Полиномы в кач-ве векторов

[ghetto]

Цитата:

Для любой $n \ge 0$, пусть $P_n(\mathbb R)$ обозначает векторное пространство всех многочленов одной неопределенной переменной $x$, чья степень не выше $n$.

Заметьте, что мы позволяем многочленам иметь степень меньше $n$; если мы
позволим только многочлены степени точно $n$, то у нас не будет
векторного пространства, так как сумма двух векторов не обязательно будет
вектор.

Простите за неуклюжий перевод. Не могли бы привести примеры относительно выделенного черным? Спасибо.

[svv]

Сумма полиномов $x^3+3x-5$ и $-x^3-10x$.

[ghetto]

svv в сообщении #850207 писал(а):

Сумма полиномов $x^3+3x-5$ и $-x^3-10x$.

Мне не понятно почему $-7x - 5 $ не может быть вектором.

[Nemiroff]

ghetto в сообщении #850208 писал(а):

Мне не понятно почему $3x - 10x - 5 $ не может быть вектором.

Он не принадлежит $P_3$, если это множество определяется как множество многочленов степени точно три.

[ghetto]

Nemiroff в сообщении #850209 писал(а):

ghetto в сообщении #850208 писал(а):

Мне не понятно почему $3x - 10x - 5 $ не может быть вектором.

Он не принадлежит $P_3$, если это множество определяется как множество многочленов степени точно три.

О. Вот оно что. Спасибо.

-- 15.04.2014, 22:29 --

У меня еще один вопрос созрел .

$a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + a_1x + a_0$ эквивалентен $(a_n, a_{n - 1}, \ldots, a_1, a_0)$

Для любой(?) $x$, сумма слева - это скалярное значение. А правая сторона - это вектор в $ \mathbb R^n$.

Обьясните, плиз, каким образом они эквивалентны.

[AV_77]

ghetto в сообщении #850224 писал(а):

сумма слева - это скалярное значение.

Это не скалярное значение.

[B@R5uk]

ghetto в сообщении #850205 писал(а):

Заметьте, что мы позволяем многочленам иметь степень меньше $n$; если мы
позволим только многочлены степени точно $n$, то у нас не будет
векторного пространства, так как сумма двух векторов не обязательно будет
вектор.

В пространстве многочленов степени точно $n$ нет нулевого элемента. Поэтому это пространство не может быть линейным (аксиома не выполняется). Либо же необходимо как-то по-другому определить операцию "сложение многочленов".

[ghetto]

AV_77 в сообщении #850230 писал(а):

Это не скалярное значение.

Мне интересно почему.

B@R5uk в сообщении #850232 писал(а):

В пространстве многочленов степени точно $n$ нет нулевого элемента. Поэтому это пространство не может быть линейным (аксиома не выполняется). Либо же необходимо как-то по-другому определить операцию "сложение многочленов".

Спасибо.

[B@R5uk]

AV_77 в сообщении #850230 писал(а):

Это не скалярное значение.

Почему нет? Это же не скалярное произведение. Если в многочлен подставить число $x$, то получится некое число, зависящее как от $x$, так и от многочлена. Другими словами задаётся отображение из пространства многочленов в пространство скаляров (причём для каждого $x$ это отображение разное).

[AV_77]

ghetto в сообщении #850234 писал(а):

Мне интересно почему.

Потому, что многочлен не число. А если вместо $x$ подставить какое-нибудь число, то это будет уже не многочлен.

-- Вт апр 15, 2014 22:48:42 --

B@R5uk в сообщении #850236 писал(а):

Почему нет?

Скалярное значение - это скаляр и со скалярным произведением оно никак не связано, только название немного похоже. Многочлен скаляром не является, поэтому нет.

[kp9r4d]

Я полагаю, что когда ghetto говорил «для любого» он имел в виду, что если воспринимать «$a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + a_1x + a_0$» как запись вещественного числа, то не может выполнятся

ghetto в сообщении #850224 писал(а):

$a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + a_1x + a_0$ эквивалентен $(a_n, a_{n - 1}, \ldots, a_1, a_0)$

так как слева число, а справа вектор. Вполне себе разумное недоумение, ведь запись «$x^2+x^4\geqslant 0$» ни у кого не вызывает отторжения вида «слева многочлен, а справа число, поэтому выражение не имеет смысла». Тут нужно более тонкое объяснение, мне кажется; но я не возьмусь, лучше других послушаю. :3

[ghetto]

AV_77 в сообщении #850237 писал(а):

Потому, что многочлен не число. А если вместо $x$ подставить какое-нибудь число, то это будет уже не многочлен.
.

Ok. Каким образом обе стороны эквивалентны?

[arseniiv]

Так они и не эквивалентны, если слева у вас не функция, а значение функции. Либо там многочлен, либо его значение в точке, а по значению в точке многочлен обратно восстановить нельзя.

-- Ср апр 16, 2014 01:21:23 --

Иногда пишут «функция $x^2$» и подобное — читатели же не кидаются сразу подставлять туда вместо икса, например, 3, а потом удивляться, кто такая «функция 9». Это просто вольность обозначений, а с многочленами она оправдана тем, что иначе их будет очень неудобно умножать-складывать и всё такое: $(x\mapsto x^3-5x)\cdot(x\mapsto 8x^4 + x^2 - 5) = \cdots$ брр.

[ИСН]

ghetto в сообщении #850255 писал(а):

Каким образом обе стороны эквивалентны?

Очень простым образом: каждому одному конкретному объекту того вида, что слева, соответствует один конкретный объект того вида, что справа. И наоборот.

[AV_77]

Вообще надо разделять понятия многочлена и функции. И лучше сразу усвоить, что многочлен это не функция. Если есть многочлен, то с помощью него можно определить функцию. В некоторых случаях окажется, что многочлены и функции, которые они определяют, можно отождествить, а в некоторых - нельзя и разные многочлены могут задавать одну и ту же функцию.