Планиметрия и комплексные числа.

[arseniiv]

B@R5uk в сообщении #835086 писал(а):

arseniiv в сообщении #835082 писал(а):

Плюс то, что сказал ewert — $\frac12(z\tilde w + w\tilde z)$ и $\frac12(z\tilde w - w\tilde z)$.

Ух-ты! Вот это красиво.

(В алгебрах Клиффорда (по крайней мере, с положительно определённой квадратичной формой) похожие соотношения будут в общем случае и более похожие для произведений именно векторов: $\mathbf a\cdot\mathbf b = \frac12(\mathbf{ab}+\mathbf{ba})$, $\mathbf a\wedge\mathbf b = \frac12(\mathbf{ab}-\mathbf{ba})$.)

[ewert]

B@R5uk в сообщении #835086 писал(а):

Вот это красиво.

Красиво, но не совсем точно и не совсем уклюже: надо $\vec r_1\cdot\vec r_2=\operatorname{Re}(z_1\overline z_2)$ (как у Вас и было) и $\vec r_1\times\vec r_2=\operatorname{Im}(z_1\overline z_2)$ (ну или там с обратным знаком, не помню и не принципиально).

[arseniiv]

ewert в сообщении #835090 писал(а):

но не совсем точно

А что с неточностью? Эквивалентны же. Иногда удобнее не трогать $\operatorname{Re}$ бывает, кажется.

У псевдоскалярного и я мог знак перепутать, но в остальном получится то же.

[ewert]

arseniiv в сообщении #835095 писал(а):

У псевдоскалярного и я мог знак перепутать, это правда.

Да бог с ним, со знаком; а вот мнимая единичка -- лишняя.

[arseniiv]

Ай! На бумаге была, забыл. Спасибо.

[Burzuchius]

Вот ещё одна книга: http://ilib.mccme.ru/djvu/yaglom/compl_num.htm. Кроме обыкновенных комплексных чисел, в геометрии можно применять дуальные и двойные числа. В случае последних скалярное произведение — действительная часть произведения двойных чисел.
А в трехмерном случае можно применить кватернионы Гамильтона. Кватернион — сумма скаляра и вектора.

-- 02.04.2014, 15:51 --

http://www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.pdf