Как численно узнать значение эллиптической функции Якоби в z

[Sychuan]

Здравствуйте!
Я писал програмку на Питоне для построения фазовых графиков разных комплексных функций. В данный момент меня интересует эллиптическая функция Якоби.
Я читал статью в википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/Эллиптические_функции, где дан интеграл

$$ u = \int\limits_{0}^{\varphi }\frac {d\theta} { \sqrt {1-m\sin^2\theta} } $$

и

$$sn u = \sin \varphi$$

Однако, я не могу понять как им воспользоваться. Я понимаю как вычислить контурный интеграл от точки $z_0$ до $z_1$, но как воспользоваться этим интегралом для вычисления значений функции, я не понимаю.
Мне не нужен код на Питоне, но если кто-то пошагово объяснит мне алгоритм, как вычислить приближенно значение функции для точек комплексной плоскости,я буду благодарен.
Математического и программистского образования у меня нет, поэтому я буду рад, если объяснение будет предельно простым.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Sychuan
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ИСН]

Ножницы немного похожи на огурцы, но если их спутать, возможна трагедия. Для чего Вы произносите буквы про контурный интеграл?

[Sychuan]

ИСН в сообщении #827801 писал(а):

Ножницы немного похожи на огурцы, но если их спутать, возможна трагедия. Для чего Вы произносите буквы про контурный интеграл?

Если вы имели в виду, что я перпутал криволинейный интеграл от $z_0$ до $z_1$ и интеграл по замкунтому контуру, то да, я действительно перепутал. Кроме того в последней книжке которую я читал он назывался, кажется path integral и поскольку, в обыденной жизни я никак с этими темами не сталкиваюсь, то и правильный перевод выскочил из памяти. Если вы имели в виду, что-то другое, то, я уже написал, что мои познания в математике весьма скромны, и специально заранее попросил объяснять доходчиво и, весьма бы хотелось, без сарказма, который никак не спосбствует пониманию.

[ИСН]

Я бы указал кратко и без эпитетов, что именно пошло не так, если бы понимал точно, что Вы знаете, а чего не знаете. Но этой информации у меня нет, поэтому будем разговаривать. Скажите, а что такое криволинейный интеграл, чем он отличается от обычного, и как понять, что перед Вами именно он (когда это он)?

[Sychuan]

Если на комплексной плоскости задана кривая C, и в каждой точке $\zeta$ кривой определено значение функции $f(\zeta)$, то можно составить сумму $\sum^{n} _{i=1} {f(\zeta_i^*)\Delta\zeta_i}$, где $\Delta\zeta_i}=\zeta_i-\zeta_{i-1}$, $\zeta_i^*$, произвольная точка i-ой дуги, на которые мы разбили кривую С. Если устремить $\Delta\zeta_i$ к нулю и при этом будет существовать предел сумм, которые написаны выше, который не зависит от того как разбита на частичные дуги кривая, ни от того, какие выбраны $\zeta_i^*$, то и будет это криволинейный интеграл $\int_C{f(\zeta)d\zeta}$.
В моем бытовом и нестрогом понимании, это когда вы рисуете на комплексной плоскости какую-то кривую, разбиваете ее на бесконечномаленькие кусочки, на каждом кусочке выбираете случайную точку и узнаете в нем значаение функции , затем перемножаете разность точек на концах бесконечномалого кусочка на значение функции в точке и так для каждого кусочка, потом все суммируете и получается определенный интеграл функции по некоторой кривой. Очень похоже на мой взгляд на обычный интеграл Римана.
Вы можете считать, что я не знаю ничего. Это будет полезнее и наверное быстрее. Тем более, что интеграл в определении эллиптической функции на это совсем не похож (для меня). Я не понимаю его записи и что нужно по чему считать, чтобы найти значение функции.

