Что такое дифференциал 2?

[arseniiv]

Детальки:

мат-ламер в сообщении #854130 писал(а):

это линейная (точнее аффинная) функция $h(x)=A(x-a)$

Как так аффинная? Т. е., раз линейная, то и аффинная, разумеется, но она же линейная. $f(a)$ уже унесено влево, нечему константу добавлять.

[svv]

Ещё одна трактовка.
Мы представляем приращение в виде суммы двух слагаемых: $Ah$ и $o(h)$. (А если оно не хочет так представляться, функция недифференцируема.) Т.е. мы требуем выполнения двух вещей: 1) чтобы первое слагаемое было пропорциональным $h$, и это подчеркивается словом «линейная», и 2) чтобы остаток был $o(h)$, и это подчеркивается словом «главная». Разумеется, первое слагаемое может быть линейной частью, но не главной, и наоборот.

[мат-ламер]

arseniiv в сообщении #854177 писал(а):

Как так аффинная? Т. е., раз линейная,

Тогда лучше $f(x+y)=f(x)+Ay+o(y)$.

[nikvic]

ewert в сообщении #854163 писал(а):

А вот смысл в том, что под "главной" ровно и подразумевается линейная, точка

Стал быть, не просто масло, а ещё и масляное

[мат-ламер]

Походу возник вопрос. Допустим ввели в курсе анализа дифференциалы. А они там нужны? (Дифференциальных форм пока не касаемся). Т.е. некоторые задачи можно решать, выписывая дифференциалы. Но намного это будет проще, чем решать эти задачи через производные?

[ewert]

nikvic в сообщении #854184 писал(а):

Стал быть, не просто масло, а ещё и масляное

Никак нет-с. Главных в жизни очень много, и они отнюдь не обязательно линейны.

-- Чт апр 24, 2014 23:02:39 --

мат-ламер в сообщении #854190 писал(а):

Но намного это будет проще, чем решать эти задачи через производные?

Ну это просто интуитивно проще. Ведь независимо от формального определения -- все прекрасно понимают, что дифференциал есть всего лишь бесконечно маленькое приращение (именно маленькое, а не малое). Даже те, кто не понимают и не хотят понимать формальностей. И где-то так в 98.3% случаев для практических целей этого оказывается вполне достаточно.

[arseniiv]

мат-ламер в сообщении #854181 писал(а):

Тогда лучше $f(x+y)=f(x)+Ay+o(y)$.

А не важно же как, $A$ аффинной-но-не-линейной не станет! Только про это и писал.

-- Пт апр 25, 2014 01:26:02 --

Ой. Это умножение, а не применение! День находок сегодня.
Беру слова назад до перерассмотрения.

-- Пт апр 25, 2014 01:33:35 --

Ну да, всё правильно, функция от приращения, как её не пиши, линейная. Аффинной в общем случае будет касательная.

[nikvic]

мат-ламер в сообщении #854190 писал(а):

Т.е. некоторые задачи можно решать, выписывая дифференциалы. Но намного это будет проще, чем решать эти задачи через производные?

Эти задачи - всякое интегрирование и решение дифур с заменами переменных. Формализм Лейбница опирается на твёрдые навыки работы с дробями.

[provincialka]

А представьте себе, как объяснять исследование на экстремум (в случае нескольких переменных) без второго дифференциала. Вообще, как мне кажется, дифференциал хорошо работает именно с случае нескольких переменных. Он здесь важнее производных.

[ewert]

provincialka в сообщении #854447 писал(а):

как объяснять исследование на экстремум (в случае нескольких переменных) без второго дифференциала.

Очень просто: надо всего лишь тупо выписать второй член(ы) формулы Тейлора.

Другое дело, что наиболее компактно этот член(ы) выписывается именно на языке дифференциалов. Однако же и польза от этого -- не более чем мнемоническая.

Deggial Последующее обсуждение дифференциалов отделено в отдельную тему как более содержательное.