Планиметрия и комплексные числа.

[NNDeaz]

Видел интересное решение некоторых планиметрических задач с помощью комплексных чисел(не векторно-координатным способом).
Все ли планиметрические задачи можно так пробовать решать? Я пока в этом только разбираюсь.

[provincialka]

"Пробовать" - можно.

[Nemiroff]

Понарин, Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах.

[NNDeaz]

Nemiroff в сообщении #834856 писал(а):

Понарин, Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах.

Спасибо, книга как я понимаю единственная в своем роде?

[iifat]

Вряд ли. Суть, как понимаю, в том, что комплексные числа можно изображать векторами. И наоборот. Как планиметрию можно решать аналитической геометрией, так и можно её же комплексными числами.
Вот только с трёхмерным пространством сложности будут...

[Алексей К.]

NNDeaz в сообщении #834906 писал(а):

книга как я понимаю единственная в своем роде?

П.С. Моденов, Задачи по геометрии (у меня --- 1979), глава III, Применение комплексных чисел в планиметрии.

-- 10 мар 2014, 15:46:36 --

(перелистал... не особо понравилось)

[provincialka]

Отличие комплексных чисел от просто векторов в том, что их можно умножать. При этом умножение на постоянное число задает преобразование подобия. Вот тут их польза.

[iifat]

provincialka в сообщении #834997 писал(а):

Отличие комплексных чисел от просто векторов в том, что их можно умножать

Уверен, вам известно не менее двух способов перемножить два вектора. Равно как и умножить вектор на действительное число, задав преобразование подобия.

[ewert]

provincialka в сообщении #834997 писал(а):

При этом умножение на постоянное число задает преобразование подобия. Вот тут их польза.

Не только в этом. Помимо этого, в произведении двух комплексных чисел запрятаны как скалярное, так и векторное произведения соответствующих векторов; это тоже бывает полезно.

[B@R5uk]

iifat в сообщении #835052 писал(а):

Уверен, вам известно не менее двух способов перемножить два вектора.

Векторное произведение существенно привязано к трёхмерности пространства. В двумерном пространстве аналога векторному нету, а в пространствах высокой размерности вообще всё запущено. Обобщить в некотором смысле можно, но "произведением" будет уже не вектор.

Топикстартер пишет о применении комплексных чисел именно к планиметрическим задачам. Эта игра возможна за счёт однозначного соответствия, которое можно установить между векторами и комплексными числами (включая некоторые операции над этими объектами). К трёхмерному пространству и уж тем более к векторному произведению это всё не имеет никакого отношения.

А скалярное произведение через комплексную арифметику пожалуй можно выразить так:

$$\begin{matrix} {{{\vec{r}}}_{1}}=\left\{ {{a}_{1}},{{b}_{1}} \right\} \\ {{{\vec{r}}}_{2}}=\left\{ {{a}_{2}},{{b}_{2}} \right\} \\ \left( {{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}} \right)={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}} \\ {{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i \\ {{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i \\ {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}=\operatorname{Re}\left( {{{\bar{z}}}_{1}}{{z}_{2}} \right)=\operatorname{Re}\left( {{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right) \\ \end{matrix}$$

[Алексей К.]

provincialka в сообщении #834997 писал(а):

При этом умножение на постоянное число задает преобразование подобия. Вот тут их польза.

Не забывайте задачи на инверсию:

$$z'=\frac{R^2}{z-z_0}$$

(в таком виде здесь, кажется, сидят две инверсии: (1) относительно окружности и (2) комплексное сопряжение, т.е. (2) инверсия(симметрия) относительно оси абсцисс).

[nnosipov]

NNDeaz в сообщении #834843 писал(а):

Все ли планиметрические задачи можно так пробовать решать?

Есть довольно широкий класс задач, где такой подход будет вполне успешным. Подробности (в частности, примеры) можно найти вот здесь topic75858.html Разумеется, есть и задачи, где комплексные числа мало чем помогут (например, задачи, связанные с доказательством каких-нибудь геометрических неравенств).

[arseniiv]

iifat в сообщении #835052 писал(а):

Уверен, вам известно не менее двух способов перемножить два вектора. Равно как и умножить вектор на действительное число, задав преобразование подобия.

Но при этом в двумерном пространстве не получится вектор — или скаляр, или псевдоскаляр. А комплексные числа умножаются в комплексное. Собственно, у двумерных векторов евклидового пространства никто не мешает ввести такое «комплексное» умножение, ну и получатся комплексные числа…

Скалярное и векторное псевдоскалярное (или лучше внешнее) произведения нельзя обратить. А произведение комплексных чисел можно. Плюс то, что сказал ewert — выражение остальных двух как $\frac12(z\tilde w + w\tilde z)$ и [исправлено] $\frac1{2i}(z\tilde w - w\tilde z)$. Для этих же двух целей можно использовать алгебру Клиффорда $\mathcal C\ell_2(\mathbb R)$, но там будут объекты трёх видов — скаляры, векторы и псевдоскаляры, тогда как комплексные числа так друг от друга не отличаются.

[provincialka]

Алексей К., да, конечно, и инверсия. В общем, подход, связанный с использованием преобразований.

[B@R5uk]

arseniiv в сообщении #835082 писал(а):

Плюс то, что сказал ewert — $\frac12(z\tilde w + w\tilde z)$ и $\frac12(z\tilde w - w\tilde z)$.

Ух-ты! Вот это красиво.