Я не понимаю, почему плотность вероятности угла в "случайном направлении" будет 1/Пи, а не 1/2Пи (это необходимо, чтобы ответ сошелся с тем, что в учебнике).
Задача: Равнобедренный треугольник образован единичным вектором в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном направлении. Найти функцию распределения третьей стороны в двухмерном пространстве.
Решение
В обоих случаях:
|a|=|b|=1;
|c|^2=1+1-2cosα=2-2cosα;
|c|=2|sin α/2|=2sin α/2; - для α∈[0;2π].
Пусть α имеет функцию распределения F_α (t) и плотность распределения f_α (t). Тогда случайная величина 2sin α/2 имеет функцию распределения:
F_(2sin α/2) (t)=P(2sin α/2<t)=P(sin α/2<t/2)=P(α/2<arcsin t/2)=P(α<2arcsin t/2)=F_α (2arcsin t/2)=∫_(-∞)^(2arcsin t/2)▒〖f_α (t) 〗.
Напомню, мы согласно условию задачи рассматриваем α∈[0;2π]. То есть зная плотность или функцию распределения исходного распределения (угла между положительным направлением оси абсцисс и случайным направлением с вершиной в начале исходного вектора), мы можем найти плотность или функцию распределения конечного распределения. Поскольку нам было сказано, что направление выбирается «случайно», то за плотность распределения исходного распределения можно взять 1/π (на рассматриваемом промежутке), тогда за функцию распределения исходного распределения, соответственно, – t/π (на рассматриваемом промежутке). Отсюда имеем результат:
F_(2sin α/2) (t)=∫_(-∞)^(2arcsin t/2)▒〖f_α (t) 〗=∫_0^(2arcsin t/2)▒1/π dt=2/π arcsin t/2.
Ответ: 2/π arcsin t/2.
Большое спасибо всем, кто возьмёт на себя труд объяснить мне такие простые вещи!
07.01.2014, 19:44 
.
ом