутся как были, ничего в них не будет подставляться.

А как же остаточный член там производная берется не от константы

[Otta]

kikik
Я Вам не зря свой вопрос задала. Можно подставить?

Otta в сообщении #863675 писал(а):

Скажите пожалуйста, если я в равенство $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ подставлю $a=x^8, b=x^4$, получится ли верное равенство? Почему? Почему я имею право их подставлять?

[kikik]

вот моя логика пусть надо найти значение производной$\cos{x^2}$ в некоторой точке$x_0$ если мы посчитаем в лоб то получим$-2x\sin{x^2}$ ,то значение производной в точке $x_0$ будет равно $-2x_0\sin{x_0^2}$.Если мы заменим $x^2$ на$t$,и найдем производную получим $-\sin{t}$ и после замены и подстановки ,получим что производная в этой точке равна$-\sin{x_0^2}$ ,что неверно но ведь при способе замены в ряде Тейлора используется точно такой же принцип

-- 17.05.2014, 16:14 --

Otta в сообщении #864361 писал(а):

kikik
Я Вам не зря свой вопрос задала. Можно подставить?

Otta в сообщении #863675 писал(а):

Скажите пожалуйста, если я в равенство $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ подставлю $a=x^8, b=x^4$, получится ли верное равенство? Почему? Почему я имею право их подставлять?

Тут получится верно,но если используются производные сложной функции то будет неверно

[provincialka]

kikik в сообщении #864366 писал(а):

$-2x\sin{\x^2}$

Что такое $x$? Откуда взялось?

[kikik]

provincialka в сообщении #864368 писал(а):

kikik в сообщении #864366 писал(а):

$-2x\sin{\x^2}$

Что такое $x$? Откуда взялось?

Я откорректировал сообщение

-- 17.05.2014, 16:21 --

Или как мне писали в другой теме .Мне сказали что можно разложить$\cos\sqrt{x}$ при замене$\sqrt{x}$ на $t$ применяя формулу Маклорена,но ведь эта формула вообще в данном случае не может использоватсься так как производная в нуле не существует

[provincialka]

kikik в сообщении #864369 писал(а):

Я откорректировал сообщение

В нем потерялся смысл: это опять функция от $x$, а не функция сама по себе.
Думаю, что производная функции (без аргумента) - это уже не функция, а дифференциальный оператор. Например, $\frac{d}{dx}\sin(\ast) =-\cos(\ast)\frac{d}{dx}\ast$, где звездочкой обозначено место для аргумента.

[Otta]

kikik в сообщении #864366 писал(а):

Тут получится верно,но если используются производные сложной функции то будет неверно

А почему тут верно? А потому что тождество верно при всех $a,b$.
Формула (ряд Тейлора) это тоже тождество.
И если верно разложение в ряд

$$e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\ldots$$

- а оно верно при всех $t$, то при $t=x^2$ это равенство тоже будет верно.

Хотите остаточный член - на здоровье, выписывайте остаточный член.

$$e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+o(t^2)$$

верно при всех $t\to 0$. Поэтому при $t=x^2$, где $x\to 0$ тоже получится верное равенство.

[kikik]

Otta в сообщении #864371 писал(а):

kikik в сообщении #864366 писал(а):

Тут получится верно,но если используются производные сложной функции то будет неверно

А почему тут верно? А потому что тождество верно при всех $a,b$.
Формула (ряд Тейлора) это тоже тождество.
И если верно разложение в ряд

$$e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\ldots$$

- а оно верно при всех $t$, то при $t=x^2$ это равенство тоже будет верно.

Хотите остаточный член - на здоровье, выписывайте остаточный член.

$$e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+o(t^2)$$

верно при всех $t\to 0$. Поэтому при $t=x^2$, где $x\to 0$ тоже получится верное равенство.

А как объяснить такую возможность
.Мне сказали что можно разложить$\cos\sqrt{x}$ при замене$\sqrt{x}$ на $t$ применяя формулу Маклорена,но ведь эта формула вообще в данном случае не может использоватсься так как производная в нуле не существует

-- 17.05.2014, 16:28 --

Ну мне кажется что замена в ряде Тейлора эквивалентна замене при поиске произвдной сложной функции.Ведь если мы найдем производную функции и заменим аргумент на сложную функцию мы не получим верное равенство

[Otta]

... А если в в эту формулу (верную при всех $t\to 0$) подставите $t=\sqrt x$, где $x\to 0$, тоже получится верное равенство. Да?

-- 17.05.2014, 18:31 --

kikik в сообщении #864373 писал(а):

Ну мне кажется что замена в ряде Тейлора эквивалентна замене при поиске произвдной сложной функции.Ведь если мы найдем производную функции и заменим аргумент на сложную функцию мы не получим верное равенство

Найдите в этом равенстве хоть одну производную.

[provincialka]

kikik в сообщении #864369 писал(а):

формулу Маклорена,но ведь эта формула вообще в данном случае не может использоватсься так как производная в нуле не существует

Не путайте необходимое условие и достаточное. Если функция дифференцируема, то коэффициенты степенного ряда можно вычислить через производные. Но отсюда не следует, что степенной ряд не существует без производных.