2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 09:11 


13/06/10
144
Видел интересное решение некоторых планиметрических задач с помощью комплексных чисел(не векторно-координатным способом).
Все ли планиметрические задачи можно так пробовать решать? Я пока в этом только разбираюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 09:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
"Пробовать" - можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 10:03 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Понарин, Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 13:07 


13/06/10
144
Nemiroff в сообщении #834856 писал(а):
Понарин, Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах.

Спасибо, книга как я понимаю единственная в своем роде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 13:57 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Вряд ли. Суть, как понимаю, в том, что комплексные числа можно изображать векторами. И наоборот. Как планиметрию можно решать аналитической геометрией, так и можно её же комплексными числами.
Вот только с трёхмерным пространством сложности будут...

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 14:42 


29/09/06
4552
NNDeaz в сообщении #834906 писал(а):
книга как я понимаю единственная в своем роде?
П.С. Моденов, Задачи по геометрии (у меня --- 1979), глава III, Применение комплексных чисел в планиметрии.

-- 10 мар 2014, 15:46:36 --

(перелистал... не особо понравилось)

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Отличие комплексных чисел от просто векторов в том, что их можно умножать. При этом умножение на постоянное число задает преобразование подобия. Вот тут их польза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 16:34 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
provincialka в сообщении #834997 писал(а):
Отличие комплексных чисел от просто векторов в том, что их можно умножать
Уверен, вам известно не менее двух способов перемножить два вектора. Равно как и умножить вектор на действительное число, задав преобразование подобия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 16:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #834997 писал(а):
При этом умножение на постоянное число задает преобразование подобия. Вот тут их польза.

Не только в этом. Помимо этого, в произведении двух комплексных чисел запрятаны как скалярное, так и векторное произведения соответствующих векторов; это тоже бывает полезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 16:53 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
iifat в сообщении #835052 писал(а):
Уверен, вам известно не менее двух способов перемножить два вектора.
Векторное произведение существенно привязано к трёхмерности пространства. В двумерном пространстве аналога векторному нету, а в пространствах высокой размерности вообще всё запущено. Обобщить в некотором смысле можно, но "произведением" будет уже не вектор.

Топикстартер пишет о применении комплексных чисел именно к планиметрическим задачам. Эта игра возможна за счёт однозначного соответствия, которое можно установить между векторами и комплексными числами (включая некоторые операции над этими объектами). К трёхмерному пространству и уж тем более к векторному произведению это всё не имеет никакого отношения.

А скалярное произведение через комплексную арифметику пожалуй можно выразить так:
$$\begin{matrix}
  {{{\vec{r}}}_{1}}=\left\{ {{a}_{1}},{{b}_{1}} \right\} \\ 
  {{{\vec{r}}}_{2}}=\left\{ {{a}_{2}},{{b}_{2}} \right\} \\ 
  \left( {{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}} \right)={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}} \\ 
  {{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \\ 
  {{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \\ 
  {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}=\operatorname{Re}\left( {{{\bar{z}}}_{1}}{{z}_{2}} \right)=\operatorname{Re}\left( {{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right) \\ 
\end{matrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 16:56 


29/09/06
4552
provincialka в сообщении #834997 писал(а):
При этом умножение на постоянное число задает преобразование подобия. Вот тут их польза.
Не забывайте задачи на инверсию: $$z'=\frac{R^2}{z-z_0}$$ (в таком виде здесь, кажется, сидят две инверсии: (1) относительно окружности и (2) комплексное сопряжение, т.е. (2) инверсия(симметрия) относительно оси абсцисс).

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 16:59 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
NNDeaz в сообщении #834843 писал(а):
Все ли планиметрические задачи можно так пробовать решать?
Есть довольно широкий класс задач, где такой подход будет вполне успешным. Подробности (в частности, примеры) можно найти вот здесь topic75858.html Разумеется, есть и задачи, где комплексные числа мало чем помогут (например, задачи, связанные с доказательством каких-нибудь геометрических неравенств).

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 17:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
iifat в сообщении #835052 писал(а):
Уверен, вам известно не менее двух способов перемножить два вектора. Равно как и умножить вектор на действительное число, задав преобразование подобия.
Но при этом в двумерном пространстве не получится вектор — или скаляр, или псевдоскаляр. А комплексные числа умножаются в комплексное. Собственно, у двумерных векторов евклидового пространства никто не мешает ввести такое «комплексное» умножение, ну и получатся комплексные числа…

Скалярное и векторное псевдоскалярное (или лучше внешнее) произведения нельзя обратить. А произведение комплексных чисел можно. Плюс то, что сказал ewert — выражение остальных двух как $\frac12(z\tilde w + w\tilde z)$ и [исправлено] $\frac1{2i}(z\tilde w - w\tilde z)$. Для этих же двух целей можно использовать алгебру Клиффорда $\mathcal C\ell_2(\mathbb R)$, но там будут объекты трёх видов — скаляры, векторы и псевдоскаляры, тогда как комплексные числа так друг от друга не отличаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Алексей К., да, конечно, и инверсия. В общем, подход, связанный с использованием преобразований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия и комплексные числа.
Сообщение10.03.2014, 17:11 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
arseniiv в сообщении #835082 писал(а):
Плюс то, что сказал ewert — $\frac12(z\tilde w + w\tilde z)$ и $\frac12(z\tilde w - w\tilde z)$.
Ух-ты! Вот это красиво.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group