2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 11:42 


17/01/14
8
На складе стоят два стеллажа с товаром одного вида количеством $n$ штук в каждом. Работник склада произвольно выбирает стеллаж и забирает единицу товара. Найти вероятность того, что в момент опустошения первого стеллажа на втором останется ровно $k$ единиц товара.
У меня два возможных варианта формулы, но оба скорее всего неверные:
1) $\frac{C^n_{2n+k}}{2^{2n+k}}$
2) $\frac{C^n_{2n-k}}{C^k_{n-k}}$
Буду очень рад, если кто-нибудь объяснит:(

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Хочу уточнить условие: какой стеллаж считается "первым": тот, что стоит слева (условно говоря), или тот, который первым освободится?
Будем считать, что номер стеллажа фиксирован. Можно рассуждать так. Одно взятие предмета - это случайный эксперимент. Случайность состоит в том, какой именно стеллаж выберет работник, а "успех" - в том, что будет выбран второй стеллаж. Вероятность этого есть 0,5. Ничего не напоминает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 13:36 


17/01/14
8
provincialka

Первый тот, с которого первый раз взяли. Он первым будет до самого своего опустошения. Не совсем понял, вероятность чего я должен найти по условию, ведь говорится о единицах, которые в стеллажах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Estiva в сообщении #815595 писал(а):
Первый тот, с которого первый раз взяли.
Это уже третий вариант постановки задачи. Давайте все же считать пока, что первый тот на котором было заранее написано 1. Будем следить только за вторым стеллажом. Вот подошел работник, взял товар. С нашего стеллажа или нет? То да, то нет. Это схема Бернулли. Сколько будет попыток? Сколько успехов? Чему равно $p$?

Когда это решите, подумайте над модификациями. Что изменится,если номер стеллажа выбирается после первой попытки? После опустошения одного из стеллажей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 13:59 


17/01/14
8
Только начали в вузе проходить теорию вероятностей, пока не всё понимаю, что вы пишете. Допустим было по 3 предмета каждом стеллаже изначально, вероятность, что работник выберет первый стеллаж и уменьшит число предметов в нём - 0,5. Дальше вероятность сохраняется, и если он три раза подряд с этой вероятностью выбирал первый стеллаж, то первый опустел, а во втором осталось 3 ($n=k$ по условию). Как выразить формулой это? Пошел читать про схемы Бернулли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Estiva в сообщении #815603 писал(а):
Пошел читать про схемы Бернулли.

Бог в помощь. Если только начали изучать, вряд ли постановка задачи отличается от той, что предложила решать я. Это самый простой вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 14:21 


17/01/14
8
provincialka

Попробовал прорешать. $P_n(k) = C(n,k)p^{k}q^{n-k}$
$p = 0.5$
$q = 1-0.5 = 0.5$
$P_n = C(n,k)/2^n$
Если подставить, к примеру, $n = 4, k = 1$ (по 4 предмета изначально, и найти вероятность того, что на втором останется 1 предмет, когда первый опустеет), то вероятность получается 0,25. Правильно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ошибка в обозначениях. Вы не ответили на мои вопросы:
provincialka в сообщении #815598 писал(а):
Сколько будет попыток? Сколько успехов?

Ваши $n,k$ - не обязательно те же, что в теории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 14:28 


17/01/14
8
provincialka в сообщении #815623 писал(а):
Ошибка в обозначениях. Вы не ответили на мои вопросы:
provincialka в сообщении #815598 писал(а):
Сколько будет попыток? Сколько успехов?

Ваши $n,k$ - не обязательно те же, что в теории.

Попыток будет 2n. Успехов - не уверен, половина, вроде...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Неверно, не $2n$. Сколько единиц товара будет взято к тому моменту, когда один стеллаж опустеет, а в другом останется $k$ предметов? Сколько раз будет подходить к стеллажам продавец?

-- 17.01.2014, 16:00 --

Так, похоже, я вас обманула! Это не схема Бернулли, ведь число опытов не постоянно! Еще подумаю

-- 17.01.2014, 16:22 --

Ага, вот как! Это в некотором смысле Бернулли, только событие рассматривается другое: число неудач до первых $r$ удач. Называется "отрицательное биномиальное распределение".
Можно рассматривать попытку как один подход к стеллажам, успех - взять предмет из первого. Сколько раз это должно произойти? А число неудач - это число предметов, взятых из второго стеллажа. Сколько их?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 17:09 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Estiva,
Индексы и степени пишутся так: A^{123}_{\max} $A^{123}_{\max}$, биномиальные коэффициенты - как \binom{n}{k} $\binom{n}{k}$.
Оформлять нужно все формулы и термы.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Некоторые формулы поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Лучше не заморачиваться с распределениями, а просто описать конкретное событие. Пусть событие $A$ - деталь из первого стеллажа, $\overline A$ - деталь из второго стеллажа. Что должно произойти? Всего $(2n-k)$ попыток, $n$ раз $A$ и $(n-k)$ раз $\overline A$. Причем последняя должна быть $A$, иначе стеллаж опустошился бы раньше. Предыдущие распределяются как $(n-1)$ раз $A$ и $(n-k)$ раз $B$. То есть вероятность (как в биномиальном законе) $P(n-1+n-k,n-k)$ надо умножить еще на $\frac12$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 18:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Совершенно согласен. :P
Интересно, когда один стеллаж опустошился, вероятность отклоняется от «биномиальной» (влияет то, что у кладовщика нет выбора), но за один шаг до опустошения биномиальная формула ещё применима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
svv, эта задачка мне понравилась, надо где-нибудь использовать. Как-то привыкаешь к биномиальному распределению, а другие, связанные со схемой Бернулли, выпадают из внимания.
Но если
Estiva в сообщении #815603 писал(а):
Только начали в вузе проходить теорию вероятностей
то задачка крутовата. Хотя, что значит - только что? Заочник, что ли? Вроде сейчас сессия... :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите понять задачу и найти формулу
Сообщение17.01.2014, 19:01 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
И мне понравилась. Я для неё красивый граф состояний нарисовал, с вероятностями переходов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group