2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13488
Москва
"Квадратное - неси, круглое - кати выкатывай!". Заранее отвергаю конструкции, содержащие правила "если - то", так что не очень повыкатывают. :D
Понимаю, что своими капризами уже напоминаю форумчанам "разборчивую невесту", но ничего не могу с собой поделать. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13813
Если посмотреть в "обратную" сторону, то надо найти функцию, определённую на всей полуоси и растущую быстрее экспоненты. При этом не должно быть никаких переменных показателей степени, ибо при обращении вылезет логарифм. То есть какая-набудь тетрация не подойдёт. Лопиталь говорит, что и любая производная нужной функции должна расти быстрее экспоненты. А разве элементарные функции на такое способны?
Разве что в виде бесконечного степенного ряда. Но это уже не элементарные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13488
Москва
gris в сообщении #847908 писал(а):
...Лопиталь говорит, что и любая производная нужной функции должна расти быстрее экспоненты. А разве элементарные функции на такое способны?
..
А почему элементарные функции "на это не способны"? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 14:48 
Заслуженный участник


22/11/10
1151
Можно.
Грубо говоря, получим логарифм, с помощью какой-нибудь производной, а ее проаппроксимируем конечной разностью.
Например, положим $f(x) = x^x$.
$f'(x) = f(x)(1 + \ln x)$
А значит
$\ln x = f'(x)/f(x)-1$
Ну а производную можно приблизить чем нибудь типа
$f'(x) \approx \frac {f(x+ \varepsilon(x))- f(x)}{\varepsilon(x)}$
Осталось подобрать быстроубывающую $\varepsilon(x)$. Дальше по этой схеме можно "издеваться" над логарифмом сколько угодно.
Обескураживает :?
Вроде бы и ответ получен, но как-то "нечестно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13488
Москва
Вот это уже горячее! Спасибо всем участникам, уделившим внимание моей теме!

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 15:34 
Заслуженный участник


20/12/10
6899
А функция $x^x$ будет элементарной? Ведь знак логарифма запрещено использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 15:50 
Заслуженный участник


22/11/10
1151
Это пусть Brukvalub выясняет :-)
По мне так $x^x$ ничем не отличается от $x^\pi$. Но, возможно, есть какое-то прям каноническое определение элементарной функции. Я не любитель такого буквоедства, посему воздержусь от ответа.

-- Чт апр 10, 2014 18:53:07 --

Вот использовать арктангенс вместо логарифма я "постеснялся". К тому же надо тогда выходить в комплексную плоскость ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 16:21 
Заслуженный участник


13/12/05
3875
Элементарная функция - функция, полученная из основных элементарных при помощи арифметических операций и операции композиции. Основные элементарные: $a$, $\sin x$, $\cos x$, $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctg x$, $x^a$, $a^x$, $\log_a x$

Brukvalub из этого списка предлагает убрать $\log_a x$. Думаю тогда нельзя получить что-то, что стремится к бесконечности медленне степенной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13488
Москва
sup в сообщении #847970 писал(а):
...
Вот использовать арктангенс вместо логарифма я "постеснялся". К тому же надо тогда выходить в комплексную плоскость ...
Разве арктангенс неограниченно растет? :shock:

-- Чт апр 10, 2014 17:34:33 --

Padawan в сообщении #847977 писал(а):
Элементарная функция - функция, полученная из основных элементарных при помощи арифметических операций и операции композиции. Основные элементарные: $a$, $\sin x$, $\cos x$, $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctg x$, $x^a$, $a^x$, $\log_a x$

Brukvalub из этого списка предлагает убрать $\log_a x$. Думаю тогда нельзя получить что-то, что стремится к бесконечности медленне степенной.
А почему "нельзя получить"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 17:38 
Заслуженный участник


22/11/10
1151
Насчет арктангенса. Есть такое тождество
$2\arctg x = \ln \frac{1+ix}{1-ix}$
Откуда формально получаем
$2\arctg it = \ln \frac{1-t}{1+t}$
Полагая $s = \frac{1-t}{1+t}$, получим выражение для $\ln s$ (лень выписывать явно).
Ну, то есть, логарифм выразили "иными" средствами. Для этого надо выйти в комплексную плоскость и разобраться с ветвями. Допустимо такое "решение" или нет - на усмотрение ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение10.04.2014, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13488
Москва
Спасибо, принял к сведению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение12.04.2014, 03:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1117
$f(x) = x(1+x)^{1/x} - x =\ln(x)+ O(\frac{1}{x})$,
Собственно задача решена, мы получили логарифм на бесконечности.
Теперь можно например подставить $f$ в себя, будет вам $\ln \ln (x)$.

Подходит такое решение, Brukvalub?

-- Сб апр 12, 2014 04:27:22 --

Я не поленился и подставил её в саму себя:) Ну копипастом в вольфраме :D
А то всё-таки мало ли какие чудеса это O-большое выдаст...
Вот что вольфрам говорит:

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение13.04.2014, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13488
Москва
Громадное спасибо Legioner93 ! Ваш пример более всего соответствует моим представлениям об элементарной функции! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленно растущая функция.
Сообщение13.04.2014, 11:13 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5729
 !  Legioner93, замечание за неправильное оформление формул.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group