2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Если число есть сумма квадратов ?
Сообщение13.06.2007, 19:15 
Верно ли утверждение:
Если число есть сумма квадратов целых чисел и его можно представить в виде произведения двух других чисел ( т.е. это число не является простым ) , то каждый из сомножителей также должен являться суммой квадратов некоторых целых чисел.

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 19:39 
$n=1^2 + 1^2 + \dots + 1^2$

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 19:50 
Я имел ввиду сумму двух чисел, которые и являются квадратами:
$C=A^2 + B^2$
Где в утверждении стоит слово сумма, там говорится лишь о двух слагаемых.

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 19:58 
Аватара пользователя
$45 = 36 + 9$
также $45 = 9\cdot 5$
и что, 9 является суммой двух квадратов?
Или нулевые слагаемые можно?
Давайте Вы допишете сразу все пропущенные пункты в условии.

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 20:16 
Цитата:
Давайте Вы допишете сразу все пропущенные пункты в условии.


Явно пропущенным условием является следующее:
число есть сумма двух квадратов целых чисел, не имеющих общего делителя. Или это называется взаимно-простые числа, поправьте меня?

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 21:15 
Аватара пользователя
Натуральное число $n$ можно представить в виде суммы двух квадратов взаимно простых целых чисел тогда и только тогда, когда $n$ не делится на 4 и не имеет простых делителей вида $p\equiv3\pmod4$. Поэтому утверждение с этой поправкой таки да, верно.

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 21:28 
"Поэтому утвержение с этой поправкой таки да, верно."

RIP, моя формулировка не совсем полная? Или имеется ввиду поправка на взаимную простоту.

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 21:37 
Аватара пользователя
Утверждение
yk2ru писал(а):
Если число есть сумма квадратов целых чисел и его можно представить в виде произведения двух других чисел ( т.е. это число не является простым ) , то каждый из сомножителей также должен являться суммой квадратов некоторых целых чисел.

очевидно, неверно, поскольку $9=3^2+0^2$ и $9=3\cdot3$, однако 3 не является суммой двух квадратов (вообще, натуральное число $n$ представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые делители числа $n$ вида $p\equiv3\pmod4$ делят $n$ в чётной степени).

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

Да, я имел в виду поправку на взаимную простоту.

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 21:53 
К числу 25 ваши рассуждения также относятся?
$25 = 5\cdot5$ и $25 = 3^2 + 4^2$
3 и 4 - взаимно просты.

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 21:56 
Аватара пользователя
yk2ru писал(а):
К числу 25 ваши рассуждения также относятся?
$25 = 5\cdot5$ и $25 = 3^2 + 4^2$
3 и 4 - взаимно просты.

$5=1^2+2^2$, 1 и 2 взаимно просты. И чё? Какие рассуждения Вы имеете в виду?

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 21:59 
Число $5$ есть число вида $p\equiv3\pmod4$ ?
Или я что-то не так понял?

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 22:01 
Аватара пользователя
yk2ru писал(а):
Число $5$ есть число вида $p\equiv3\pmod4$ ?
Или я что-то не так понял?

$5\equiv1\not\equiv3\pmod4$.

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 22:10 
Цитата:
натуральное число $n$ представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые делители числа $n$ вида $p\equiv3\pmod4$ делят $n$ в чётной степени.


Я неправильно понял это утверждение? У числа 25 просто нет таких делителей и оно автоматически является суммой двух квадратов?

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 22:13 
Аватара пользователя
yk2ru писал(а):
У числа 25 просто нет таких делителей и оно автоматически является суммой двух квадратов?

Да.

 
 
 
 
Сообщение13.06.2007, 22:18 
А пресловутое число $9$? $3$ является делителем и в чётной степени присутствует в числе $9$.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group