Почему из лжи следует истина в таблицах истинности?

[Sender]

Евгений Машеров в сообщении #1261754 писал(а):

доказательством никак не является

Ну почему же, если обычную арифметику дополнить противоречащим ей утверждением, то полученная теория будет содержать любое утверждение, какое только можно сформулировать на языке данной теории, нет?

randy в сообщении #1261703 писал(а):

Но ведь высказывание $Q$ могло бы быть $2=7$, тогда данное решение не сработало бы

Дано:

$$1=5 \eqno{(1)}$$

Вычтем $1$ из обеих частей равенства:

$$0=4 \eqno{(2)}$$

Поделим на $4$:

$$0=1 \eqno{(3)}$$

Сложим $(1)$ и $(3)$:

$$1=6 \eqno{(4)}$$

Прибавим к обеим частям по $1$:

$$2=7 \eqno{(5)}$$

$\qed.$

[randy]

Евгений Машеров в сообщении #1261754 писал(а):

Откуда задача-то? Покамест впечатление, что это не более чем шутка

Р.Хаггарти - Дискретная математика для программистов, стр. 26, пример 2.4

[Евгений Машеров]

Посмотрел. Не могу расценивать иначе, как шутку "для оживляжа". Тем более, что это не теорема, а "пример".

[arseniiv]

randy в сообщении #1261703 писал(а):

Но ведь высказывание $Q$ могло бы быть $2=7$, тогда данное решение не сработало бы

Не обязательно пользоваться арифметическими аксиомами или теоремами, доказать которых нельзя без использования арифметических аксиом, чтобы вывести из лжи что угодно. Это чисто логическая теорема (в классической и многих других логиках, хотя не всех, но остальными редко пользуются — и как основанием для обычной математики, кажется, практически никогда). У неё есть даже хитрое латинское название ex falso quodlibet.

[AAA1111]

Подниму старую тему, что бы не создавать почти такую же. Я тоже не понимаю почему в математической логике принято считать, что из $(2+2=5) \Rightarrow (2+2=4)$, а ещё не понимаю, почему $(2+2=5) \Rightarrow (2+2=3)$.
В чём польза, если считать такие выражения истинными?

Почитал две темы об этом, но так и не понял пока с первого раза.
Может я путаю смысл разных знаков?
$\Rightarrow$ и $\to$ означают одно и то же?

[arseniiv]

AAA1111 в сообщении #1305852 писал(а):

Может я путаю смысл разных знаков?
$\Rightarrow$ и $\to$ означают одно и то же?

Бывает по-разному. Обычно авторы выбирают только один из них для обозначения импликации и последовательно им пользуются, но и второй может находить использование (в книгах по матлогике для чего-нибудь подобного, в обычных для чего-нибудь совсем иного).

AAA1111 в сообщении #1305852 писал(а):

Я тоже не понимаю почему в математической логике принято считать, что из $(2+2=5) \Rightarrow (2+2=4)$, а ещё не понимаю, почему $(2+2=5) \Rightarrow (2+2=3)$.
В чём польза, если считать такие выражения истинными?

В тех темах не было примера $x<2\Rightarrow x<4$? Это утверждение не должно вызывать сомнений, так что и при подстановке конкретных значений должны получаться истинные. Два из них будут как у вас.

Вообще там где-то был и пост о том, что все остальные бинарные булевы функции не подходят на роль импликации — то конъюнкция выходит, то эквивалентность, то ещё какая бурда.

[AAA1111]

arseniiv в сообщении #1305880 писал(а):

В тех темах не было примера $x<2\Rightarrow x<4$? Это утверждение не должно вызывать сомнений, так что и при подстановке конкретных значений должны получаться истинные. Два из них будут как у вас.

Вообще там где-то был и пост о том, что все остальные бинарные булевы функции не подходят на роль импликации — то конъюнкция выходит, то эквивалентность, то ещё какая бурда.

Был по сути такой же пример. Я понимаю, что при подстановке конкретных значений получаются истинные в принятом данной математической логикой смысле.
И понимаю, что если сделать таблицу истинности такой как мне подсказывает мой здравый смысл и интуиция, то таблица истинности у импликации получится такая же как и у конъюнкции.
Но это мне кажется недостаточным поводом отказываться от этого. Может быть потому, что я путаю по смыслу импликацию и логическое следование? Привык наверно к логическому следованию, и потому трудно теперь перестроиться с метаязыка на язык математических операций.

