Замыкание множества в пространстве L1[0;1]

[Andrey_Pavlovich]

Здравствуйте. Прошу подсказать в следующем вопросе: Каково замыкание множества полиномов $p=p(t): p(0)=0$ в пространстве $L_1[0;1]$?
Сначала думал на этом компакте приблизить такими многочленами некоторую непрерывную функцию, т.ч. $f(0)=0$, но тогда как ее в нуле приближать многочленами?!и мешает норма в $L_1$.
Может тогда доказать, что оно всюду плотно в $L_1$(для любого многочлена $p(0)=0, p(t)$: рассмотрим последовательность $p_n(t) = (1-t^n)(p(t))$, она удовлетворяет условию $p_n(0)=0$ и сходится к $p(t)$)-тогда замыкание будет совпадать со всем этим множеством?

[Otta]

А Вы оставьте в стороне пока ограничение на значение многочлена в нуле. Пусть просто множество многочленов. Какое у него замыкание?
Обе Ваши попытки куда-то двигаться могли привести к успеху, но настолько невнятны, что сами себе противоречат.
Например:

Andrey_Pavlovich в сообщении #817714 писал(а):

что оно всюду плотно в L1(для любого многочлена p(t): p(0)=0 рассмотрим последовательность $p_n(t) = (1-t^n)(p(t))$, она удовлетворяет условию p_n(0)=0 и сходится к p(t))-тогда замыкание будет совпадать со всем этим множеством?

Это Вы что доказываете? Замкнутость множества многочленов или таки его всюду плотность в $L_1$?

Andrey_Pavlovich в сообщении #817714 писал(а):

Сначала думал на этом компакте приблизить такими многочленами некоторую непрерывную функцию, т.ч. f(0)=0, но тогда как ее в нуле приближать многочленами?!и мешает норма в L1.

Тоже хороший вариант (автономно), но почему "компакте"? Норма в $L_1$ ничему не мешает, надо знать ее свойства, вернее, свойства сходимости в среднем и ее взаимосвязь с другими видами сходимости. И конечно, этот шаг - еще не все решение.

И оформляйте все формулы $\TeX$ом, пожалуйста.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Andrey_Pavlovich
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Поменял в формулах $L^1$ на $L_1$ и вернул.

[ewert]

Andrey_Pavlovich в сообщении #817714 писал(а):

Сначала думал на этом компакте приблизить такими многочленами некоторую непрерывную функцию, т.ч. $f(0)=0$, но тогда как ее в нуле приближать многочленами?!

Выберите в качестве прокладки непрерывно дифференцируемые функции, равные нулю в нуле. Для таких функций $\frac{f(x)}x$ по Вейерштрассу равномерно приближается многочленами и, следовательно, сама $f(x)$ равномерно приближается многочленами, равными нулю в нуле.

[Otta]

ewert
Зачем это все с учетом основного пространства, для которого функции, отличающиеся на множестве нулевой меры, есть одно и то ж?

[ewert]

Ну надо же как-то формально бороться с граничным условием на многочлены. По-моему, так от него отмахнуться проще всего.

[Oleg Zubelevich]

Допустим мы всетаки знаем, что пространство многочленов плотно в $L^1[0,1]$. Пусть $f\in L^1[0,1]$ и $f_n\to f$ -- последовательность многочленов ,которая сходится в $L^1$.

проверьте, что $f_n(x)((x-1)^{2n+1}+1)\to f$

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #817826 писал(а):

рассмотрим последовательность многочленов $f_n(x)((x-1)^{2n+1}+1)$

Тогда уж $f_n(x)(1-(1-x)^{n})$ -- любая экзотика хороша в меру.

-- Ср янв 22, 2014 14:22:17 --

Конечно, правильный. Но несколько вычурный.