2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение05.03.2014, 22:32 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Нашел на просторах интернета любопытный факт: неизвестно, является ли число $^4\pi=\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}$ целым. Равзе нельзя посчитать это примерно? Неужели ни один компьютер не может сохранить такое (хоть и действительно большое) число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение05.03.2014, 22:57 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Ни один не может. Только на хранение потребуется четверть эксабайта. Но проблема больше не в хранении, а в вычислении. Потребуется исходное значение $\pi$ как минимум такой же точности, а нынешний рекорд - всего лишь 1 терабайт.

(исправил размер)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение05.03.2014, 22:58 
Заслуженный участник


14/03/10
867
MestnyBomzh в сообщении #833173 писал(а):
Неужели ни один компьютер не может сохранить такое (хоть и действительно большое) число?
ну.. в нем порядка $10^{18}$ цифр.. где-то на грани между "может" и "не может". только кому нужно его считать, что это даст?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение06.03.2014, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Даже если бы его можно было сохранить, и даже посчитать примерно, и даже посчитать точно, и даже посчитать очень-очень-очень точно - это не имело бы никакого отношения к вопросу о том, является ли оно рациональным. (С целым примерно та же фигня.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение06.03.2014, 09:39 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
MestnyBomzh в сообщении #833173 писал(а):
Нашел на просторах интернета любопытный факт: неизвестно, является ли число $^4\pi=\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}$ целым. Равзе нельзя посчитать это примерно? Неужели ни один компьютер не может сохранить такое (хоть и действительно большое) число?

Если бы это примерно подсчитали, на просторах интернета появился бы факт: неизвестно, является ли число $\pi^{\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}}$ целым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение06.03.2014, 11:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Доказать эту гипотезу вычислением нельзя. Потому, что вычисления делаются не с точным (бесконечнозначным) значением $\pi$, а с конечнозначными приближениями. То есть, используя арифметику многократной точности, можно получить вывод, что, взяв n знаков для приближения $\pi$, мы получили результат, отличный от целого на величину, которая может объясняться влиянием ошибки приближения $\pi$. Ну, или отличие от целого будет настолько велико, что списать его на "ошибку в последнем знаке" не получится. Тогда гипотеза будет опровергнута. Какой точности приближения использовали для проверки гипотезы - не вем. Подозреваю, что не миллиард знаков.
Сама по себе задача может быть хороша в учебных (по курсу "вычисления с многократной точностью"), спортивной ("наш университет вычислил с точностью в N знаков, впервые в Верхней Вольтемире!") или рекламных ("новейший суперкомпьютер нашей фирмы вычислил...") целях, польза собственно для математики не просматривается. Впрочем, если будет придуман способ доказать факт целочисленности (или опровергнуть) не тупым счётом, а строго, это может способствовать развитию новых методов, но здесь "Движение - всё, конечная цель - ничто!" в смысле появление новых идей полезно в разных задачах, а сам по себе факт целочисленности никуда не приткнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение07.03.2014, 10:37 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Евгений Машеров в сообщении #833315 писал(а):
То есть, используя арифметику многократной точности, можно получить вывод, что, взяв n знаков для приближения $\pi$, мы получили результат, отличный от целого на величину, которая может объясняться влиянием ошибки приближения $\pi$. Ну, или отличие от целого будет настолько велико, что списать его на "ошибку в последнем знаке" не получится

В таком случае, нельза даже сказать, является ли число $\pi^{\pi}$ целым, так как даже тогда мы будем использовать только некоторые конченые приближения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение07.03.2014, 10:58 


26/08/11
2057
MestnyBomzh в сообщении #833692 писал(а):
В таком случае, нельза даже сказать, является ли число $\pi^{\pi}$ целым, так как даже тогда мы будем использовать только некоторые конченые приближения?
Ну почему же. При достаточной точности...

$\\3.141<\pi<3.142\\
36<3.141^{3.141}<37\\
36<3.142^{3.142}<37\\$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение07.03.2014, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Калькулятор для $\pi^\pi$ даёт значение 36.462159607207911770990826022692
Точность приближения для числа $\pi$ составляет несколько десятков знаков, так что легко показать, что возможная погрешность вычисления существенно меньше, чем отклонение данного результата от целого.
Совсем строго - можно использовать интервальную арифметику. Использовать тот факт, что функция $a^b$ при $a>1$ монотонно возрастающая от b, и при $b>1$ монотонно возрастающая от $a$.
Взяв приближения к $\pi$ с недостатком (скажем, $3.1415$) и с избытком ($3.1416$), получим, что точное значение лежит между $36.4549$ и $36.4628$, так что никак не может быть целым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение11.03.2014, 12:37 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Евгений Машеров в сообщении #833704 писал(а):
Взяв приближения к $\pi$ с недостатком (скажем, 3.1415) и с избытком (3.1416), получим, что точное значение лежит между 36.4549 и 36.4628, так что никак не может быть целым.


Я извиняюсь спросить, вот если я возьму на калькуляторе приближение к $\pi$ с недостатком, скажем
$3.1415926535897932384626433832795$
и с избытком
$3.1415926535897932384626433832805$
то точное значение будет лежать между
$2598761979625197.5214462849737795$
и
$2598761979625197.5214462849738933$
так что никак не может быть целым...
Что я делаю не так? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение11.03.2014, 13:40 


29/09/06
4552
Скобочки не так подразумеваете. Вы сосчитали $\pi^{(\pi^3)}=\pi^{\pi^3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение11.03.2014, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Наверно, Вы считаете что-то иное.
$\pi^\pi=36.462159607207911770990826022692$
(с "калькуляторной точностью")
$\pi^{\pi^\pi}=1340164183006357435.2974491296401$
$\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ будет иметь что-то около 666262452970848504 десятичных знаков.

-- 11 мар 2014, 13:46 --

Скорее всего, у Вас вычисляется $((\pi^\pi)^\pi)^\pi$
А это совсем иное число, и ответ на вопрос о его целочисленности куда тривиальнее.
Показатели степени, если иного не указано скобками, считаются "сверху вниз".

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение12.03.2014, 09:01 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Евгений Машеров в сообщении #835487 писал(а):
Наверно, Вы считаете что-то иное.

Да, это я протупил с точностью до наоборот! :facepalm:
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение12.03.2014, 09:07 
Заблокирован


20/02/14

140
Скорее обезьяна напечатает "Войну и мир", нежели человек создаст целое число из $\pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи в степени пи в степени пи...целое?
Сообщение12.03.2014, 09:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Но почему же, вот целое из $\pi$:
$\lfloor\pi\rfloor=\pi-\{\pi\}=3$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group