Медленно растущая функция.

[Brukvalub]

"Квадратное - неси, круглое - кати выкатывай!". Заранее отвергаю конструкции, содержащие правила "если - то", так что не очень повыкатывают.
Понимаю, что своими капризами уже напоминаю форумчанам "разборчивую невесту", но ничего не могу с собой поделать.

[gris]

Если посмотреть в "обратную" сторону, то надо найти функцию, определённую на всей полуоси и растущую быстрее экспоненты. При этом не должно быть никаких переменных показателей степени, ибо при обращении вылезет логарифм. То есть какая-набудь тетрация не подойдёт. Лопиталь говорит, что и любая производная нужной функции должна расти быстрее экспоненты. А разве элементарные функции на такое способны?
Разве что в виде бесконечного степенного ряда. Но это уже не элементарные.

[Brukvalub]

gris в сообщении #847908 писал(а):

...Лопиталь говорит, что и любая производная нужной функции должна расти быстрее экспоненты. А разве элементарные функции на такое способны?
..

А почему элементарные функции "на это не способны"?

[sup]

Можно.
Грубо говоря, получим логарифм, с помощью какой-нибудь производной, а ее проаппроксимируем конечной разностью.
Например, положим $f(x) = x^x$.
$f'(x) = f(x)(1 + \ln x)$
А значит
$\ln x = f'(x)/f(x)-1$
Ну а производную можно приблизить чем нибудь типа
$f'(x) \approx \frac {f(x+ \varepsilon(x))- f(x)}{\varepsilon(x)}$
Осталось подобрать быстроубывающую $\varepsilon(x)$. Дальше по этой схеме можно "издеваться" над логарифмом сколько угодно.
Обескураживает
Вроде бы и ответ получен, но как-то "нечестно".

[Brukvalub]

Вот это уже горячее! Спасибо всем участникам, уделившим внимание моей теме!

[nnosipov]

А функция $x^x$ будет элементарной? Ведь знак логарифма запрещено использовать.

[sup]

Это пусть Brukvalub выясняет
По мне так $x^x$ ничем не отличается от $x^\pi$. Но, возможно, есть какое-то прям каноническое определение элементарной функции. Я не любитель такого буквоедства, посему воздержусь от ответа.

-- Чт апр 10, 2014 18:53:07 --

Вот использовать арктангенс вместо логарифма я "постеснялся". К тому же надо тогда выходить в комплексную плоскость ...

[Padawan]

Элементарная функция - функция, полученная из основных элементарных при помощи арифметических операций и операции композиции. Основные элементарные: $a$, $\sin x$, $\cos x$, $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctg x$, $x^a$, $a^x$, $\log_a x$

Brukvalub из этого списка предлагает убрать $\log_a x$. Думаю тогда нельзя получить что-то, что стремится к бесконечности медленне степенной.

[Brukvalub]

sup в сообщении #847970 писал(а):

...
Вот использовать арктангенс вместо логарифма я "постеснялся". К тому же надо тогда выходить в комплексную плоскость ...

Разве арктангенс неограниченно растет?

-- Чт апр 10, 2014 17:34:33 --

Padawan в сообщении #847977 писал(а):

Элементарная функция - функция, полученная из основных элементарных при помощи арифметических операций и операции композиции. Основные элементарные: $a$, $\sin x$, $\cos x$, $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctg x$, $x^a$, $a^x$, $\log_a x$

Brukvalub из этого списка предлагает убрать $\log_a x$. Думаю тогда нельзя получить что-то, что стремится к бесконечности медленне степенной.

А почему "нельзя получить"?

[sup]

Насчет арктангенса. Есть такое тождество
$2\arctg x = \ln \frac{1+ix}{1-ix}$
Откуда формально получаем
$2\arctg it = \ln \frac{1-t}{1+t}$
Полагая $s = \frac{1-t}{1+t}$, получим выражение для $\ln s$ (лень выписывать явно).
Ну, то есть, логарифм выразили "иными" средствами. Для этого надо выйти в комплексную плоскость и разобраться с ветвями. Допустимо такое "решение" или нет - на усмотрение ТС.

[Brukvalub]

Спасибо, принял к сведению.

[Legioner93]

$f(x) = x(1+x)^{1/x} - x =\ln(x)+ O(\frac{1}{x})$,
Собственно задача решена, мы получили логарифм на бесконечности.
Теперь можно например подставить $f$ в себя, будет вам $\ln \ln (x)$.

Подходит такое решение, Brukvalub?

-- Сб апр 12, 2014 04:27:22 --

Я не поленился и подставил её в саму себя:) Ну копипастом в вольфраме
А то всё-таки мало ли какие чудеса это O-большое выдаст...
Вот что вольфрам говорит:

[Brukvalub]

Громадное спасибо Legioner93 ! Ваш пример более всего соответствует моим представлениям об элементарной функции!

[Deggial]

Legioner93, замечание за неправильное оформление формул.