Извините, читаем определение (см. в начале темы): "Диаграмма называется коммутативной, если для любых ее объектов Х и Y и любых путей… выполняется равенство…". Обратите внимание, про категории вообще в определении нет ни слова.
Это потому что там рассматривается только категория

. По умолчанию, действительно, используют ее.
Но тогда то равенство, которое Вы написали, неверно. Потому что нарисованной диаграмме соответствует равенство

, т.е.

. Для того, чтобы написать то, что нужно, на стрелках должны стоять не

, а линейные функции

А еще тогда все объекты в диаграмме должны быть

.