Метод трапеций

[ewert]

nikvic в сообщении #847206 писал(а):

Обычно Симпсона оценивают через максимум 4-й производной.

Естественно. Но дальнейшая логика -- ровно такая же: степень грубости этой оценки определяется тем, насколько среднее значение соответствующей производной меньше максимального, и ничем иным.

[nikvic]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #847211 писал(а):

Но дальнейшая логика -- ровно такая же: степень грубости этой оценки определяется тем, насколько среднее значение соответствующей производной меньше максимального, и ничем иным.

Ну, это отличие для второй производной у Симпсона несущественно. А третьей и четвёртой может и не быть - при монотонной второй.
Я не смотрел этого до конца. Похоже, точная оценка сверху получается для случая, когда вторая производная имеет вид ступеньки.

[ewert]

nikvic в сообщении #847227 писал(а):

Похоже, точная оценка сверху получается для случая, когда вторая производная имеет вид ступеньки.

Точная оценка сверху (если речь о трапециях) получается тогда и только тогда, когда вторая производная постоянна. По весьма тривиальной причине: фактическая погрешность асимптотически пропорциональна интегралу от второй производной (умноженному на квадрат шага).

Для симпсона всё ровно так же, только производная и степень -- четвёртые. И вообще для любой квадратурной формулы всё ровно так же.

[nikvic]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #847229 писал(а):

Точная оценка сверху (если речь о трапециях)

Под катом говорится о Симпсоне.

[ewert]

nikvic в сообщении #847232 писал(а):

Под катом говорится о Симпсоне.

Какое отношение вторая производная имеет к погрешности Симпсона?... -- никакого.

[nikvic]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #847233 писал(а):

Какое отношение вторая производная имеет к погрешности Симпсона?... -- никакого.

Видите ли, она может меняться

[ewert]

nikvic в сообщении #847240 писал(а):

Видите ли, она может меняться

Пусть меняется. И что?...

Да, можно получить явную оценку погрешности формулы Симпсона через максимум второй производной (и она будет верна независимо от существования или нет следующих производных). Но эта оценка будет, соответственно, уже не четвёртого, а всего лишь второго порядка точности относительно шага. И ни о какой точности такой оценки, естественно, не может быть и речи.

[nikvic]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #847243 писал(а):

можно получить явную оценку погрешности формулы Симпсона через максимум второй производной

Нету такой оценки: Симпсон точен аж для кубических многочленов.

[ewert]

nikvic в сообщении #847246 писал(а):

Нету такой оценки: Симпсон точен аж для кубических многочленов.

Есть такая оценка. Есть такая

Теорема. Пусть квадратурная формула точна для всех многочленов степени $m$, и пусть подынтегральная функция непрерывно дифференцируема $(m+1)$ раз. Тогда существует постоянная $C$, зависящая только от формулы (но не зависящая ни от функции, ни от шага) такая, что абсолютная величина погрешности не превосходит $C\cdot\max\limits_x|f^{(m+1)}(x)|\cdot h^{m+1}$.

(Естественно, имеется в виду составная квадратурная формула; и, естественно, непрерывность производной не обязательна, просто при её разрывности формулировка несколько загромождается.)

Так вот: если функция дифференцируема менее четырёх раз -- для формулы Симпсона срабатывает именно эта теорема. И это довольно полезно иметь в виду с чисто практической точки зрения, чтоб потом в случае чего не удивляться.

[nikvic]

ewert в сообщении #847305 писал(а):

Есть такая оценка.

Вы пропустили максимум модуля.

ewert в сообщении #847305 писал(а):

если функция дифференцируема менее четырёх раз -- для формулы Симпсона срабатывает именно эта теорема.

Факт.
Но я-то "отклонился" от трапеций, предлагая использовать монотонность 2-й производной.
Чего нет у Фихтенгольца

[ewert]

nikvic в сообщении #847312 писал(а):

Вы пропустили максимум модуля.

Это Вы недовчитались.

nikvic в сообщении #847312 писал(а):

Но я-то "отклонился" от трапеций, предлагая использовать монотонность 2-й производной.

Ну и как её конкретно использовать?... Я чего-то пока что так и не представляю.

[nikvic]

Поскольку всё "масштабируется", достаточно для начала взять функции в пределах отрезка длиной 2 со второй производной, неубывающей от нуля к единице.
Ну и посчитать

[ewert]

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #847340 писал(а):

неубывающей от нуля к единице.
Ну и посчитать

Ну и чего?...

Нет, я охотно допускаю, что там выйдет некая абсолютная оценка (я, правда, так до сих пор не понимаю, какая в точности имеется в виду). Но. А какой прок с той оценки -- для сельского хозяйства-то?...

[Limit79]

Привожу свое решение в MathCad (под спойлером):

(Для модераторов)

Привожу скриншот с маткада, а не записываю в техе, специально, дабы показать, что вычисления точно верные.

(Решение в MathCad)

В четвертом знаке цифры отличаются

То ли я что-то не так считаю, то ли маткад что-то не так считает, то ли я "сломал" формулу трапеций

[Ms-dos4]

Так. "Точное" значение интеграла $0,607889$ (тут все цифры верные), ваш метод трапеций с учётом точности даёт $0.607906 \pm 0,00005$, т.е. $ \in [0.607856,0.607956]$. Но ведь $0,607889 \in [0.607856,0.607956]$. Так что вам надо? Всё правильно