Имеют ли импликация и логическое следование такие различия:
Импликация используется в смысле логической операции. Результат которой может соответственно принимать значения истинности или ложности.
А логическое следование используется как часть метаязыка, и всегда подразумевает только истинность высказывания $A \Rightarrow B$.
?

-- 20.04.2018, 17:49 --

Импликация не переводится на бытовой язык как - необходимо следует?
Ведь когда $A = (2+2=5)$, то в выражение $A \to B$ вместо $B$ можно подставить что угодно, какую угодно ерунду.
В том числе и противоречащую $B$. И оно останется всё равно истинным.

[arseniiv]

AAA1111 в сообщении #1305885 писал(а):

Имеют ли импликация и логическое следование такие различия:
Импликация используется в смысле логической операции. Результат которой может соответственно принимать значения истинности или ложности.
А логическое следование используется как часть метаязыка, и всегда подразумевает только истинность высказывания $A \Rightarrow B$.
?

Не совсем. Импликация — логическая связка, т. е. рождает из двух высказываний $\varphi,\psi$ новое высказывание $\varphi\to\psi$. Любое высказывание, без разницы как образованное, имеет логическое значение, но в общем случае это значение зависит от (1) интерпретации — того, какой смысл мы придаём внелогическим символам типа ${+},{-},{<},{\in},\ldots$ и (2) оценки — набора значений входящих в него переменных. Высказывания, которые истинны несмотря ни на что, зовут общезначимыми; метатеоретическое утверждение «$\varphi$ общезначимо» записывается $\vDash\varphi$.

Логическое следование $\Gamma\vDash\varphi$ высказывания $\varphi$ из набора высказываний $\Gamma$ — это отношение, действительно, тоже метатеории, и оно для конкретных высказываний выполняется ровно тогда, когда для любой интерпретации и оценки, на которых все высказывания из $\Gamma$ истинны, истинно и $\varphi$. Если множество $\Gamma$ конечно, и $\bigwedge\Gamma$ — конъюнкция всех его элементов, то $\Gamma\vDash\varphi$ равносильно $\vDash\bigwedge\Gamma\to\varphi$. Это та связь, которая есть между логическим следованием и импликацией.

AAA1111 в сообщении #1305885 писал(а):

Импликация не переводится на бытовой язык как - необходимо следует?

Ну почему же не переводится. Только в этой конструкции «необходимо» уже лишнее, оно не добавляет ничего нового. Обычное его место — в выражениях типа «для $\varphi$ необходимо $\psi$» (это тоже $\varphi\to\psi$) или там «…необходимо и достаточно…» (тогда импликации в обе стороны).

Однако тут надо заметить, что одно и то же выражение естественного языка может значить разное при формализации (на то он и не формальный!). Иногда мы вполне можем неявно залезать в метаязык, а без этого получится бессмыслица. Иногда нет. Например, когда мы говорим «если $x>2$, то $x>4$», мы не просто обращаем внимание на утверждение $x>2\to x>4$ — мы подразумеваем, что оно истинно при любой оценке в той интерпретации, которая нас интересует. Это можно понимать и как некоторый ограниченный вариант логического следствия (потому что смысл будет одинаковый, хоть выражение и другими понятиями). Ещё это можно понимать как обычное логическое следствие $\mathcal A\vDash x>2\to x>4$, где $\mathcal A$ — множество (аксиом), моделью* которого является только интересующая интерпретация (или сколько-то разных, но все они нам одинаково нравятся). NB: Обычно такими вопросами не заморачиваются, и всё прекрасно идёт само по себе как надо.

* Модель множества высказываний — это интерпретация, в которой все они истинны (при любой оценке; вообще обычно аксиомы берут замкнутыми — не имеющими свободных переменных — тогда значение не будет зависеть от оценки).

Что-то я уверен, что это уже было кем-то переписано сюда не раз. Может, вы плохо искали?

[AAA1111]

grizzly в сообщении #1010656 писал(а):

Я бы девятикласснику рекомендовал с теоремой Гёделя (раз уж это явный мотивирующий фактор) знакомится по книгам Р.Смаллиана ("Как же называется эта книга?" и др., и вообще с этого начинать подбираться к логике).

