Метод трапеций

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачей:

Вычислить интеграл по формуле трапеций с четырьмя десятичными знаками. Оценить точность вычислений ($n=8$).

$$\int\limts_{2}^{3.5} \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$

Сразу непонятен такой момент: если вычислять интеграл с четырьмя десятичными знаками, то точность уже будет известна -- тогда что оценивать? Ведь для определения $n$ и оценки точности используется одна и та же формула. А еще в условии дано, что $n=8$

Опустим этот момент, вычисляем дальше.

Пусть $M_{2}$ - максимум модуля второй производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Для вычисления интеграла с четырьмя десятичными знаками, необходимо найти кол-во отрезков, на которые необходимо разделить отрезок интегрирования ($n$).

Для вычисления с тремя десятичными знаками, в методичке дана формула:

$$\frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot M_{2} < 0.0005$$

Непонятно, откуда взято число $0.0005$, ведь уже при $0.0009$ будет три десятичных знака.

Но ладно, пусть будет $0.0005$, тогда, по логике, для четырех десятичных знаков необходимо:

$$\frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot M_{2} < 0.00005$$

Подставляем исходные данные, получаем:

$$\frac{(1.5)^3}{12n^2} \cdot 0.57735 < 0.00005 \Rightarrow n > 56.9877 \Rightarrow n = 57$$

И вот мы пришли к тому, что для четырех десятичных цифр, необходимо разделить отрезок интегрирования на $57$ частей, что, в принципе, для учебной задачи несколько абсурдно.

Вычисления все верные, проверял в мат. пакетах, формулы, скорее всего тоже. И вот у меня возникает вопрос: а что же неверно?

У меня есть две мысли:

1) Некорректное условие (так как в итоге получаем разделение на $57$ отрезков, что весьма велико).

2) Я что-то делаю не так (в упор не вижу что).

Буду очень признателен, если просмотрите логику моего решения, и вынесите вердикт Спасибо!

[Ms-dos4]

Я уже говорил, что этот способ оценки погрешностей никто не использует, он слишком груб (да и очень трудоёмок), далеко не факт что для достижения нужной точности вам нужно разбивать интервал на 57 частей. (надеюсь вы всё верно сосчитали, я не проверял). Используйте правило Рунге. Возьмите и напишите программу, которая вычисляет определённые интегралы с заданной точностью.

[Limit79]

Ms-dos4 в сообщении #846555 писал(а):

Я уже говорил, что этот способ оценки погрешностей никто не использует, он слишком груб (да и очень трудоёмок).

Никто не использует в практических расчетах, где важен именно результат, и его погрешность. Здесь же обычная учебная задача на знание формул.

Ms-dos4 в сообщении #846555 писал(а):

(надеюсь вы всё верно сосчитали, я не проверял)

Да, арифметика верна. А ход мыслей верный, не подскажите?

Ms-dos4 в сообщении #846555 писал(а):

Используйте правило Рунге. Возьмите и напишите программу, которая вычисляет определённые интегралы с заданной точность.

Понимаете, я не позиционирую эту задачу как практическую, она просто учебная. Если мне был бы важен результат и его точность, я бы за пару минут рассчитывал все это в мат. пакетах, но тут суть не та

[Ms-dos4]

Формально всё верно

[Limit79]

Ms-dos4
Спасибо!

Появился еще один вопрос: нашел я вот такое предложение в одной из методичек по ЧМ: "Абсолютная погрешность $R_{n}$ будет меньше наперед заданного числа $\epsilon>0$ если взять $n > \sqrt{ \frac{M \cdot (b-a)}{12 \epsilon}}$ "

По этой формуле получается $n = 32$. То есть для одного и того же метода разные формулы для определения кол-во отрезков разделения для достижения заданной точности. Такое вообще может быть?

[Cash]

Конечно может, поскольку это формулы для определения достаточного кол-ва отрезков разделения для достижения заданной точности. То есть, в данном случае, и при $n=32$ и при $n=57$ вы уложитесь в заданную погрешность. Но нигде не говорится, что эти формулы обеспечивают наименьшее $n$. На самом деле оно гораздо меньше Вами вычисленных оценок. Проделайте то, что Вам предлагается в задаче - посчитайте интеграл методом трапеций с восемью отрезками разбиения. И сравните результат с точным значением.

[Limit79]

Cash
Спасибо за ответ!

Меня смутило то, что для поиска $n$, используют две разные формулы, и при одной и то же точности, найденное $n$ отличается.

[TOTAL]

Limit79 в сообщении #846746 писал(а):

Ms-dos4
Спасибо!

Появился еще один вопрос: нашел я вот такое предложение в одной из методичек по ЧМ: "Абсолютная погрешность $R_{n}$ будет меньше наперед заданного числа $\epsilon>0$ если взять $n > \sqrt{ \frac{M \cdot (b-a)}{12 \epsilon}}$ "

По этой формуле получается $n = 32$. То есть для одного и того же метода разные формулы для определения кол-во отрезков разделения для достижения заданной точности. Такое вообще может быть?

$ \epsilon=0.0005$, формула та же самая

[Limit79]

TOTAL в сообщении #847039 писал(а):

$ \epsilon=0.0005$,

Почему? Мне нужно четыре десятичных знака, то есть $\epsilon = 0.00005$.

[ewert]

Cash в сообщении #846857 писал(а):

Но нигде не говорится, что эти формулы обеспечивают наименьшее $n$. На самом деле оно гораздо меньше Вами вычисленных оценок.

Так уж и гораздо. Вторая производная меняется на этом отрезке где-то раз в пять, т.е. её максимальное значение превышает среднее раза в три. Соответственно, требуемое количество отрезков завышено всего лишь раза в два.

[nikvic]

ewert в сообщении #847146 писал(а):

Соответственно, требуемое количество отрезков завышено всего лишь раза в два.

А если ещё учесть монотонность 2-й производной...

[ewert]

nikvic в сообщении #847150 писал(а):

А если ещё учесть монотонность 2-й производной...

То что?

На самом деле существенна не монотонность, а неравномерность убывания, и я её учитывал (для этого постоянно и завышал промежуточные результаты). Другое дело, что все прикидки я делал очень на глазок; вполне возможно, что расхождение там не в два раза, а раза в два с половиной, но уж наверняка меньше, чем в три.

[nikvic]

ewert в сообщении #847157 писал(а):

То что?

На самом деле существенна не монотонность,

Факт. Спутал с Симпсоном

[ewert]

nikvic в сообщении #847180 писал(а):

Спутал с Симпсоном

А для Симпсона там всё ровно так же, как и для трапеций, разве что именно вторая производная совершенно не при чём.

[nikvic]

ewert в сообщении #847186 писал(а):

nikvic в сообщении #847180 писал(а):

Спутал с Симпсоном

А для Симпсона там всё ровно так же, как и для трапеций, разве что именно вторая производная совершенно не при чём.

Обычно Симпсона оценивают через максимум 4-й производной.