Инволюция

[loso]

Доброго времени суток!
Имеется уравнение $\log_{\frac{1}{16}} (x)=({\frac{1}{16}})^x$. И я понятия пока что не имею, как его решить. Преобразованиями, которые проходятся в школе, ничего сделать не получается. Единственное, можно преобразовать до вида $\log_{\frac{1}{16}}(\log_{\frac{1}{16}} (x))=x$, то есть, $f(f(x))=x$. А это, как я понял, называется инволюцией. Но для меня это мало что значит.
Если кто сможет потратить свое время на решение и объяснение этого, то я буду очень благодарен.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

[mihailm]

Тут соображения выпуклости. Решено в Шарыгине (11 класс), где вместо одной шестнадцатой $a $

[loso]

mihailm в сообщении #846735 писал(а):

Тут соображения выпуклости. Решено в Шарыгине (11 класс), где вместо одной шестнадцатой $a $

Можете, пожалуйста, сказать точное название учебника и раздела , в котором приведено решение? Просто так тяжело найти.

[nnosipov]

Вот здесь подробно написано:
Сидоров Ю. Об одном замечательном уравнении // Квант. 1990. № 5. С. 58-62.

[mihailm]

loso в сообщении #846741 писал(а):

...Можете, пожалуйста, сказать точное название учебника и раздела , в котором приведено решение? Просто так тяжело найти.

Авторы Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Раньше называлась Факультативный курс 11 класс, сейчас вроде Математика: решение задач: 11 класс.
В факультативном курсе это параграф 3 элементы мат. анализа, задача 165 (предпоследняя)

[loso]

Спасибо. Но есть одно но. В учебниках, которые вы скинули рассматривается задача : сколько решений имеет уравнение? А мне нужно именно решение, то есть сами корни. Тот самый третий корень, наличие которого доказывается в этих пособиях. Вы не знаете как его найти?

[mihailm]

Аналитически третий корень (не $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$) вряд ли находится, или вам примерное значение нужно?

[loso]

Я думал, что третий корень можно получить аналитически. Но разобрав предложенные решения, понял, что это как-то нереально. Но все равно, большое спасибо за предложенный материал, очень интересным оказался пример.
P.S. То есть корни уравнений такого типа можно только угадать?

[mihailm]

Угадать можно в какой руке монетка (а можно и не угадать), корни подбирают, и чаще всего это совсем не угадывание.

[VladQ]

Заинтересовала эта тема. Задам сопутствующий вопрос.

Как можно аналитически найти корень/корни такого уравнения?

$a^x = \log_b x, \\a, b = \operatorname{const}$

И, если нельзя, то почему?
Приближенно найти можно, разложив функции в степенные ряды, но как быть с точным аналитическим выражением - идей нет.