Прочитал эту рекомендацию в другой теме, скачал книжку, и вот приведу пару цитат оттуда:

Р.М. Смаллиан, "Как же называется эта книга?" писал(а):

Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим следующее высказывание:

Если Джон виновен, то его жена виновна. $(1)$

Р.М. Смаллиан, "Как же называется эта книга?" писал(а):

правильно ли утверждать, что высказывание $(1)$
ложно лишь в том случае, если Джон виновен, а его жена не виновна? Если
связку "если ... , то ... " понимать так, как это делают большинство
логиков, математиков и других ученых, то на наш вопрос следует ответить
утвердительно. Мы также будем придерживаться общепринятого соглашения.

Я правильно понимаю, что такая оценка истинности высказываний распространяется в науке и далеко за пределы математической логики?

Например, рассмотрим такое моё высказывание $(2)$:
Если человек пукнет на Марсе (планете Марс), то через секунду после этого все люди увидят розовых летающих единорогов появившихся перед ними из вакуума.

Пока ещё человек не пукал на Марсе. Значит высказывание $(2)$ истинно.
Но согласны ли с такой оценкой физики?
Вот, например, если я Munin спрошу, то он согласится с такой оценкой?

Высказывание $(2)$ составлено по аналогии вот этого примера:

svv в сообщении #805556 писал(а):

Допустим, я с кем-то заключаю пари, утверждая, что $A\to B$ (если проедет троллейбус, то номер его маршрута будет четным).

[arseniiv]

AAA1111 в сообщении #1306292 писал(а):

Я правильно понимаю, что такая оценка истинности высказываний распространяется в науке и далеко за пределы математической логики?

Да. В некотором смысле это единственный способ понимания импликации, истинность которой зависит только от истинностей её посылки и заключения («материальной импликации», философскими словами). Так что она снискала в умах много почёта.

AAA1111 в сообщении #1306292 писал(а):

Но согласны ли с такой оценкой физики?
Вот, например, если я Munin спрошу, то он согласится с такой оценкой?

Как вы помните, утверждение не обязательно истинно или ложно независимо от всего, а зависит от интерпретации. Если говорить о физике, интерпретациями физической теории в таком смысле являются разные возможные вселенные (включая нашу, но по определённым причинам мы не можем ткнуть в неё пальцем, т. е. узнать о ней сразу всё, хотя это и так очевидно, но есть и более осмысленные усиления этого утверждения). Кроме того, удобнее говорить об «истинности с данной точностью» (сформулировать всё в терминах обычной истинности я не решусь, и вряд ли это кому-нибудь нужно).

В итоге мы просто не можем говорить об истинности с абсолютной точностью и конкретно в нашей Вселенной. Мы должны указать точность и должны выбрать более объемлемый пучок вселенных — например, взяв только те, которые описываются с данной точностью какой-то выбранной физической теорией. Кроме того нам ещё нужно знать какие-то факты (что такое человек, Марс и т. п.), так что мы добавим их определения (допустим, мы их имеем точные и удовлетворяющие всех нас) в этой теории (надо будет взять достаточно хорошую, во вселенных которой могут существовать люди и Марс).

Возьмём какую-то рукомахательную «бытовую точность» и мейнстримные на сегодня физические теории. Во всех вселенных, которым они удовлетворяют, ваше утверждение тогда будет несомненно ложно — во всех из них, где люди попадут на Марс, никаких единорогов они указанным способом вызвать не смогут.

-- Вс апр 22, 2018 17:28:49 --

Иногда все эти сложности с физикой очень сильно упрощают, и тогда можно получать всякие модальные логики, темпоральные логики и прочее, это чисто математические описания, абстрагированные от того, что математика потрогать непосредственно не может (Вселенную), и от необходимости конечной точности (это очень сильно усложнит формализацию, если мы хотим сделать её осмысленной, ибо никакой объективной меры точности, применимой абсолютно ко всем естественнонаучным теориям, у нас нет).

[AAA1111]

arseniiv, спасибо за помощь.

Мне кстати ещё вот эта тема очень помогла кое-что прояснить:
Логическое следование

И ещё немного вот эта:
Мат. логика: импликация

arseniiv в сообщении #1306393 писал(а):

В итоге мы просто не можем говорить об истинности с абсолютной точностью и конкретно в нашей Вселенной.

Но боюсь, если я у Munin спрошу по поводу истинности/неистинности высказывания $(2)$, то он мне ответит довольно просто и однозначно (впрочем как и большинство физиков этого форума, наверно).
А именно скажет, что это высказывание просто бред.

