2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Трансцендентно
Сообщение06.04.2014, 21:51 
Всем доброго вечера!

Пусть число $\alpha,\beta$ - трансцендентны. Может ли число $\alpha ^ \beta$ быть алгебраическим?

Какие здесь идеи могут быть? Подскажите, пожалуйста, только идею!

Может быть, надо как-то использовать то, что всякое число вида $\sum\limits_{n=1}^\infty {\alpha_n}$ при быстро убывающим $\alpha _n $ является трансцендентным и использовать меру иррациональности алг. чисел (типа, плохо будет приближаться рациональными дробями - алгебраическое)?

 
 
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение06.04.2014, 21:54 
Аватара пользователя
$e^{\ln2}$?

 
 
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение06.04.2014, 21:55 
ex-math в сообщении #846433 писал(а):
$e^{\ln2}$?

Гениально!
Остается только доказать вопрос трансцендентности для $\ln k$ при натуральных $k$.

(Оффтоп)

Попробую.

Предположим, $\alpha = \ln k \in \overline{\mathbb{Q}}$. Тогда $\exists P(x)=a(x-x_1)\ldots(x-x_n)$, т.ч. $ P(\alpha)=0$ и $e^\alpha = k$.

 
 
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение06.04.2014, 23:19 
Terraniux в сообщении #846435 писал(а):
...Остается только доказать вопрос трансцендентности для $\ln k$ при натуральных $k$...

Ну и для полноты картины $e$

 
 
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение06.04.2014, 23:22 
mihailm в сообщении #846489 писал(а):
Terraniux в сообщении #846435 писал(а):
...Остается только доказать вопрос трансцендентности для $\ln k$ при натуральных $k$...

Ну и для полноты картины $e$

Кстати, тоже нетривиально.

 
 
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение07.04.2014, 01:14 
Terraniux в сообщении #846429 писал(а):
Пусть число $\alpha,\beta$ - трансцендентны. Может ли число $\alpha ^ \beta$ быть алгебраическим?

ну если и $e$ "не считается" трансцедентным, могу предложить такое рассуждение.

множество алгебраических чисел счетно, поэтому множество тех $x>0$, для которых $x$ алгебраическое или $\log_x 2$ алгебраическое, не более чем счетно. теперь берем одно из оставшихся $x$ и получаем $x^{\log_x 2}=2$.

 
 
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение07.04.2014, 01:23 
patzer2097 в сообщении #846542 писал(а):
Terraniux в сообщении #846429 писал(а):
Пусть число $\alpha,\beta$ - трансцендентны. Может ли число $\alpha ^ \beta$ быть алгебраическим?

ну если и $e$ "не считается" трансцедентным, могу предложить такое рассуждение.

множество алгебраических чисел счетно, поэтому множество тех $x>0$, для которых $x$ алгебраическое или $\log_x 2$ алгебраическое, не более чем счетно. теперь берем одно из оставшихся $x$ и получаем $x^{\log_x 2}=2$.

Да, хорошее рассуждение 8-).

 
 
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение07.04.2014, 14:26 
Аватара пользователя
Terraniux
Я отвечал на тот вопрос, который Вы сформулировали, пользуясь известными фактами трансцендентности $e$ и $\ln2$. Если Вам надо было ab ovo, это стоило отметить в старт-посте.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group