Полиномы в кач-ве векторов

[ewert]

ghetto в сообщении #851428 писал(а):

По какому это правилу?

А по какому вообще правилу любому абстрактному вектору (не важно, полиномы там или не полиномы) сопоставляется некий набор чисел?...

[ghetto]

Dan B-Yallay в сообщении #851432 писал(а):

Вам тут намекают 2 страницы уже, что каждому полиному можно сопоставить вектор из его коэффициентов. При сложении, коэффициенты полиномов складываются так же как и кординаты векторов - покомпонентно. Вы уже и сами это сделали:

ghetto в сообщении #851428 писал(а):

$$(1, 2, 0, 4)= 1 (1, 0, 0, 0) + 2 (0, 1, 0, 0) + 0 (0, 0, 1, 0) + 4 (0, 0, 0, 1)$$

Здесь элементы $(1, 2, 0, 4)$ помноженны на единичные векторы и просуммированы.

Обьяснение в таком виде я принять не могу, потому что какой-то инфы здесь не достает.

Насчет суммы мне подсказали на другом форуме. Я получил ответы почему такое имеет место быть, но к сожалению я пока не знаком с кольцами и другими концептами, которыми пытались обьяснить. :)

Автор моего учебника вообще-то пообещал доказать изоморфизм м/у $P_3(\mathbb R)$ и $R^4$ чуть позже , но что-то на меня нашло - решил это сделать сам. Надо всего-то показать, что существует биективная функция, сохраняющая порядок в каждом из множеств. Сказать легче, чем сделать. Оказывается мне надо знать туеву кучу концептов(linear combination, basis, dimension, ring ...), о которых автор еще ничего не говорил.

Наверно придется бросить эту идею и положится на автора. :)

[kp9r4d]

ghetto
Мне кажется вы пытаетесь всё усложнить. По сути речь идёт о способе записи одних и тех же штук: иногда удобно записывать как
$(1,2,3)+(5,7,1)=(6,9,4)$
а иногда как
$(1 + 2x + 3x^2) + (5 + 7x + x^2) = (6 + 9x + 4x^2)$
а иногда удобно нарисовать стрелочку в пространстве $\mathbb{E}^3$ с координатами $(1,2,3)$, и стрелочку с координатами $(5,7,1)$ сложить по правилу треугольника или параллелограмма и получить стрелочку с координатами $(6,9,4)$.

Именно в таком смысле эти три конструкции (множество координатных строк из 3х компонент, множество многочленов степени не выше второй и множество векторов в евклидовом трёхмерном пространстве) эквивалентны, или, говорят ещё, изоморфны. Ничего более сверх тут нету.

[ewert]

ghetto в сообщении #851503 писал(а):

Надо всего-то показать, что существует биективная функция, сохраняющая порядок в каждом из множеств.

Нет, не надо, это уж чересчур отвлечённо от жизни. А вот что надо безусловно -- так это знать определения линейного пространства, базиса и координат. Без этих знаний эта задачка становится откровенно бессмысленной. А с ними -- почти тривиальной (ну разве что надо ещё доказывать базисность; но она, с одной стороны, практически очевидна -- а с другой, формальное доказательство идейно и поучительно).

[ИСН]

ghetto в сообщении #851503 писал(а):

Надо всего-то показать, что существует биективная функция, сохраняющая порядок

Не порядок (порядка нет), а какую-то внутреннюю структуру, которая, кстати, и позволяет складывать и делать прочие действия. Если Вы не знаете, что это за структура, то - - -