Кстати, как Вы оцениваете релевантную логику?

[arseniiv]

Никак, я о ней практически ничего сейчас не знаю.

AAA1111 в сообщении #1306402 писал(а):

Но боюсь, если я у Munin спрошу по поводу истинности/неистинности высказывания $(2)$, то он мне ответит довольно просто и однозначно (впрочем как и большинство физиков этого форума, наверно).
А именно скажет, что это высказывание просто бред.

Ну, во-первых, физики стараются говорить только о том, что имеет отношение к нашей Вселенной, используя все известные о ней данные по умолчанию и все хорошие теории практически тоже по умолчанию. Так что мои предположения, явные здесь, у них обычно не нуждаются в оговаривании. Во-вторых, если сделать парочку полезных предположений — например, о том, что теории не ломаются внезапно в будущем просто так, что они могу себе позволить быть математически элегантными (если можно о таком говорить и это не наше искажение восприятия) и т. п., то, действительно, можно будет сказать не просто «это ложно», а «это ложно по совершенно очевидным причинам, никаких механизмов подобного не известно и с полной вероятностью не существует», т. е. в экспрессивной форме «это бред» (хотя такое высказывание может обозначать и просто некорректность утверждения (и потому это, не имея возможность быть истинным или ложным, формально вообще не утверждение), а не то, как здесь, что оно формально корректно, но никаким разумным выводом получаться не должно).

[epros]

AAA1111 в сообщении #1306402 писал(а):

Кстати, как Вы оцениваете релевантную логику?

Я вот не очень высоко оцениваю. Потому что такая важная вещь, как $\alpha \to (\beta \to \alpha)$ объявляется парадоксом. Соответственно, и куча других важных вещей, начиная с теоремы дедукции и заканчивая законом непротиворечия, идут лесом. И всё это из-за чего? А всего лишь из-за того, что кому-то показалось "нерелевантным", что $2 \times 2 = 4$ следует из "Завтра будет дождь" (при условии верности аксиом арифметики, конечно).

[AAA1111]

Всё-таки неясности у меня остались, и не дают покоя. Поэтому спрошу ещё.

epros в сообщении #1307600 писал(а):

Я вот не очень высоко оцениваю.

А физики какой логикой пользуются? Насколько я понял, с классической логикой они не согласны, если считают бредом то, что классическая логика считает истиной.
Релевантная логика тоже не очень, и вообще с ней мало кто знаком?
Может спросить в физическом разделе?

[Mikhail_K]

AAA1111 в сообщении #1309822 писал(а):

Насколько я понял, с классической логикой они не согласны, если считают бредом то, что классическая логика считает истиной.

Откуда Вы это поняли?
Надеюсь, Вы здесь не про квантовую механику и не про "корпускулярно-волновой дуализм"? Потому что это очень вредный миф, что квантовая механика (да и вообще физика) пользуется какой-то особой логикой. Логика там самая классическая.

AAA1111 в сообщении #1306292 писал(а):

Если человек подпрыгнет на Марсе (планете Марс), то через секунду после этого все люди увидят розовых летающих единорогов появившихся перед ними из вакуума.

Пока ещё человек не прыгал на Марсе. Значит высказывание $(2)$ истинно.
(Цитата подправлена исходя из эстетических соображений.)

Ошибка здесь в том, что "человек подпрыгнет на Марсе" не есть высказывание; поэтому и более сложные конструкции из него тоже не являются высказываниями в смысле логики. Хотя бы потому, что не сказано, какой именно человек и в какой момент времени.
Вот примеры высказываний:
"Mikhail_K подпрыгнул на Марсе 3 мая 2018 года";
"AAA1111 подпрыгнул на Марсе хотя бы раз в своей жизни (до настоящего момента)"
"Существует человек, который подпрыгнул на Марсе хотя бы раз в своей жизни (до настоящего момента)"
Эти высказывания корректно определены - и ясно, что все они ложны. Высказыванием в логике можно называть только то, что принимает совершенно определённое значение "истина" или "ложь".
Считать высказываниями утверждения о будущем я бы, как минимум, поостерёгся (хотя это тема для дискуссии).

Рекомендую свою тему Смысл импиликации.
Там всё не очень строго, но это попытка объяснить, почему понимание импликации в логике не противоречит здравому смыслу, а наоборот согласуется с ним.