ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
А.В. Балуев
В настоящее время [1] известно, что Великая или Большая теорема Ферма (ВТФ) поставлена следующим образом:
x k ≠ z k + y k при k > 2, где х, у, z- целые, положительные, не нулевые, взаимно простые числа, причем z и х - нечетные, а у - четное, k - простое число.
Для k = 2 ВТФ доказана, [1] и имеет следующее решение:
a2 + b2 = с2 при a = 2 u v, b = u 2 - v 2, при этом с = u2 + v2, b и с нечетные числа, а - четное число, u и v любые произвольно взятые числа разной четности.
1. Рассмотрим подробнее решение теоремы для k = 2.
Представим уравнение a 2 + b 2 = с 2 так:
b 2 = c 2 - a 2 = (с – а) (с + а) = (u – v) 2 (u + v) 2, причём с – а = (u – v) 2
c + a = (u + v) 2 (1)
b = u 2 - v 2 = (u – v) (u + v) (2)
Последнее уравнение при u = v + 1, b = (v + 1) 2– v 2 = 2 v + 1, т.е. дает все нечетные числа при v от 1 до бесконечности. Из этого следует, что любое нечетное число в любой степени может быть представлено разностью квадратов определенных чисел.
b k = b k-1 u 2 – b k-1 v 2 = b k-2 c 2 – b k-2 a 2 (3)
Если k - простое число, то примем k = 2n + 1, (кроме k=2), тогда
b 2n+1 = u 2 b 2n – v 2 b 2n = (u b n) 2 - (v b n) 2, (4)
Исходя из вышеизложенного, для доказательства ВТФ достаточно доказать отсутствие решений уравнения b k= х k - у k, где b, х и у взаимно-простые, целые положительные ненулевые числа при k>2, k-простое число.
2. Будем доказывать ВТФ от противного:
Пусть, существуют целые положительные числа - х, у, при которых b k = x k - y k (5), тогда должна выполняться следующая система уравнений:
b = u 2 – v 2 = (u - v) (u + v) = (c - a) 1\2 (c + a) 1\2, причём (u - v) 2= c - a, a
(u + v) 2= c + a,
b 2 = u 2 b – v 2 b = c 2–a 2 = (u - v) 2( u + v) 2 = (c - a) (c + a), (6)
b k = х k- у k= ( u - v) k(u + v) k = (c - a) k\2(c + a) k\2,
b k= u 2 bk-1 - v 2 b k-1 = u 2 b 2n - v 2 b 2n = c 2 b k-2 - a 2 b k-2 (7)
3. Рассмотрим уравнение (1)
b 2 = c 2 - a 2, где c, b - нечетные числа, a - четное число
a, b, c ¬¬– взаимно простые, целые, положительные. с>b, с>а,
тогда c / b = g – натуральная неправильная дробь, g>1,
g2 = c 2/ b 2; с 2 = b 2 g 2, (7)
a 2 = c 2 - b 2 = b 2 g 2 - b 2 = b 2( g 2 - l ) (8)
4. Рассмотрим гипотетическое уравнение (5)
b k = x k- y k, по аналогии с п.3. x / b = t, x k/ b k = t k , x k= b k t k, t>1 (9),
у k = х k – b k = b k (t k -1) (10)
c = b g, x = b t,
5. b = x/ t = c / g, c t = x g,
6.Представим уравнение (9) следующим образом: b k-2 t k c 2/ g 2– b k-2 (t k -1) a 2 / (g 2 – 1) = bk
т.к. c 2/ g 2= b 2 , a 2/(g 2 – 1) = b 2 (12).
7.Разделим последнее уравнение на b k-2, получим:
c 2 t k / g2 – a2 (t k – 1)/ (g 2 – 1) = b 2 = c 2 – a 2 (13)
8.Приведём уравнение (13) к общему знаменателю и решим, раскроем скобки:
c 2 t k g 2 – с 2 t k– a 2 t k g 2 + a 2 g2 = c 2 g 4 – c 2g 2 – a 2 g 4 + a 2 g 2 (14), получаем
t k (c 2 g 2 – c2 – a 2 g 2) = g 2 (c 2 g 2 – c 2 – a 2 g 2), t k /g 2 = (c 2 g 2 – c 2 – a 2 g 2)/(c 2 g 2 – c 2 – a2 g 2) = 0/0, т.к. (c 2 g 2 – c 2 – a 2 g 2) = g 2 (c 2 – b 2 - a 2) = 0, т.к. c 2 = b 2 + a 2. Тогда уравнение (14) можно записать следующим образом: (c 2 g 2 – c 2 – a 2 g 2) (t k – g 2) = 0 (15).Отсюда (t k – g 2) = 0/0, тогда
t k – g 2 = t k/g 2 = g 2/ t k = 0/0. (16) Из этого следует, что t 2k = g 4, а также, что t k g 2 – g 4 = t 2k – t k g 2, т.е. t k = g 2.
Если t k = g 2, то и (t k – 1) = (g 2 – 1), а это значит, что x 2 x k – 2 = c 2 b k – 2, a 2 b k – 2 = y k – 2 y 2.
Это решение не удовлетворяет условию взаимно-простых, ненулевых значениям чисел
a,b,c,x,y, а также основной тереме арифметики о множителях с одинаковыми показателями
степеней. Решение имеется только при k = 2. Для степеней больших двух теорема Ферма
решений не имеет, что и требовалось доказать.
Литература: Постников М.М. «Теорема Ферма» изд. Наука, Москва, 1978г .Балуев Анатолий Владимирович, e-mail:
anladbal@mail.ru, моб.+79045127958
25.02.2014, 12:23 
. 
.