Имеют ли импликация и логическое следование такие различия:
Импликация используется в смысле логической операции. Результат которой может соответственно принимать значения истинности или ложности.
А логическое следование используется как часть метаязыка, и всегда подразумевает только истинность высказывания
![$A \Rightarrow B$ $A \Rightarrow B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/f/04f3a6d4a1afb0b30955c2501180d1f282.png)
.
?
Не совсем. Импликация — логическая связка, т. е. рождает из двух высказываний
![$\varphi,\psi$ $\varphi,\psi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/1/f31a03c32d854392c9c1428b9a6c7b6782.png)
новое высказывание
![$\varphi\to\psi$ $\varphi\to\psi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/f/d4f479b973f34a377466f98982c5ebca82.png)
. Любое высказывание, без разницы как образованное, имеет логическое значение, но в общем случае это значение зависит от (1) интерпретации — того, какой смысл мы придаём внелогическим символам типа
![${+},{-},{<},{\in},\ldots$ ${+},{-},{<},{\in},\ldots$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/9/329392ca49778d2433712ddf567c8df082.png)
и (2) оценки — набора значений входящих в него переменных. Высказывания, которые истинны несмотря ни на что, зовут общезначимыми; метатеоретическое утверждение «
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
общезначимо» записывается
![$\vDash\varphi$ $\vDash\varphi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/b/b9b11b4b63624b30b8c4a7255279b2da82.png)
.
Логическое следование
![$\Gamma\vDash\varphi$ $\Gamma\vDash\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/f/42f499d4af61215104895156fcdc148882.png)
высказывания
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
из набора высказываний
![$\Gamma$ $\Gamma$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/a/b2af456716f3117a91da7afe7075804182.png)
— это отношение, действительно, тоже метатеории, и оно для конкретных высказываний выполняется ровно тогда, когда для любой интерпретации и оценки, на которых все высказывания из
![$\Gamma$ $\Gamma$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/a/b2af456716f3117a91da7afe7075804182.png)
истинны, истинно и
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
. Если множество
![$\Gamma$ $\Gamma$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/a/b2af456716f3117a91da7afe7075804182.png)
конечно, и
![$\bigwedge\Gamma$ $\bigwedge\Gamma$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/4/eb4565d4a0e576c6b772278245cb737b82.png)
— конъюнкция всех его элементов, то
![$\Gamma\vDash\varphi$ $\Gamma\vDash\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/f/42f499d4af61215104895156fcdc148882.png)
равносильно
![$\vDash\bigwedge\Gamma\to\varphi$ $\vDash\bigwedge\Gamma\to\varphi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/8/db887e720d0f5cf645a9ba2c2480ded882.png)
. Это та связь, которая есть между логическим следованием и импликацией.
Импликация не переводится на бытовой язык как - необходимо следует?
Ну почему же не переводится. Только в этой конструкции «необходимо» уже лишнее, оно не добавляет ничего нового. Обычное его место — в выражениях типа «для
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
необходимо
![$\psi$ $\psi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/3/7e3c241c2dec821bd6c6fbd314fe476282.png)
» (это тоже
![$\varphi\to\psi$ $\varphi\to\psi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/f/d4f479b973f34a377466f98982c5ebca82.png)
) или там «…необходимо и достаточно…» (тогда импликации в обе стороны).
Однако тут надо заметить, что одно и то же выражение естественного языка может значить разное при формализации (на то он и не формальный!). Иногда мы вполне можем неявно залезать в метаязык, а без этого получится бессмыслица. Иногда нет. Например, когда мы говорим «если
![$x>2$ $x>2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/d/e6d0e5ad5e4108d0601ee2738ecefee282.png)
, то
![$x>4$ $x>4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/9/d6927ba13192d08d76925a34320b0b7e82.png)
», мы не просто обращаем внимание на утверждение
![$x>2\to x>4$ $x>2\to x>4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/8/0e87e3c0c3f8adfff4f186cfe7f579b282.png)
— мы подразумеваем, что оно истинно при любой оценке в той интерпретации, которая нас интересует. Это можно понимать и как некоторый ограниченный вариант логического следствия (потому что смысл будет одинаковый, хоть выражение и другими понятиями). Ещё это можно понимать как обычное логическое следствие
![$\mathcal A\vDash x>2\to x>4$ $\mathcal A\vDash x>2\to x>4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/5/e3526768b15ac842bb4003a75d6e9bce82.png)
, где
![$\mathcal A$ $\mathcal A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/5/555454083744493208167f229084d1d782.png)
— множество (аксиом), моделью* которого является только интересующая интерпретация (или сколько-то разных, но все они нам одинаково нравятся). NB:
Обычно такими вопросами не заморачиваются, и всё прекрасно идёт само по себе как надо.* Модель множества высказываний — это интерпретация, в которой все они истинны (при любой оценке; вообще обычно аксиомы берут замкнутыми — не имеющими свободных переменных — тогда значение не будет зависеть от оценки).
Что-то я уверен, что это уже было кем-то переписано сюда не раз. Может, вы плохо искали?