[Ms-dos4]

Контурный интеграл тут ни при чём.
Идея определение такая же, как и с тригонометрическими функциями. Т.е. возьмём интеграл $\[u = \int\limits_0^\varphi {\frac{{d\theta }}{{\sqrt {1 - {\theta ^2}} }}} \]$ и будем рассматривать функцию $\[\varphi (u)\]$. Её называют синусом, т.е. $\[\varphi = \sin u\]$. Так же и тут. Рассматриваем интеграл $\[u = \int\limits_0^\varphi {\frac{{d\theta }}{{\sqrt {1 - {k^2}{{\sin }^2}\theta } }}} \]$ и функцию $\[\varphi (u) = {\mathop{\rm am}\nolimits} u\]$ (т.н. "амплитуда"). Эллиптическим синусом называется функция $\[{\mathop{\rm sn}\nolimits} u = \sin \varphi = \sin ({\mathop{\rm am}\nolimits} u)\]$.

Теперь по поводу вычисления. Я не специалист в этом, но если я не ошибаюсь разложение в ряд для эллиптических функций даёт хороший результат. Так же если у вас в программе фигурируют тета-функции, эллиптические синусы/косинусы и пр. можно определить как их отношения.

[Sychuan]

Ms-dos4 в сообщении #827898 писал(а):

Теперь по поводу вычисления. Я не специалист в этом, но если я не ошибаюсь разложение в ряд для эллиптических функций даёт хороший результат. Так же если у вас в программе фигурируют тета-функции, эллиптические синусы/косинусы и пр. можно определить как их отношения.

А вот теперь я понял, что это за интеграл. Все вроде стало на свои места более менее.Т.е. если я вычислю $\[ \int\limits_0^\varphi {\frac{{d\theta }}{{\sqrt {1 - {k^2}{{\sin }^2}\theta } }}} \]$ для некоторого угла $\varphi$ и получу $u$ , то моя функция будет $f(u)=\sin\varphi$?
А какой ряд? В Википедии нету и вообще я не видел. Тета функции и другие, которые вы назвали, я также не умею пока вычислять (во всяком случае у мнея не получалось воспроизвести те картинки, которые я видел в книгах и вики) и стандартной их имплементации в Питоне нету.

[Евгений Машеров]

Если Вы решили ограничиться в качестве источника информации Википедией (говорят, есть и другие..., например, "Справочник по специальным функциям" Абрамовица и Стигана, где кое-что полезное Вы найдёте в п. 16.4, стр. 383, даю по изданию М.: Наука, 1979), то, не найдя в русскоязычной её версии, стоит обратиться к иноязычным версиям (в данном случае в англо-Вики )
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_elliptic_functions
где есть разложение в ряды Ламберта.

[sergei1961]

Неплохо также обратиться к NIST.

[Sychuan]

Евгений Машеров в сообщении #828050 писал(а):

Если Вы решили ограничиться в качестве источника информации Википедией (говорят, есть и другие...,

Говорят, что специализированные форумы, как раз и существуют для того, чтобы сократить время на поиск источников информации. Скажем, здесь http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/special.htm, я насчитал минимум 9 книг, где теоретически может быть ответ на интересующий меня вопрос. Кроме того, я думаю, книг на тему эллиптических функций существует много сотен. Особенно если еще подключить и английский язык. Причем написаны они для людей с весьма разным уровнем знания и понимания математики.
Надеюсь, ваши подсказки мне пригодятся. В книге, которую вы назвали при беглом просмотре дается, судя по названию, достаточно доступный для гуманитария алгоритм. Ряды Ламберта на первый взгляд, тоже вроде смогу осилить, хотя пока не уверен.

Цитата:

Неплохо также обратиться к NIST.

Что такое NIST?

[Евгений Машеров]

Этот форум в значительной степени учебный, и правилами давать готовое решение запрещено (вплоть до наложения взысканий на доброхота). Поэтому обычная модальность ответа - ссылки на литературу и уточняющие вопросы.
Кроме того, должен предупредить, что человек, нечётко понимающий, о чём спрашивает, и/или употребляющий неверные термины, тем самым становится объектом шуток, иногда и недобрых. Постарайтесь воспринять это, как форму здоровой критики, поправьте свои ошибки. Иногда хорошо бывает отшутиться в ответ.

-- 19 фев 2014, 09:52 --

Ну и повторю совет общего порядка. Википедия не есть наилучший источник информации, а русский ея извод - не лучший в Википедии. Как минимум, не найдя в русской Вики, стоит взглянуть в английскую (и вообще - ссылки на источники в статьях Вики полезнее самих статей, хотя труда потребуется больше)